投入產(chǎn)出模型

第9章投入產(chǎn)出模型投入產(chǎn)出模型對(duì)于研究分析國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門之間的數(shù)量依存關(guān)系，制定國(guó)民經(jīng)濟(jì)的計(jì)劃與規(guī)劃等都具有十分重要的作用。根據(jù)投入產(chǎn)出模型的原理與方法，現(xiàn)介紹其建模與應(yīng)用分析的具體方法步驟。第1節(jié)投入產(chǎn)出模型概述1.1概念投入產(chǎn)出模型是指在馬克思主義經(jīng)濟(jì)理論指導(dǎo)下，利用數(shù)學(xué)方法和電子計(jì)算機(jī)技術(shù)，來(lái)研究各種經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的投入與產(chǎn)出之間的數(shù)量依存關(guān)系，特別是研究與分析國(guó)民經(jīng)濟(jì)各個(gè)部門在產(chǎn)品的生產(chǎn)與消耗之間的數(shù)量依存關(guān)系所建立的一種數(shù)學(xué)模型，其主要含義如下：1） 投入產(chǎn)出模型的指導(dǎo)思想是馬克思主義經(jīng)濟(jì)理論；2） 投入產(chǎn)出模型的理論基礎(chǔ)是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，集中體現(xiàn)在投入產(chǎn)出方法的原理與方法；3） 投入產(chǎn)出模型的關(guān)鍵任務(wù)是直接消耗系數(shù)與列昂節(jié)夫逆矩陣的求算；4） 投入產(chǎn)出模型的主要方法是數(shù)學(xué)方法與計(jì)算機(jī)技術(shù)的應(yīng)用，集中體現(xiàn)在投入產(chǎn)出模型數(shù)學(xué)模型的建立及運(yùn)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行矩陣運(yùn)算的求解應(yīng)用；5） 投入產(chǎn)出模型的最終目的是研究與分析各個(gè)經(jīng)濟(jì)部門之間的數(shù)量依存關(guān)系，為社會(huì)主義經(jīng)濟(jì)建設(shè)中的科學(xué)決策服務(wù)。主要用途是用于研究與分析國(guó)民經(jīng)濟(jì)各個(gè)部門在產(chǎn)品的生產(chǎn)與消耗之間的數(shù)量依存關(guān)系，反映各個(gè)部門之間的直接與間接的經(jīng)濟(jì)聯(lián)系及各個(gè)部門之間的綜合平衡問(wèn)題。目前，已拓展到用于研究與分析各個(gè)地區(qū)，各個(gè)企業(yè)內(nèi)部及之間的各種經(jīng)濟(jì)聯(lián)系。1.2作用1） 編制國(guó)民經(jīng)濟(jì)計(jì)劃。2） 經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的預(yù)測(cè)。3） 經(jīng)濟(jì)政策研究，研究重要經(jīng)濟(jì)政策對(duì)經(jīng)濟(jì)建設(shè)的影響。4） 專題研究，研究專門的社會(huì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。5） 編制區(qū)際經(jīng)濟(jì)計(jì)劃。1.3發(fā)展概況投入產(chǎn)出法產(chǎn)生于20世紀(jì)30年代，是由俄國(guó)出生的美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家瓦。列昂節(jié)夫（w.Leontif）首先提出于1931年開始研究“投入產(chǎn)出分析法”，來(lái)分析研究美國(guó)的經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，隨后發(fā)表了不少的論文和論著，在1944年他編制了美國(guó)經(jīng)濟(jì)部門的1939年投入產(chǎn)出表，它可稱是世界上第一個(gè)“投入產(chǎn)出表”當(dāng)時(shí)，引起了美國(guó)政府的重視，此后，美國(guó)先后又編制了1947年，1958年，1963年，和1966年的投入產(chǎn)出表。在20世紀(jì)50年代初期，西方各國(guó)曾經(jīng)出現(xiàn)了編制投入產(chǎn)出表的熱潮。到了20世紀(jì)50年代末期，蘇聯(lián)和東歐國(guó)家也開始重視這一方法。后來(lái)，發(fā)展中國(guó)家也紛紛編制了投入產(chǎn)出表。據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，1950年以前，只有7個(gè)國(guó)家編制了投入產(chǎn)出表，其后，已有100余個(gè)國(guó)家編制了投入產(chǎn)出表。于1968年，聯(lián)合國(guó)統(tǒng)計(jì)局正式規(guī)定“投入產(chǎn)出”為國(guó)民經(jīng)濟(jì)核算的一個(gè)重要組成部分，并制定了編制投入產(chǎn)出表的標(biāo)準(zhǔn)部門分類目錄，指標(biāo)解釋和計(jì)算方法。我國(guó)在20世紀(jì)60年代初期，中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所與經(jīng)濟(jì)研究所組織成立了專業(yè)小組，對(duì)“投入產(chǎn)出法”進(jìn)行過(guò)探索、研究和介紹，但是，后來(lái)由于左的思想干擾，投入產(chǎn)出法被當(dāng)作資產(chǎn)階級(jí)和修正主義的東西加以批判，使這方面的研究和應(yīng)用中斷了一段時(shí)間。從1972年，我國(guó)才有少數(shù)同志逐漸恢復(fù)和堅(jiān)持了這方面的研究工作。1974年一1976年期間，在中國(guó)科學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)研究所的倡議下，在我國(guó)計(jì)委、國(guó)家統(tǒng)計(jì)局的領(lǐng)導(dǎo)和支持下，編制了1973年全國(guó)61種產(chǎn)品的實(shí)物型投入產(chǎn)出表，這是我國(guó)第一個(gè)全國(guó)性的投入產(chǎn)出表，（1944年一1973年29年）。1981年又編制了全國(guó)146種產(chǎn)品的實(shí)物型投入產(chǎn)出表和26個(gè)部門的價(jià)值型投入產(chǎn)出表。還編制了山西省廣東省上海市上海市黑龍江省北京市等地區(qū)的投入表。另外，還編制了鞍山鋼鐵公司企業(yè)型的投入產(chǎn)出表。為了提高我國(guó)社會(huì)主義經(jīng)濟(jì)宏觀管理水平，國(guó)務(wù)院決定，今后每5年進(jìn)行一次投入產(chǎn)出調(diào)查，并編制出全國(guó)投入調(diào)查表。1.類型投入模型的類型很多，其分類的標(biāo)準(zhǔn)不同，類型也不同，目前主要有以下幾種。1靜態(tài)投入產(chǎn)出模型和動(dòng)態(tài)投入產(chǎn)出模型以分析時(shí)期不同可分為：1）靜態(tài)投入產(chǎn)出模型是分析和研究某一特定時(shí)期的再生產(chǎn)過(guò)程及聯(lián)系。2）動(dòng)態(tài)投入產(chǎn)出模型是分析和研究連續(xù)變化若干時(shí)期的再生產(chǎn)過(guò)程及各時(shí)期的相互聯(lián)系。2價(jià)值投入產(chǎn)出模型和實(shí)物投入產(chǎn)出模型以計(jì)量單位不同可分為：1） 價(jià)值投入產(chǎn)出模型是投入產(chǎn)出表中所有指標(biāo)都以產(chǎn)品價(jià)格單位度量。2） 實(shí)物投入產(chǎn)出模型是投入產(chǎn)出表中所有指標(biāo)都以產(chǎn)品實(shí)物單位度量。3區(qū)域投入產(chǎn)出模型以投入產(chǎn)出表中所用數(shù)據(jù)資料范圍不同可分為：1） 世界投入產(chǎn)出模型2） 國(guó)家投入產(chǎn)出模型3） 地區(qū)投入產(chǎn)出模型4） 部門投入產(chǎn)出模型5） 企業(yè)投入產(chǎn)出模型4報(bào)告期投入產(chǎn)出模型和計(jì)劃期投入產(chǎn)出模型1） 報(bào)告期投入產(chǎn)出模型是所用數(shù)據(jù)資料都是報(bào)告期的實(shí)際數(shù)據(jù)，反映報(bào)告期投入與產(chǎn)出的綜合平衡情況。2） 計(jì)劃期投入產(chǎn)出模型是所用數(shù)據(jù)資料都是計(jì)劃期的計(jì)劃數(shù)據(jù)，反映計(jì)劃期或預(yù)測(cè)計(jì)劃期國(guó)民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展情況。1.2投入產(chǎn)出表1概念投入平衡表簡(jiǎn)稱投入產(chǎn)出表，它是指能夠把國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門之間所有產(chǎn)品的投入與產(chǎn)出關(guān)系都表現(xiàn)出來(lái)的統(tǒng)計(jì)表格。它是建立投入模型的基礎(chǔ)。2類型主要根據(jù)所要建立的投入產(chǎn)出模型的類型而定，其類型有價(jià)值型和實(shí)物型兩種，價(jià)值型投入產(chǎn)出表實(shí)物型投入產(chǎn)出表中的所用的數(shù)據(jù)資料都是以產(chǎn)品的價(jià)格單位度量。中的所用的數(shù)據(jù)資料都是以產(chǎn)品的實(shí)物單位度量。最常用的是價(jià)值型投入產(chǎn)出表。2投入產(chǎn)出表的編制1）確定投入產(chǎn)出表的類型主要根據(jù)所研究的目的和要求來(lái)確定投入產(chǎn)出表的類型?，F(xiàn)以價(jià)值型投入產(chǎn)出表為例，如列昂節(jié)夫的第一個(gè)投入產(chǎn)出表是研究全美國(guó)的經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的，他編制了全美國(guó)十大部門價(jià)值型投入產(chǎn)出表。在如表中是五個(gè)部門的投入產(chǎn)出表，即，農(nóng)業(yè)、采礦業(yè)、制造業(yè)、電力工業(yè)、運(yùn)輸業(yè)。

表7.4五個(gè)部門的投入產(chǎn)出表部門中間用途最終用途農(nóng)業(yè)采礦業(yè)制造業(yè)電力工業(yè)運(yùn)輸業(yè)中間總需求量消費(fèi)投資非投資性開發(fā)出口最終總需求量總產(chǎn)出量(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)農(nóng)業(yè)(1)1502001045351053080125采礦業(yè)(2)0000000100304040制造業(yè)(3)100251555515205545100電力工業(yè)(4)51515015505101002575運(yùn)輸業(yè)(5)51015053558201550中間總投入量352575153518560582265205390進(jìn)口(6)150103056055001070納稅(7)20537237(35)00(20)(55)92支付工資(8)40565258101201371投資消耗(9)535124290000029自然資源(10)102162210000021增加價(jià)值90152560152051012013218總投入量(11)125401007550390666334652186082)編制投入產(chǎn)出表根據(jù)調(diào)查和統(tǒng)計(jì)資料，編制投入產(chǎn)出表，以表示在指定年度內(nèi)各部門之間的相互聯(lián)系、相互影響、相互制約、相互交流的情況，如表所示。投入產(chǎn)出表的基本結(jié)構(gòu)是四個(gè)象限:第一象限為物質(zhì)交流象限從1—5行，1—5列，表示投入與產(chǎn)出的關(guān)系。第二象限為最終用途象限從1—5行，6—9列，表示最終需求關(guān)系。第三象限為增加價(jià)值象限從6—10行，1—5列，表式增加價(jià)值關(guān)系。第四象限為直接購(gòu)買象限從6—10行，6—9列，表式直接購(gòu)買要素關(guān)系。3投入產(chǎn)出表的作用投入產(chǎn)出表的作用有以下點(diǎn)：1）顯示各部門間的數(shù)量依存關(guān)系由表中可知，其行（I）為產(chǎn)出部門，列（J）為投入部門。對(duì)于每一行的諸元素，表明了報(bào)告期的一個(gè)特定部門的總產(chǎn)出，例如：在第一行農(nóng)業(yè)總產(chǎn)出量125個(gè)單位中：15個(gè)單位用于農(nóng)業(yè)本身； 20個(gè)單位用于制造業(yè);10個(gè)單位用于運(yùn)輸業(yè)； 采礦業(yè)與電力工業(yè)均未投入。用于中間用途的全部農(nóng)產(chǎn)品45個(gè)單位，即用于進(jìn)一步再生產(chǎn)的農(nóng)產(chǎn)品共有45個(gè)單位。最終需求量80個(gè)單位，包括：消費(fèi)者投資非投資性開支出口等項(xiàng)就是農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的總產(chǎn)出125個(gè)單位的去向。對(duì)每一列的諸元素，表明了報(bào)告期的一個(gè)特定部門的總投入量的來(lái)向，例如:由第一列可知，為了生產(chǎn)125個(gè)單位的總產(chǎn)出，農(nóng)業(yè)消耗自身15個(gè)單位的產(chǎn)品，如用去部分種子。為了生產(chǎn)125個(gè)單位的總產(chǎn)出，農(nóng)業(yè)消耗制造業(yè)10個(gè)單位的產(chǎn)品，如化肥、殺蟲劑等。為了生產(chǎn)125個(gè)單位的總產(chǎn)出，農(nóng)業(yè)消耗電力5個(gè)單位的產(chǎn)品，如開動(dòng)噴水機(jī)等。為了生產(chǎn)125個(gè)單位的總產(chǎn)出，農(nóng)業(yè)消耗運(yùn)輸業(yè)5個(gè)單位的產(chǎn)品，如產(chǎn)品運(yùn)往市場(chǎng)等。這樣，農(nóng)業(yè)向國(guó)內(nèi)各部門投入的全部中間產(chǎn)品共計(jì)35個(gè)單位。此外，農(nóng)業(yè)進(jìn)口15個(gè)單位的中間產(chǎn)品，如進(jìn)口小麥等，向政府納稅20個(gè)單位，支付工資40個(gè)單位，投資5個(gè)單位，購(gòu)買其他自然資源10個(gè)單位。由此可知，農(nóng)業(yè)的總產(chǎn)出價(jià)值恰好等于總投入價(jià)值，都是125個(gè)單位。用同樣的方法可分析表中的所有經(jīng)濟(jì)部門的投入產(chǎn)出結(jié)構(gòu)。2） 求算直接消耗系數(shù)直接消耗系數(shù)是投入產(chǎn)出應(yīng)用分析研究最重要的指標(biāo)?？稍谕度氘a(chǎn)出表的基礎(chǔ)上求算直接消耗系數(shù)，它可顯示出各個(gè)部門在生產(chǎn)中的技術(shù)經(jīng)濟(jì)聯(lián)系。3） 求算間接消耗系數(shù)求出直接消耗系數(shù)后，可通過(guò)算術(shù)運(yùn)算推求出間接消耗系數(shù)。4） 建立投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型在投入產(chǎn)出表的基礎(chǔ)上，可以很方便的建立多種形式的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型，以應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)和計(jì)劃工作。第2節(jié)投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型所謂投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型就是指用數(shù)學(xué)方法來(lái)表示投入產(chǎn)出表中所反映的經(jīng)濟(jì)部門內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型，具體用數(shù)學(xué)方程組來(lái)表示。現(xiàn)介紹如何將投入產(chǎn)出表轉(zhuǎn)化為實(shí)用的數(shù)學(xué)模型。2.1產(chǎn)出平衡方程組即分配平衡方程組從表的行來(lái)看，每一個(gè)生產(chǎn)部門分配給各個(gè)部門再生產(chǎn)性產(chǎn)品加上該部門的最終需求產(chǎn)品，就等于該部門的總產(chǎn)品，于是可得產(chǎn)出平衡方程組：從表中按行可得其產(chǎn)出平衡方程組的一般形式為：TOC\o"1-5"\h\zx =x +x +x +x +x +y11 12 13 14 15 1x =x +x +x +x +x +y21 22 23 24 25 2vx =x +x +x +x +x +y31 32 33 34 35 3x =x +x +x +x +x +y41 42 43 44 45 4x =x +x +x +x +x +y51 52 53 54 55 5可簡(jiǎn)寫為：x=￡x+yi=1,2,3,,nj=1即得數(shù)據(jù)形式為：'125=15+0+20+0+10+8040=0+0+0+0+0+40<100=10+0+25+15+5+4575=5+15+15+0+15+2550=5+10+15+0+5+152.2投入產(chǎn)出平衡方程組即消耗平衡方程組從表的列來(lái)看，每一個(gè)生產(chǎn)部門來(lái)說(shuō)，各個(gè)部門為其投入的產(chǎn)品加上該部門的新創(chuàng)造的價(jià)值，就等于該部門的總投入量?jī)r(jià)值，于是可得投入平衡方程組：X--X+X+X-\ X+z1112131n1 1X=X+X+XH X+Z2122232n2 2<X二=X+X+X-\ X+z3132333n3 3???.?X==X+X+XH X+Z1n1n 2n3n nn可簡(jiǎn)寫為:xx+zj=l,2,3,???,〃jijji=l從表中按列可得其投入平衡方程組的一般形式為:X1=X11+X21+X+X+X51+Z13141X=X+X+X+X+X+z212223242522X=X+X+X+X+X+z313233343533X=X+X+X+X+X+z414243444544X=X+X+X+X+X+Z515253545555即得數(shù)據(jù)形式為：'125=15+0+10+5+5+9040=0+0+0+15+10+15<100=20+0+25+15+15+2575=0+0+15+0+0+6050=10+0+5+15+5+152.3直接消耗系數(shù)平衡方程組1直接消耗系數(shù)1）概念直接消耗系數(shù)是指第J部門每生產(chǎn)單位產(chǎn)品所消耗第I部門產(chǎn)品的單位消耗量，稱第J部門對(duì)第I部門的直接消耗系數(shù)。它表示生產(chǎn)因素和產(chǎn)品之間的生產(chǎn)技術(shù)比例，故又稱技術(shù)系數(shù)。2）求算直接消耗系數(shù)可從“投入產(chǎn)出表”中直接求出，即:Xa=―^- n=1,2,3,…，n;j=1,2,3,…，nj于是：x=ax.其中，x..表示J部門實(shí)際投入I部門產(chǎn)品的數(shù)量，即位于投入產(chǎn)出表中第I行第J列的數(shù)字。X.表示第J部門的總投入量，即投入產(chǎn)出表中第J列最后一個(gè)數(shù)字。由此可求算出表中各個(gè)部門的直接消耗系數(shù)，如表所示。2直接消耗系數(shù)平衡方程組將X..=ax.代入產(chǎn)出平衡方程組，可得直接消耗系數(shù)平衡方程組：x=ax+ax+axH bax+y111 122 133 1nn1x=ax+ax+axb bax+y211 222 233 2n n 2vx=ax+ax+axb bax+y311 322 333 3n n 3x=ax+ax+axbbax+ynn11n22n33 nnnn可簡(jiǎn)寫為：x=￡ax+y i=1,2,3,…，nijjij=1設(shè)A為直接消耗系數(shù)矩陣，X為總投入列矩陣，Y為最終需求矩陣，它們分別為：A=aiia21a31:a12a22a32:a13a23a33:…a'…a2n…a3n… :X=aPn1「氣2X3:an2an3…ann'Y=代11匕2七:V頃n^Ly)n則可得矩陣形式:X=A-X+Y或(E-A)-X=Y這就是最常用的矩陣形式投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型，即矩陣形式地直接消耗系數(shù)投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型。而矩陣(E-A)被稱為列昂節(jié)夫矩陣。兩上式兩邊同除(E-A)，即可得：X=(E—A)-1-Y式中(E-A)-1稱為列昂節(jié)夫逆矩陣。由上式可知，若求出列昂節(jié)夫逆矩陣，即可進(jìn)行經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)和計(jì)劃制定。3舉例例1若已知A矩陣，Y矩陣，求X矩陣。本例以上述五個(gè)部門投入產(chǎn)出表中數(shù)據(jù)為例，試證總產(chǎn)出量X并掌握應(yīng)用方法。1)求A、X、Y矩陣由五個(gè)部門的投入產(chǎn)出表可求得直接消耗系數(shù)A、X、Y矩陣為:

"0.1200.2000.20)00000A=0.0800.250.200.100.040.3750.1500.30、0.040.250.1500.10/r%i125'fL「f801x240y240X=YrX3=100Y=y3=45x475y425EJqo/Iy5J<15J2)求列昂節(jié)夫矩陣(E—A)本例由上述直接消耗系數(shù)A可得列昂節(jié)夫矩陣為:f0.880-0.200-0.20101.0000E-A=-0.0800.75-0.20-0.10-0.04-0.375-0.151.0-0.30廠0.04-0.25-0.1500.90/3)求列昂節(jié)夫逆矩陣(E—A)-1進(jìn)而可求得列矩陣(E—A)-1為：f1.190.110.400.080.3410 1.00 0 0 0(E-A)-1=0.160.191.500.300.300.100.500.321.060.41^0.080.310.270.051.18?4)求總產(chǎn)出矩陣X已知Y矩陣 艮"f1.190.110.400.080.34、f801f124.710 1.00 0 0 04040X=(E-A)-1Y=0.160.191.500.300.3045=99.90.100.500.321.060.412575^0.080.310.270.051.18?<15j、49.9?由此得已試證，整個(gè)模型合理，可應(yīng)用于投入產(chǎn)出分析。例2若已知A矩陣，AyjO,Ay2=0,Ay3=10,Ay4=0,Ay5=0,那么五個(gè)部門的總產(chǎn)出量各增加多少？即求AX。（1）、（2）、（3）同前。（4）求總產(chǎn)出增量AX"01"4-0100AX=(E-A)-1Ay=(E-A)-110=1503.2<0>、2.7/因此可知，當(dāng)制造業(yè)的最終需求增長(zhǎng)10個(gè)單位時(shí)，農(nóng)業(yè)總產(chǎn)出x1增加4個(gè)單位；采礦業(yè)的總產(chǎn)出x2不變；制造業(yè)總產(chǎn)出x3增加15個(gè)單位；電力工業(yè)總產(chǎn)出x4增加3.2個(gè)單位，運(yùn)輸業(yè)總產(chǎn)出x5增加2.7個(gè)單位。2.4完全消耗系數(shù)平衡方程組我們知道，國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門之間除了發(fā)生直接聯(lián)系，產(chǎn)生直接消耗外，還存在著間接聯(lián)系，產(chǎn)生間接消耗。1完全消耗系數(shù)1）概念（1） 間接消耗系數(shù)間接消耗系數(shù)是指第J部門每生產(chǎn)單位所間接消耗第I部門產(chǎn)品的單位消耗量，稱第J部門對(duì)第I部門的間接消耗系數(shù)；（2） 完全消耗系數(shù)完全消耗系數(shù)是指第J部門每生產(chǎn)單位產(chǎn)品所直接消耗和間接

消耗第I部門產(chǎn)品的單位消耗量和，稱第J部門對(duì)第I部門的完全消耗系數(shù)，即直接消耗系數(shù)和間接消耗系數(shù)之和，就稱為完全消耗系數(shù)?？捎胋.來(lái)表示。2）求算根據(jù)上述概念可直接求得，即:i,j=1,2,3,…，nb=ai,j=1,2,3,…，nijij ikkjk=1于是可得完全消耗系數(shù)平衡方程組:x=bx+bx+bx+ +bx+y111 122 133 1nn1x =b x+b x +b x+ +b x +y211 222 233 2nn2x =b x+b x +b x+ +b x +y311 322 333 3nn3x=bx+bx+bx+ +bx+ynn11n22可簡(jiǎn)寫為:x=x=fbx+yiijjij=1i=1,2,3,…，n設(shè)B設(shè)B為直接消耗系數(shù)矩陣X為總投入列矩陣，Y為最終需求矩陣，它們分別為:fb11bfb11b21b31b12b22b32b13b23b33b1b2b3bbbbfx1「x2x3:7=fy1]y2y3:V頃n^Ly)n7nX=n2n3n"bn1則可得矩陣形式:X=B-X+Y或(E-B)-X=Y將兩上式兩邊同除(E-B)，即可得：X=(E—B)-1-Y由上式可知，必須先求出完全消耗系數(shù)B矩陣，才可進(jìn)行經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)和計(jì)劃制定。這樣直接求算卻很麻煩，因此，可利用(E-A)-1來(lái)求完全消耗系數(shù)。其推求方法是：完全消耗系數(shù)的矩陣形式為：B=A+B-AB-B-A=AB(E-A)=A兩邊同右乘(E-A)-1，則得：B=A(E-A)-1=(E-E+A)(E-A)-1=[E-(E-A)](E-A)-1=E(E-A)-1-(E-A)(E-A)-1=(E-A)-1-E此式可告訴我們，只要根據(jù)直接消耗系數(shù)矩陣A,求出列昂節(jié)夫逆矩陣(E-A)-1，再?gòu)闹袦p去安慰矩陣E，就可求得完全消耗系數(shù)矩陣B了。2完全消耗系數(shù)平衡方程組由直接消耗系數(shù)模型的矩陣形式可得：X=(E-A)-1Y因?yàn)椋?B=(E-A)-1-E所以， (E-A)-1=B+E代入上式可得完全消耗系數(shù)模型的矩陣形式為:X=(B+E)Y若求出完全消耗系數(shù)，即可用于經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)和計(jì)劃制定。3舉例1)求完全消耗系數(shù)已知直接消耗系數(shù)矩陣Af02020]A=0.20.10.1、00.20.1,解：第一步求(E-A)f0.8-0.2 0](E-A)=-0.2 0.9 -0.1、0 -0.20.9/第二步求(E-A)-1f1.32550.30200.0336'(E-A)-1=0.30201.20810.1342^0.06710.26851.1409/第三步求Bf0.32550.30200.0336、B=(E-A)-1-E=0.30200.20810.1342、0.06710.26850.1409/由此可知，完全消耗系數(shù)一定大于或等于直接消耗系數(shù)。2)求總產(chǎn)出量綜上所述，完全消耗系數(shù)既反映了國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門之間的直接聯(lián)系，也反映了國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門之間的間接聯(lián)系。國(guó)民經(jīng)濟(jì)中任何一個(gè)部門的生產(chǎn)都以各種途徑與其它部門聯(lián)系著。在經(jīng)濟(jì)分析與計(jì)劃管理上，人們都要確切地掌握這種經(jīng)濟(jì)情報(bào)，但是，只有科學(xué)地建立了經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型和使用計(jì)算機(jī)之后，這種愿望才能變成現(xiàn)實(shí)！第3節(jié)投入產(chǎn)出模型的應(yīng)用3.1投入產(chǎn)出模型的建立第一步求算投入產(chǎn)出平衡表在投入產(chǎn)出模型理論的指導(dǎo)下，通過(guò)調(diào)查研究和對(duì)已有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加工整理，并認(rèn)真進(jìn)行綜合分析，即可求得投入產(chǎn)出平衡表，具體可參考相關(guān)資料。本例為五個(gè)部門的投入產(chǎn)出平衡表，如表7.4所示。第二步建立投入產(chǎn)出模型主要建立直接消耗系數(shù)投入產(chǎn)出模型和完全消耗系數(shù)投入產(chǎn)出模型。1、建立直接消耗系數(shù)投入產(chǎn)出模型(1)求算直接消耗系數(shù)A由五個(gè)部門的投入產(chǎn)出表可求得直接消耗系數(shù)A為："0.1200.2000.20)00000A=0.0800.250.200.100.040.3750.1500.30、0.040.250.1500.10/(2)建立直接消耗系數(shù)模型由上述直接消耗系數(shù)A可得其投入產(chǎn)出模型的矩陣形式為:X=AX+Y其中:'x1'125'y「'80、X2407240X3=100Y=y3=45X475y425"X5^qo/Iy5^、15>X=2、建立完全消耗系數(shù)投入產(chǎn)出模型(1)求算完全消耗系數(shù)B由完全消耗系數(shù)的概念可得其矩陣形式為:B=A+BAB-BA=AB(E-A)=AB=A(E-A)-1B=(E-A)-1-E本例由上述直接消耗系數(shù)A可得列昂節(jié)夫矩陣為:0.880-0.200-0.2001.0000-0.0800.75-0.20-0.10-0.04-0.375-0.151.0-0.30-0.04-0.25-0.1500.90E-A=進(jìn)而可求得到昂節(jié)夫逆矩陣(E-A)-i為:

61.190.110.400.080.34)0 1.00 0 0 0(E-A)-1=0.160.191.500.300.300.100.500.321.060.41^0.080.310.270.051.墮故本例的完全消耗系數(shù)B為：B=(E-A)-1-E"0.190.110.400.080.34)0 0 0 0 0B=0.160.190.500.300.300.100.500.320.060.410080.310.270.050.18/(2)建立完全消耗系數(shù)模型由于直接消耗系模型X=AX+YX-AX=YX(E-A)=YX=(E-A)-1Y因?yàn)锽=(E-A)-1-E所以B+E=(E-A)-1于是可得完全消耗系數(shù)模型的矩陣形式為:X=(B+E)Y其中:6*:y680)402Y=y3y44=4525頃51[15J3.2投入產(chǎn)出模型的應(yīng)用例1若已知A矩陣，Y矩陣，求X矩陣。本例以上述五個(gè)部門投入產(chǎn)出表中數(shù)據(jù)為例，試證總產(chǎn)出量X并掌握應(yīng)用方法。(1)求A矩陣 同前⑵求列昂節(jié)夫矩陣(E—A) 同前求列昂節(jié)夫逆矩陣(E-A)-1 同前求總產(chǎn)出矩陣X已知Y矩陣同前f1.190.110.400.080.34)f80]f124.7)01.000004040X=(E-A)-1Y=0.160.191.500.300.3045=99.90.100.500.321.060.412575、0.080.310.270.051.18/<15>、49.9/由此得已試證，整個(gè)模型合理，可應(yīng)用于投入產(chǎn)出分析。例2若已知A矩陣，AyjO，Ay2=0，Ay3=10，Ay4=0，Ay5=0,那么五個(gè)部門的總產(chǎn)出量各增加多少？即求AX。(1)、(2)、(3)同前。(4)求總產(chǎn)出增量AXf0.f4.0)00AX=(E-A)-1AY=(E-A)-110=1503.2<0>、2.7/因此可知，當(dāng)制造業(yè)的最終需求增長(zhǎng)10個(gè)單位時(shí)，農(nóng)業(yè)總產(chǎn)出x1增加4個(gè)單位；采礦業(yè)的總產(chǎn)出x2不變；制造業(yè)總產(chǎn)出x3增加15個(gè)單位；電力工業(yè)總產(chǎn)出x4增加3.2個(gè)單位，運(yùn)輸業(yè)總產(chǎn)出x5增加2.7個(gè)單位。例3設(shè)有一經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)只有三個(gè)部門，其直接消耗系數(shù)矩陣A為:'0.20.20、A=0.20.10.1、00.20.1若下一個(gè)生產(chǎn)周期三個(gè)部門的最終需求分別是y]=90、y2=70、y3=160。試問(wèn)各部門總產(chǎn)出要達(dá)到多少，才能滿足計(jì)劃的要求？根據(jù)題意需要運(yùn)用完全消耗系數(shù)模型求各部門的總產(chǎn)出才能滿足計(jì)劃要求。(1)求完全消耗系數(shù)B已知直接消耗系數(shù)A，則：列昂節(jié)夫矩陣為：'0.8-0.20）E-A=-0.20.9-0.1<0-0.20.9/列昂節(jié)夫逆矩陣為：'1.32550.30200.0336、（E-A）-1=0.30201.20810.1342^0.06710.26851.1409?完全消耗系數(shù)矩陣B為：'0.32550.30200.0336、B=（E-A）-1-E=0.30200.20810.1342^0.06710.26850.1409/⑵求總產(chǎn)出X矩陣已知y1=90，y2=70，y3=160。

由完全消耗系數(shù)模型可得:X=（B+EX=（B+E）Y=f145-8]

133.2、207.4/0.30201.20810.134270、0.06710.26851.1409R160,故三個(gè)部門的總產(chǎn)出分別為X]=145.8、x2=133.2、x3=207.4時(shí)，即可滿足計(jì)劃要求。例4如果例3中將最終需求y1=100，即^y1=10,y2，y3不變，試問(wèn)各部門的總產(chǎn)出應(yīng)為多少，才能滿足計(jì)劃的要求？(1)求心已知：Ay]=10，Ay2=0，Ay3=0，則:AX=（AX=（B+E）AY=f1.32550.3020、0.06710.30200.0336Y10、1.20810.13420.26851.1409f13.3]

3.007Iu./7⑵求X+AXf145.8、13.3、'159.1、132.2+3.0=136.2、207.47<07、208.17X+AX-由此可知，當(dāng)最終需求y1增加10個(gè)單位，y2、y3不變時(shí)，總產(chǎn)出xj159.1、％=136.2、X3=208.1時(shí)，才能滿足計(jì)劃要求。3.2投入產(chǎn)出模型的實(shí)習(xí)指導(dǎo)3.2.1實(shí)習(xí)目的1、 鞏固投入產(chǎn)出分析法的基本原理及方法步驟。2、 掌握投入產(chǎn)出分析程序的使用方法及技巧。3、 求取投入產(chǎn)出模型的直接消耗系數(shù)，完全消耗系數(shù)，列昂節(jié)夫矩陣及列昂節(jié)夫逆矩陣并應(yīng)用于國(guó)民經(jīng)濟(jì)部門管理決策。4、 掌握投入產(chǎn)出分析程序的變換應(yīng)用方法。3.2.2實(shí)習(xí)內(nèi)容1、 標(biāo)識(shí)符說(shuō)明N 產(chǎn)出部門數(shù)X(N,N+2) 存放投入產(chǎn)出平衡表數(shù)據(jù)A(N，N) 存放直接消耗系數(shù)B(N，N) 存放完全消耗系數(shù)R(N，N) 存放列昂節(jié)夫逆矩陣D(N) 存放最終產(chǎn)品增長(zhǎng)率2、 程序10REMThisIsTheProgramOfInput&OutputMethed20Print“InputTheOrderOfTheMatrix”30INPUT“經(jīng)濟(jì)部門數(shù)N=”；N40DIMX(N,N+2),A(N,N),R(N,N),X1(N),D(N),V(N)50PRINT60PRINT“TheListOfI/O”70FORI=1TON80FORJ=1TON+290READX(I,J)100PRINTTAB(8*(J—1));X(I,J);110NEXTJ120PRINT130NEXTI140FORJ=1TON150FORI=1TON

160170180190200210220230240250260270280290300310320330340350360370380390400410420430450460470480490500510520A(I,J)=X(I,J)/X(J,N+2)NEXTINEXTJPRINT“OutputTechnicalCoefficiantMatrixAFORI=1TONFORJ=1TONPRINTA(I,J),NEXTJPRINTNEXTIPRINTPRINTFORI=1TONFORJ=1TONIFJ=IGOTO330R(I,J)=—A(I,J)GOTO340R(I,J)=1—A(I,J)NEXTJNEXTIPRINT“OuputLeontifMatrixR=I—A”FORI=1TONFORJ=1TONPRINTR(I,J),NEXTJPRINTNEXTIREMComputingTheLeontifInverseMatrixR-1FORK=1TONFORI=1TONFORJ=1TONIFI=KTHEN520IFJ=KTHEN510R(I,J)=R(I,J)—R(I,K)*R(K,J)/R(K,K)NEXTJ

530FORI=1TON540IFI=KTHEN570550R(K,I)=R(K,I)/R(K,K)560R(I,K)=—R(I,K)/R(K,K)570NEXTI580R(K,K)=1/R(K,K)590NEXTK860PRINT“OutputInverseMatrixR-1"870FORI=1TON880FORJ=1TON890PRINTR(I,J),900NEXTJ：PRINT910NEXTIFORI=1TONFORJ=1TONIFI=JTHENB(I,J)=R10(I,J)-1:GOTO15925B(I,J)=R10(I,J)NEXTJNEXTI928PRINT"B:"930FORI=1TON932FORJ=1TON-1PRINTB(I,J);”,”;NEXTJ:PRINTB(I,N)938NEXTI940FORI=1TON970READD(I)980NEXTI990PRINT995PRINT1000PRINT“AY%",“NewY",“NewX",“AX",“AX%1005PRINT1010FORI=1TON1020X1(I)=01030FORJ=1TON1040X1(I)=X1(I)+R(I,J)*X(J,N+1)*(1+D(J)/100)1065PRINTD(