微積分在生活的應(yīng)用

微積分在生活中的應(yīng)用摘要：微積分作為一種重要的數(shù)學(xué)工具，在解決實(shí)際問題時(shí)并不是一開始就得心應(yīng)手的，在開始應(yīng)用微積分解決間題時(shí)，常常會(huì)感到困惑,主要表現(xiàn)在：積分元的選取，積分限的確定及模型的建立等等.比如，利用微積分來確定一些簡單的學(xué)習(xí)方法、投資決策、對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模等，這些問題都可以通過微積分的知識(shí)和方法來進(jìn)行分析，并找出其中的規(guī)律，從而做出決策.本文將結(jié)合它在幾何、物理與經(jīng)濟(jì)等方面的應(yīng)用，利用理論知識(shí)付諸于實(shí)踐中,有利于于人們更好的學(xué)習(xí)了解微積分的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：微積分物理經(jīng)濟(jì)應(yīng)用摘要字?jǐn)?shù)偏多，再去掉兩三行。摘要是反映你文章中的內(nèi)容，前面兩句介紹微積分，后面直接說文章通過哪些內(nèi)容反映你的主題通過微積分可以描述運(yùn)動(dòng)的事物，描述一種變化的過程，可以說，微積分的創(chuàng)立極大地推動(dòng)了生活的進(jìn)步.由于微積分是研究變化規(guī)律的方法，因此只要與變化、運(yùn)動(dòng)有關(guān)的研究都要與微積分發(fā)生聯(lián)系，都需要運(yùn)用微積分的基本原理和方法.隨著現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展和各學(xué)科之間的相互交融，微積分仍會(huì)進(jìn)一步豐富和發(fā)展人們的生活，進(jìn)一步將微積分的理論應(yīng)用于實(shí)踐，從而為人類社會(huì)的進(jìn)步作出更大的貢獻(xiàn).無論是在生活中還是學(xué)習(xí)中，微積分都能實(shí)現(xiàn)其最大化、最優(yōu)化的作用.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中，利用微積分能很好的計(jì)算平面上那些不規(guī)則圖形的面積、曲線的孤長、三維空間中旋轉(zhuǎn)曲面的表面積、旋轉(zhuǎn)體的體積及在我們生活中“切菜”的物體的體積等；在物理上，利用微積分可以研究物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移問題、研究勻速圓周向心加速度的方向問題及研究物體的變力做功等；在經(jīng)濟(jì)中，利用微積分能分析邊際分析在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用、彈性在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用及學(xué)會(huì)用微積分解決實(shí)際中的最優(yōu)問題與投資決策等.可見，微積分存在于生活中的方方面面，是解決實(shí)際問題最方便的工具.如果沒有微積分的出現(xiàn)，生活中遇到的問題就不能轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言來進(jìn)行研究，生活中存在的大量的實(shí)際問題就不能夠解決，因此，要想解決這些問題我們就必須學(xué)好微積分的有關(guān)知識(shí)，好好利用微積分這個(gè)工具.本文將通過具體的實(shí)例分析微積分在數(shù)學(xué)、物理及經(jīng)濟(jì)中的具體的應(yīng)用，進(jìn)一步加強(qiáng)人們對(duì)于微積分的理解及其在實(shí)際的廣泛的應(yīng)用.引言部分寫的還可以，暫時(shí)不用動(dòng)，最后在修改細(xì)節(jié)。第一章微積分的概述1.1微積分的發(fā)展史微元法微積分的概念可以追溯到古代，到了十七世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學(xué)家都參加過準(zhǔn)備的工作,分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué)，他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來源,牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來考慮,萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的.他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量,理論基礎(chǔ)是不牢固的.直到19世紀(jì)初,法國科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對(duì)微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論,后來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化,使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)，才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開來.歐氏幾何也好，上古和中世紀(jì)的代數(shù)學(xué)也好,都是一種常量數(shù)學(xué),微積分才是真正的變量數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)中的大革命.微積分是高等數(shù)學(xué)的主要分支，不只是局限在解決力學(xué)中的變速問題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績.隨著社會(huì)的進(jìn)步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設(shè)等許多課題要解決，數(shù)學(xué)也開始研究變化著的量，數(shù)學(xué)進(jìn)入了“變量數(shù)學(xué)”時(shí)代，即微積分不斷完善成為一門學(xué)科.通過研究微積分在物理，經(jīng)濟(jì)等方面的具體應(yīng)用，得到微積分在現(xiàn)實(shí)生活中的重要意義，從而能夠利用微積分這一數(shù)學(xué)工具科學(xué)地解決問題.微積分的發(fā)展歷史表明了人的認(rèn)識(shí)已經(jīng)達(dá)到了抽象思維，也就是從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過程.人類對(duì)客觀世界的規(guī)律性的認(rèn)識(shí)具有相對(duì)性,受到時(shí)代的局限，隨著人類認(rèn)識(shí)的深入，認(rèn)識(shí)將一步一步地由低級(jí)到高級(jí)、不全面到比較全面地發(fā)展，人類對(duì)自然的探索永遠(yuǎn)不會(huì)有終點(diǎn).1.2微積分的基本內(nèi)容微積分的產(chǎn)生的三個(gè)階段：極限概念；求積的無限小方法；積分與微分的互逆關(guān)系，最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的.從廣義上說，數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學(xué)科，但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等同起來，數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞，一提數(shù)學(xué)分析就知道是指微積分.微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué).微分學(xué)的主要內(nèi)容包括：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等.積分學(xué)的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分等.總的來說微積分可以看作是一種無限分割的思想，即將復(fù)雜的問題拆解成很小的組成部分，通過研究小的內(nèi)容來對(duì)整體進(jìn)行估計(jì)的一種思想.第二章微積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用微積分是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，其思想方法和基本理論有著廣泛的應(yīng)用，可以當(dāng)作工具去解決數(shù)學(xué)中的一些問題.通過求曲邊梯形的面積等實(shí)例，從問題情境中了解微積分的實(shí)際背景；借助幾何直觀體會(huì)微積分的基本思想，（1）為今后進(jìn)一步學(xué)好微積分打下基礎(chǔ)；（2）通過實(shí)例，直觀了解微積分基本定理的含義；（3）了解微積分的文化價(jià)值.微積分在解決數(shù)學(xué)問題中有更廣泛的用途，更全面地探索和研究更多的用法，既提供了一種新的方法，又提供了一種重要的思想，也為今后進(jìn)一步學(xué)好微積分打下基礎(chǔ),能夠好好的利用它的應(yīng)用.2.1微分在幾何學(xué)中的應(yīng)用在實(shí)際生活的求最值的某些實(shí)際應(yīng)用問題中，根據(jù)問題的實(shí)際意義，能夠判定它必能取得最小或最大值，而從實(shí)際問題抽象出來的數(shù)學(xué)含義為可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)又只有一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，這時(shí)就可判斷，實(shí)際問題中函數(shù)在此穩(wěn)定點(diǎn)取得最小或最大值.下面我們從二個(gè)例子來說明.2.1.1問題中的最大值電燈A可在桌面點(diǎn)。的垂直線上移動(dòng)，在桌面上有一點(diǎn)B據(jù)點(diǎn)O的距離為a,問電燈A與點(diǎn)O的距離多遠(yuǎn),可使點(diǎn)B處有最大的照度?解：設(shè)AO=尤,AB=r,ZOBA=們由光學(xué)知，點(diǎn)B處的照度J與sin中成正比，與r與r2成反比，即j=c竺也，其中r2c是與燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)。?一 X : -.一F曰sin9=—,r=7x2+a2于是，rJ(x)=c—=c ,0<x<+8.r3 3(x2+a2)2a2-2x2J'(x)=c 5(x2+a2)2令J'(x)=0,解得穩(wěn)定點(diǎn)-當(dāng)與M,其中穩(wěn)定點(diǎn)二不在(0,+8)中，比較

<2 .偵2 v2三數(shù)J(M)=-^^，J(0)=0,J(x)=0,(xT+8)，知J(當(dāng))就是函數(shù)在［0,+8)*2 3<：3a2 v2的最大值，即當(dāng)電燈A與點(diǎn)O的距離為當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A處有最大的照度，最大的照度\.：2是J(M)=工.指3必a22.1.2 問題中的最小值一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比 ，已知當(dāng)速度為10(km/h)，燃料費(fèi)為每小時(shí)6元,而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用為每小時(shí)96元，問輪船的速度為多少時(shí)，每航行1km所消耗的費(fèi)用最?。拷猓涸O(shè)船速為x(km/h),具題意每航行1km的耗費(fèi)為y=—(kx3+96),由已知當(dāng)xx=10時(shí)，k-103=6故得比例系數(shù)k=0.006,所以有y=—(0.006x3+96),xe(0,+8)，x令y=四U(x3-8000)=0,求得穩(wěn)定點(diǎn)x=20.由極值第一充分條件檢驗(yàn)得x2x=20是極小值點(diǎn),由于在(0,+3)上函數(shù)處處可導(dǎo)，且只有唯一的極值點(diǎn),當(dāng)它為極小值點(diǎn)時(shí)必為最小值點(diǎn).所以求得當(dāng)船速為20km/h時(shí),每航行1km的耗費(fèi)為最少,其值為y=0.006x202+96=7.2(元).min 202.2積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用2.2.1在平面問題上的應(yīng)用2.2.1.1平面圖形的面積的計(jì)算求三葉玫瑰線r=acos39圍成的區(qū)域的面積圖2.1r=acos39此處圖形要加坐標(biāo)系解：三葉玫瑰線圍成的三個(gè)葉全等，只需計(jì)算第一象限那部分的面積面積的6倍.三葉玫瑰線r=acos。，在第一象限中，角的變化范圍是由0到-,于是,三葉玫6瑰線圍成的區(qū)域的面積是A=gj6a2C0S2(30)d0=a2』：cos2(30)d(30)20 0「 a2何，=a2J2cos2中d中=—J2(1+cos2^)d^sin2平)sin2平)|2=2.2.1.2平面曲線的彌長的計(jì)算求星形線a=acos3甲,y=asin3甲,a>0,0V甲<2兀的全長解：圖（1）圖（1）星形線星形線關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)軸都對(duì)稱，于是，星形線的全長是它在第一象限的那部分孤長的4倍.x'=-3acos2里sin中y=3asin2里cos中則星形線的全長s=4^2\x'2+v2d甲=12a』2\'x'2+y2d甲

0 0五 Z.12aJ21sin中cos中Idp=12aJ2sinpcos^dp00九?=3aJ2sin2pd(2p)=6a02.2.2在三維空間中的應(yīng)用2.2.2.1旋轉(zhuǎn)曲面的面積的計(jì)算求橢圓生+竺=1(0<b<a)繞y軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)橢球體的表面積.X2 J2

解:x=—\b2-y2,x'=-——a

/ y b\,b2-y2解:V J于是，旋轉(zhuǎn)橢球體的表面積1+x'2dy=1+x'2dy=4兀f^.;x2+(xx')2dy°y o y-b4兀a3=J\b4+(a2-b2)y2dyb2o，:b4,°,'——+82y2dya24k—2r,b4=—J\：—+82y2d(8y)b2o\a2TOC\o"1-5"\h\z2k—2 b4 b4… b4 lb= (8y'——+82y2+一ln18y+」一+82y2l)lbb28 a2 a2 Va2 o2k— :b4 b4 'b4 b4b2——(8b.—+82b2+一Inl8b+'—+82b2|-一ln—)b28 Va2 a2 \a2 a2 a2Kb2a=2k—2+ ln[—(1+8)]8b其中,8= —是橢圓的離心率.a2.2.2.2旋轉(zhuǎn)體的體積的計(jì)算切黃瓜圈時(shí)，將洗凈的黃瓜放到水平放置的菜板上，菜刀則垂直于菜板的方向切去黃瓜兩端,也就是所求體積的立體空間，接下來試想如何將計(jì)算出這個(gè)不規(guī)則黃瓜的體積？我們可以，也就是將間隔較小距離且垂直于菜板方向切下一個(gè)黃瓜薄片，將其視為一個(gè)支柱體,這個(gè)體積也就是等于截面的面積乘以厚度.舉一反三,如果將這根黃瓜切成若干薄片,計(jì)算每個(gè)薄片的面積并相加就可得到黃瓜的近似體積，且黃瓜片約薄，體積值就約精確.那么如何才能提高這個(gè)數(shù)值的精確度呢？也就是將其無限細(xì)分，再獲得無限和,也就是黃瓜的體積.切菜應(yīng)用就是平行截面面積為已知的幾何體體積問題，舉一個(gè)例子，最好是生活化的例題第三章在物理學(xué)上的應(yīng)用微積分不僅在數(shù)學(xué)中有重要的應(yīng)用而且在物理中也有十分廣泛的應(yīng)用，應(yīng)用微積分法去解決實(shí)際問題是非常廣泛的，把“數(shù)學(xué)微元”的思想抽象成定積分去求解物理學(xué)相關(guān)的問題.在實(shí)際過程中，微積分思想把復(fù)雜物理問題進(jìn)行有限次分割，在有限小范圍內(nèi)進(jìn)行近似處理，而近似處理就是要抓住問題的主要方面，從而使問題變得簡單.實(shí)際中的復(fù)雜問題，則可以化整為零，把它分割成在小時(shí)間、小空間范圍內(nèi)的局部問題，只要局部范圍被分割到無限小，小到這些局部問題可近似處理為簡單的可研究的問題，把局部范圍內(nèi)的結(jié)果累加起來，就是問題的結(jié)果.在應(yīng)用微積分方法解物理問題時(shí)，微元的選取非常關(guān)鍵，選的恰當(dāng)有利于問題的分析和計(jì)算,其一要保證在所選取的微元內(nèi)能近似處理成簡單基本的物理模型，以便于分析物理問題；其二要盡量把微分選取的大，這樣可使積分運(yùn)算更加簡單，因?yàn)槲⒎趾头e分互為逆運(yùn)算,微分微的越細(xì)，越精確,但積分越繁瑣，計(jì)算工作量較大，所以還要在微分和積分這對(duì)矛盾之間協(xié)調(diào)處理.3.1微分在物理中的應(yīng)用在實(shí)際分析物理問題的過程中，利用微分解釋物理量變化率及實(shí)際有關(guān)函數(shù)極值的問題時(shí)，可加深對(duì)物理意義的理解，提高生活中問題的準(zhǔn)確性.3.1.1研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)的問題甲、乙兩車同時(shí)同地同向出發(fā)，在同一水平公路上做直線運(yùn)動(dòng)，甲以初速度v甲=20m/s，加速度a甲=2m/s2做減速運(yùn)動(dòng)，乙以初速度v乙=4m/s，加速度a=2m/s2,做加速運(yùn)動(dòng)，求兩車再次相遇前的最大距離⑹.乙分析與解：，時(shí)刻兩車的距離為：s=s-s=(vt-—a12)-(vt+La12)=16t-2t2甲乙甲2甲 乙2乙對(duì)s(t)求導(dǎo)數(shù)得：s'=16-4t令：s'=16-4t=0(一階導(dǎo)數(shù)等于0函數(shù)有極值)

解得：t=4s將t=4s代入原式得：s=16t-2t2=32m艮即t=4s時(shí)兩車再次相遇前的最大距離,其值為32m.3.1.2利用隱函數(shù)求導(dǎo)實(shí)際問題中物體的速度、加速度湖中有一小船，岸邊有人用繩子跨過離水面高為H的滑輪拉船靠岸,設(shè)繩的原長為％,以勻速率V0拉繩,求在任意位置X處,小船的速度和加速度⑺.小船可作為質(zhì)點(diǎn)并作一維運(yùn)動(dòng),選取坐標(biāo)系,在任一位置處，繩長l，位置坐標(biāo)x及高度H（常數(shù)）之間有如下關(guān)系：TOC\o"1-5"\h\z12=X2+H2 （1）將（1）式兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo)，有l(wèi)d=X竺 （2）dtdt注意到d=-V（繩長l減?。琩X=V，則有dt0 dtl C7H、cV=-—V=-\|1+（一）2V將（2）式兩邊再對(duì)t求導(dǎo)有（dl）2+^d（dl）（dx）2+d2xdtdtdtdtdt2注意到a注意到a=竺dt2d為常數(shù)'則上式為V2=[1+(H)2]V2+X性Xo dt2— v2.V和a表達(dá)式中的負(fù)號(hào)表示v.a的方向沿x軸負(fù)向，且隨著小船向岸邊的運(yùn)動(dòng),速度和加速度的值越來越大.3.2積分在物理中的應(yīng)用3.2.1研究變力做功問題設(shè)物體在變力作用下，沿X軸由a點(diǎn)處移動(dòng)到b處，求變力所做的功？由于力F(x)是變力，所求功是區(qū)間［a,b］上均勻分布的整體量，故可以用定積分來解決,利用微元法，由于變力F(x)是連續(xù)變化的，故可以設(shè)想在微小區(qū)間［尤,x+dx］上作用力保持不變(“常代變”求微元的思想)，按常力做功公式得這一段上變力F(x)做功的近似值.把變力F(x)近似為恒力，大小方向都不變；把曲線軌跡近似為直線軌跡，即看成直線運(yùn)動(dòng)，其位移記為dx,把每段內(nèi)的功近似恒力作用下做直線運(yùn)動(dòng)的功計(jì)算，則dW=F(x)dx近似處理后,再把沿整個(gè)路徑的所有運(yùn)動(dòng)小段內(nèi)力所做的元功加起來，就得到整個(gè)過程中力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功.由于dx表示位移趨于零，對(duì)元功積分，使得變力F(x)從a到b所做的功為W=jbF(x)dxa在實(shí)際應(yīng)用中，許多問題都可以轉(zhuǎn)化為物體受變力作用沿直線所做的功的情形,下面通過具體例子來說明.例：把一個(gè)帶+q電量的點(diǎn)電荷放在r軸上的坐標(biāo)原點(diǎn)處，它產(chǎn)生一個(gè)電場，這個(gè)電場對(duì)周圍的電荷有作用力.由物理學(xué)知道，如果一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電場中距離原點(diǎn)為r的地方，那么電場對(duì)它的作用力的大小為F=kq.r2試計(jì)算：當(dāng)這個(gè)單位正電荷在電場中從r=a處沿r軸移動(dòng)到r=b處時(shí),電場力F對(duì)它所做的功[8].解：注意到將單位正電荷在r軸上從點(diǎn)a移動(dòng)到點(diǎn)b的過程中，電場對(duì)該單位正電荷的作用力是變化的，問題可歸結(jié)為變力沿直線做功的情形處理.取r為積分變量，其變化區(qū)間為】a,b]，任取微元】r,r+dr],當(dāng)單位正電荷從[移動(dòng)到r+dr時(shí)，電場力對(duì)它所做的功近似等于kqdr,r2即功微元為dW=qdrr2從而所求功為W=\b性dr=kq[-1]|b=kq（1-1）ar2 raab在計(jì)算電場中某點(diǎn)的電位時(shí)，要考慮將單位正電荷從該點(diǎn)（r=a）移動(dòng)到無窮遠(yuǎn)處時(shí)電場力所做的功W，此時(shí)有W=j+8kqdr=kq[-1]l+8=性.ar2 raa3.2.2研究液體的壓力我們學(xué)習(xí)物理學(xué)知道在液體下深度為h處的壓強(qiáng)為P=pgh（其中p是液體的密度，g重力加速度）.如果有一面積為S的薄板水平地置于深度為h處,那么薄板乙側(cè)所受的液體壓力計(jì)算F=PS，但是在實(shí)際問題中，常常碰到計(jì)算薄板豎直地放置在液體中時(shí)，其一側(cè)所受到的壓力如何如何？由于壓強(qiáng)P是隨液體的深度變化而變化，所以薄板一側(cè)所受到的液體壓力就不能簡單地應(yīng)用公式F=PS=pghS來計(jì)算，可以考慮用定積分的“微元法”去求解.修建一道形狀是等腰梯形的閘門，它的兩條底邊各長6m和4m,高為6m,較長的底邊與水面平齊，要計(jì)算閘門一側(cè)所受水的壓力[9].解：選取變量，確定區(qū)間，建立坐標(biāo)系，找出AB的方程為y=-1x+3,取x微積6分變量,［0,6］為積分區(qū)間.取近似，找出微兀，在x［0,6］上任意取一微小區(qū)間［尤,x+dx］，該區(qū)間上小曲邊平板所受的壓力可近似地看作長為y,寬為dx的小矩形水平的放在距液體表面深度為x的位置上，壓力微元為dF=2pgxydx=2x9.8x103x(-1x+3)dx6找出整量,取積分.從而求出閘門一側(cè)所受水的壓力為F=j69.8x103(-1x2+6x)dx=9.8x103［-1x3+3x2］|6總8.23x105N0 3 9 0一般來說，液體壓力的計(jì)算公式為：F=jbpgxf(x)dxa其中,p是液體的密度,f(x)為平板曲邊的函數(shù)式.3.2.3研究物體的引力一根長為l的均勻細(xì)桿,質(zhì)量為M,在其中垂線上相距細(xì)桿為a處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，試求細(xì)桿對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力［10］解：建立直角坐標(biāo)系，設(shè)細(xì)桿位于x軸上的［-1,1］，質(zhì)點(diǎn)位于y軸上的點(diǎn)a,22任?。踴,x+dx］u［-l,l］，當(dāng)Ax很小時(shí)，可把這一小段細(xì)桿看作一質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量22為dM=—dx.于是它對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的引力為lkmdMkmM,dF= = ,—dxr2 a2+x2l由于細(xì)桿上各點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的引力方向各不相同，因此不能直接對(duì)dF進(jìn)行積分,為此，將dF分解到x軸和y軸兩個(gè)方向上，得dF=dF-sin0,dF=-dF-cos0由于質(zhì)點(diǎn)m位于細(xì)桿的中垂線上，必使水平合力為0,即一 八F=jidF=0—2又由cos0=a ，得垂直方向合力為?%；a2+x2TOC\o"1-5"\h\z1-kmMa 、一3,F=J2dF=-2j2i(a2+x2)2dx02kmMa1x 11a2\：a2+x202kmM=—— -g4a2+12負(fù)號(hào)表示合力方向與y軸方向相反.3.2.4研究剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問題半徑為R,質(zhì)量為M,密度均勻的圓盤繞過圓心且與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[11].我們用微積分的方法來求解，把圓盤分成許多無限薄的圓環(huán),圓盤的密度為p,則半徑為r，寬為dr的薄圓環(huán)的質(zhì)量為：dm=p-2冗rhdr薄圓環(huán)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dI=r2dm=2兀phr3dr然后沿半徑積分得I=JR2兀phr3dr=2兀phJRr3dr=—冗phR40 0 2其中，阪R2為圓盤體積，p兀hR2為圓盤質(zhì)量m,故圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=1mR2.2此處不能用小結(jié)，換一個(gè)詞，物理應(yīng)用還有引力等盡可能寫的全一些，在查資料。再者，此處都沒有例題來闡明。注意：通過借助微積分法來解決物理學(xué)中常見的棘手問題,進(jìn)而分析了怎樣應(yīng)用微積分的“數(shù)學(xué)微元”思想來解決物理學(xué)問題的新思路.微積分在物理學(xué)中的應(yīng)用，體現(xiàn)的不僅僅是運(yùn)用數(shù)學(xué)工具去解決難以解決的物理學(xué)問題，更重要的是幫助我們正確的去理解物理概念、規(guī)律，形成物理觀念及物理量中“數(shù)學(xué)微分”微積分形式的物理意義,在不同的物理問題中建立物理模型，并且要全面理解掌握微積分及其應(yīng)用到實(shí)際的問題中去.第四章在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用微積分產(chǎn)生于生產(chǎn)技術(shù)和理論科學(xué)，同時(shí)又影響著科技的發(fā)展.在經(jīng)濟(jì)的領(lǐng)域內(nèi)，將一些經(jīng)濟(jì)問題利用相關(guān)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法對(duì)經(jīng)濟(jì)問題進(jìn)行研究和分析，把經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的實(shí)際問題利用微積分的方法進(jìn)行量化，在此基礎(chǔ)上得到的結(jié)果具有科學(xué)的量化依據(jù).經(jīng)濟(jì)研究商品價(jià)格、需求、供給、利潤等范疇，所有這些都以量的形式表現(xiàn)出來.經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象最復(fù)雜，它要用的數(shù)學(xué)理論也最高深.因?yàn)樵绞浅橄蟮臄?shù)學(xué)工具越適于分析實(shí)際上十分復(fù)雜的事物，在我們的日常生活中，數(shù)學(xué)已不再是單純的用作計(jì)數(shù)或統(tǒng)計(jì)，還常用于對(duì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的一些復(fù)雜現(xiàn)象進(jìn)行分析.例如：風(fēng)險(xiǎn)利潤、投資決策、等等，利用數(shù)學(xué)的知識(shí)與方法進(jìn)行分析，將有助于我們理解這些經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，找出其中的規(guī)律，并作出決策.4.1邊際分析在經(jīng)濟(jì)分析中的作用經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際問題，是指每一個(gè)自變量的變動(dòng)導(dǎo)致因變量變動(dòng)多少的問題,所以邊際函數(shù)就是對(duì)一個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù)f(x)的因變量求導(dǎo)，得出f'(X),其中在某一點(diǎn)的值就是該點(diǎn)的邊際值.例1：已知某工廠某種產(chǎn)品的收益R(元)與銷售量p(噸)的函數(shù)關(guān)系是R(p)=200p-0.01p2，求銷售60噸該產(chǎn)品時(shí)的邊際收益，并說明其經(jīng)濟(jì)含義[12].解：根據(jù)題意得，銷售這種產(chǎn)品〃噸的總收益函數(shù)為R(p)=200-0.02p因而，銷售60噸該產(chǎn)品的邊際收益是R'(60)=200—0.02x60=188(元).其經(jīng)濟(jì)學(xué)含義是：當(dāng)該產(chǎn)品的銷售量為60噸時(shí)，銷售量再增加一噸(即Ap=1)所增加的總收益188元.這個(gè)問題看起來很簡單，但是在實(shí)際生活中的應(yīng)用意義很大.又如：例2：某工廠生產(chǎn)某種機(jī)械產(chǎn)品,每月的總成本C(千元)與產(chǎn)量x(件)之間的函數(shù)關(guān)系為C3)=x2-10x+20,若每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為2萬元，求每月生產(chǎn)6件、9件、15件、24件時(shí)的邊際利潤,并說明其經(jīng)濟(jì)含義.解：根據(jù)題意得，該廠每月生產(chǎn)x件機(jī)械產(chǎn)品的總收入函數(shù)為R(x)=20x因此，該廠生產(chǎn)的x件產(chǎn)品的利潤函數(shù)為：L(x)=R(x)-C(x)=20x-(x2-10x+20)=-x2+30x-20由此可得邊際利潤函數(shù)為L(x)=-2x+30那么每月該廠生產(chǎn)6件、9件、15件、24件時(shí)的邊際利潤分別是：L'(6)=-2x6+30=18(千元/件)L'⑼=-2x9+30=12(千元/件)L'(15)=-2x15+30=0(千元/件)L'(24)=-2x24+30=-18(千元/件)這個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)的含義是：當(dāng)該廠月產(chǎn)量為6件時(shí)，若再增產(chǎn)1件,此時(shí)的利潤將會(huì)增加18000元；當(dāng)該廠的月產(chǎn)量為9件時(shí)，若再增產(chǎn)1件，利潤將增加12000元,有所降低；當(dāng)月產(chǎn)量增加到15件時(shí),再增產(chǎn)1件,利潤反而不會(huì)增加；當(dāng)月產(chǎn)量為24件時(shí)，若再增產(chǎn)1件，此時(shí)的利潤反而會(huì)相應(yīng)的減少18000元.由此我們可以得出結(jié)論:產(chǎn)品的利潤最大，并不是出現(xiàn)在最大量的時(shí)候，也就是說多增加產(chǎn)量必定能夠增加利潤，只有合理統(tǒng)籌安排工廠的生產(chǎn)量，這樣才能取得最大的利潤.由此可得結(jié)論：當(dāng)產(chǎn)品的邊際收益等于產(chǎn)品的邊際成本時(shí)，此時(shí)就已經(jīng)達(dá)到了最大利潤，如果再進(jìn)行擴(kuò)大生產(chǎn)了，產(chǎn)品反而會(huì)虧本.4.2彈性分析在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，某變量對(duì)另一個(gè)變量變化的反映程度稱為彈性或彈性系數(shù).在經(jīng)濟(jì)工作中有很多種的彈性，研究的問題不同，彈性的種類也不同.如果是價(jià)格的變化與需求之間的反映，這個(gè)反映我們稱為需求彈性.由于消費(fèi)需求的不同以及商品自身屬性的差異，同樣的價(jià)格變化給不同的商品的需求帶來不同的影響.有些商品反應(yīng)很靈敏,彈性大，價(jià)格的變動(dòng)會(huì)造成很大的銷售變動(dòng)；有的商品反應(yīng)較緩慢,彈性小，價(jià)格的變動(dòng)對(duì)其沒什么影響.①需求彈性。對(duì)于需求函數(shù)Q=f(p),由于價(jià)格上漲時(shí)，商品的需求函數(shù)Q=f(p)為具有一定單調(diào)性，是一個(gè)單調(diào)減函數(shù)，或與小弓異號(hào)，所以定義需求對(duì)價(jià)格的彈性函數(shù)為"p)=-f'(p)?二f(P)當(dāng)h(p)|>1,表示對(duì)于該產(chǎn)品來說，目前市場的需求量越來越大，商品需求量的幅度要比價(jià)格的升降幅度更大.當(dāng)企業(yè)出現(xiàn)這種情況時(shí)，企業(yè)如果將價(jià)格適當(dāng)降,，那么商品的需求量將會(huì)增加很多，使公司獲得的效益最.當(dāng)h(p)|=i,表示對(duì)于該商品來說，目前市場的需求量并沒有太大變化，商品的需求量的升降幅度與價(jià)格的升降幅度相同.當(dāng)企業(yè)出現(xiàn)這個(gè)狀況時(shí)表示不管企業(yè)將商品的價(jià)格降低或提升，對(duì)于企業(yè)來說，公司獲得的效益基本上沒有多大的變化.當(dāng)h(p)l<i,表示對(duì)于該商品來說，目前市場的需求量越來越小，商品的需求

量的升降幅度要比價(jià)格的升降幅度小，當(dāng)企業(yè)出現(xiàn)這種狀況時(shí)，企業(yè)應(yīng)該考慮將價(jià)格提升，價(jià)格的升高雖然會(huì)導(dǎo)致需求量的減少，但需求量的減少幅度要比價(jià)格上漲的幅度小，因此企業(yè)還是可以獲得更大效益的.所以在實(shí)際的市場競爭當(dāng)中，企業(yè)的經(jīng)營者就對(duì)商品的需求價(jià)格彈性了如指掌，正確把握市場方向感，及時(shí)調(diào)整商品的價(jià)格，只有這樣，企業(yè)才能在激烈的市場競爭中獲得更大的市場份額，使企業(yè)得以更好地發(fā)展[14].下面我們從一個(gè)例子來解釋一下.p—例3：設(shè)某種商品的需求函數(shù)為Q=ef（p），求需求的彈性函數(shù);p=3，p=5，p=7的需求彈性.解:p

f(解:3n（3）=5=0.6<1說明當(dāng)p=3時(shí)，價(jià)格上漲1%，需求減少0.6%，需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度；n（5）=5=1，5說明當(dāng)p=5時(shí)，價(jià)格上漲1%，需求也減少1%,需求變動(dòng)的幅度與價(jià)格變動(dòng)的幅度是相同的；n（7）=—=1.4>1，5說明當(dāng)p=7時(shí)，價(jià)格上漲1%,需求減少1.4%,需求變動(dòng)的幅度大于價(jià)格變動(dòng)的幅度.②收益彈性收益R是商品的價(jià)格p與其銷售量Q的乘積，在任何的價(jià)格水平條件下，收

益彈性與需求彈性之和總是等于1.若叩＜1時(shí)，商品的價(jià)格上漲（或下降）1%,收益增加（或減少）（1-門）％;若叩=1時(shí)，價(jià)格變動(dòng)1%，收益不變；若叩〉1時(shí)，價(jià)格上漲（或下降）1%，收益減少（或增加）（1-門）％.4.3微積分在投資決策中的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)生活中微積分的作用是極其重要的，它能解決許多復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)問題.我們知道，若初始年（t=0）將資金A0一次性存人銀行,年利率為r,則這筆資金以連續(xù)復(fù)利方式結(jié)算的t年末價(jià)值即為A=er，但如果采用均勻流的存款方式，即貨幣像水流一樣以定常流量源源不斷地流人銀行（類似于“零存整取”），則計(jì)算t年末的總價(jià)值就可以采用定積分的方法.現(xiàn)用微元法分析如下：:t,t+dt］時(shí)段內(nèi)的貨幣流量為adt，于是可得該貨幣流T年末總價(jià)值的微元dA-adt-er(t-t)=aerT-e-rtdt從而該貨幣流T年末的總價(jià)值即為A=jTdA=aetTjTe-rtdt=aert（-Le-rTlT）=a（erT-1）T0T0 r0據(jù)此，我們還可以求得它的貼現(xiàn)價(jià)值為(1)A=a(1-e-T)的本利0rA0=A，e-rT=-(erT-1)e-(1)A=a(1-e-T)的本利0r即該均勻貨幣流T年末的總價(jià)值相當(dāng)于初始年一次性存款所得了解了這一點(diǎn),可以幫助我們確定投資的回收期.某公司一次性投入2000萬元投資一個(gè)項(xiàng)目，并于一年后建成投產(chǎn)，開始取得經(jīng)濟(jì)效益,如果不考慮資金的時(shí)間價(jià)值，投產(chǎn)5年就能收回全部的投資；但如果將資金的時(shí)間價(jià)值考慮在內(nèi)，情況就不那么簡單了.假設(shè)銀行的年利率r=0.05,并設(shè)x+1年后可以收回資金，則由公式(1)可知,該項(xiàng)目投產(chǎn)x年產(chǎn)出的總效益為：A=—(erx—1)=箱。(e0.05x—1)=8000(e0.05x—1)(萬元)xr 0.05它在x+1年之前(即開始投資時(shí))的價(jià)值為：A=Ae-r(x+1)=8000(e0.05x—1)e-0.05(x+1)=8000e-0.05(1—e0.05x)(萬元)—1 x因此，當(dāng)A=2000萬元時(shí)，表明恰好收回投資，即8000e-0.05(1—e0.05x)=2000—1解此方程，得x=201ln―4—R6.098(年)4—e0.05即公司收回全部投資的時(shí)間為7.098年.小結(jié)在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中把經(jīng)濟(jì)學(xué)現(xiàn)象分析歸納到數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，進(jìn)行求解，在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中具有實(shí)際的指導(dǎo)意義.對(duì)于企業(yè)經(jīng)營者來說，對(duì)經(jīng)濟(jì)環(huán)節(jié)進(jìn)行定量分析是非常有必要的，將微積分作為分析的工具，可以給企業(yè)經(jīng)營者提供客觀、精確的數(shù)據(jù),在分析的演繹和歸納過程中，可以給企業(yè)經(jīng)營者提供新的思路和視角，也是微積分應(yīng)用性的具體體現(xiàn).文章在前面幾何、物理應(yīng)用上沒有提及導(dǎo)數(shù)也就是微分應(yīng)用，考慮一下微積分作為數(shù)學(xué)的重要分支，無論是在生活中還是在學(xué)習(xí)中，都能夠?qū)崿F(xiàn)目標(biāo)最大化、最優(yōu)化效果.會(huì)豐富和發(fā)展人們的生活，進(jìn)一步將微積分的理論應(yīng)用于實(shí)踐，從而為人類社會(huì)的進(jìn)步作出更大的貢獻(xiàn).在現(xiàn)實(shí)生活中，我們身邊的一切事物都能為數(shù)學(xué)研究提供服務(wù)，實(shí)際上,微積分本身就存在于生活的各項(xiàng)事物中，只有不斷深入