誤差理論與數(shù)據(jù)處理第一章

研究誤差的意義誤差的基本概念精度有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運(yùn)算第1章緒論合肥工業(yè)大學(xué)

誤差理論與數(shù)據(jù)處理第一節(jié)研究誤差的意義科學(xué)始于測(cè)量,沒(méi)有測(cè)量，便沒(méi)有精密的科學(xué)。門(mén)捷列夫門(mén)捷列夫(1834-1907)第一節(jié)研究誤差的意義

當(dāng)你能夠測(cè)量你所關(guān)注的事物，而且能夠用數(shù)量來(lái)描述他的時(shí)候，你就對(duì)其有所認(rèn)識(shí)；當(dāng)你不能測(cè)量他，也不能將其量化的時(shí)候，你對(duì)他的了解就是貧乏和不深入的。開(kāi)爾文開(kāi)爾文（1824-1907）第一節(jié)研究誤差的意義

信息技術(shù)包括測(cè)量技術(shù)、計(jì)算機(jī)技術(shù)和通信技術(shù)，測(cè)量技術(shù)是信息技術(shù)的關(guān)鍵和基礎(chǔ)。錢學(xué)森錢學(xué)森(1911-)第一節(jié)研究誤差的意義正確認(rèn)識(shí)誤差的性質(zhì)，分析誤差產(chǎn)生的原因正確處理測(cè)量和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，合理計(jì)算所得結(jié)果,正確評(píng)定測(cè)量結(jié)果正確組織實(shí)驗(yàn)過(guò)程，合理設(shè)計(jì)、選用儀器或測(cè)量方法從根本上，消除或減小誤差通過(guò)計(jì)算得到更接近真值的數(shù)據(jù)根據(jù)目標(biāo)確定最佳系統(tǒng)第一節(jié)研究誤差的意義第一節(jié)研究誤差的意義大軸直徑測(cè)量：測(cè)量不確定度＜0.005mm/m。第二節(jié)誤差的基本概念誤差的定義及表示法誤差的來(lái)源誤差分類一、誤差的定義及表示法誤差（Error）：誤差測(cè)得值真值＝－約定真值理論值真值真值（TrueValue）：觀測(cè)一個(gè)量時(shí)，該量本身所具有的真實(shí)大小。一、誤差的定義及表示法三角形內(nèi)角之和恒為180o一個(gè)整圓周角為

360o理論值國(guó)際千克基準(zhǔn)1Kg在檢定工作中，常把高一等級(jí)精度的標(biāo)準(zhǔn)所測(cè)得的量值，即實(shí)際值作為約定真值。約定真值測(cè)量某壓力二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測(cè)得9000.2N/CM2高一等級(jí)的壓力計(jì)測(cè)得9000.５N/CM2約定真值一、誤差的定義及表示法約定真值獲得方式(1)由國(guó)家基準(zhǔn)或當(dāng)?shù)刈罡哂?jì)量標(biāo)準(zhǔn)復(fù)現(xiàn)而賦予該量的值。(2)采用權(quán)威組織推薦的該量的值。例如，由國(guó)際數(shù)據(jù)委員會(huì)(CODATA)推薦的真空光速、阿伏加德羅常量等特定量的最新值。(3)有時(shí)用某量的多次測(cè)量結(jié)果來(lái)確定該量的約定真值。(4)對(duì)于硬度等量，則用其約定參考標(biāo)尺上的值作為約定真值。一、誤差的定義及表示法一、誤差的定義及表示法誤差絕對(duì)誤差相對(duì)誤差粗大誤差系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差表示形式性質(zhì)特點(diǎn)一、誤差的定義及表示法絕對(duì)誤差（AbsoluteError）

常用約定真值代替

特點(diǎn)：1)絕對(duì)誤差是一個(gè)具有確定的大小、符號(hào)及單位的量。2)絕對(duì)誤差與誤差的絕對(duì)值不同。x＝x－x0絕對(duì)誤差測(cè)得值真值＝－一、誤差的定義及表示法修正值(Correction)

:為了消除系統(tǒng)誤差用代數(shù)法加到測(cè)量結(jié)果上的值。

修正值真值測(cè)得值－特點(diǎn)：1)與誤差大小近似相等，但方向相反。2)修正值本身還有誤差。誤差－真值修正值測(cè)得值+一、誤差的定義及表示法【例1-1】用某電壓表測(cè)量電壓，電壓表的示值為226V，查該表的檢定證書(shū)，得知該電壓表在220V附近的誤差為5V，被測(cè)電壓的修正值為－5V，則修正后的測(cè)量結(jié)果為226+(－5V)=221V。

測(cè)得值絕對(duì)誤差一、誤差的定義及表示法被測(cè)量的真值，常用約定真值代替，也可以近似用測(cè)量值x來(lái)代替相對(duì)誤差特點(diǎn)：1）相對(duì)誤差有大小和符號(hào)。2）無(wú)量綱，一般用百分?jǐn)?shù)來(lái)表示。絕對(duì)誤差相對(duì)誤差（RelativeError）：

實(shí)際相對(duì)誤差示值相對(duì)誤差引用相對(duì)誤差一、誤差的定義及表示法絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差用兩種方法測(cè)量L1＝100ＭＭ的尺寸，其測(cè)量誤差為，，哪種方法測(cè)量精度高？若用第三種方法測(cè)量L2＝80ＭＭ的尺寸，其測(cè)量誤差為，與上述兩種方法相比，精度如何？用絕對(duì)誤差評(píng)定用相對(duì)誤差評(píng)定第二種方法精度更高一、誤差的定義及表示法第一種方法的相對(duì)誤差為：第二種方法的相對(duì)誤差為：第三種方法的相對(duì)誤差為：結(jié)論：用絕對(duì)誤差不便于比較不同量值、不同單位、不同物理量等的測(cè)量精度，采用相對(duì)誤差評(píng)定較為準(zhǔn)確。一、誤差的定義及表示法定義

（１）測(cè)量范圍上限或全量程引用誤差

儀器某刻度點(diǎn)的示值誤差

引用誤差是一種相對(duì)誤差，而且該相對(duì)誤差是引用了特定值，即測(cè)量范圍上限（或全量程）得到的，故又稱為引用相對(duì)誤差、滿度誤差。

引用誤差（MeasuringInstrumentFiducialError）一、誤差的定義及表示法我國(guó)電工儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)(AccuracyClass)就按引用誤差分級(jí)的，如1.5級(jí)的電表，表明≤±1.5％。我國(guó)電工儀表共分七級(jí)：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0。

若某儀表的等級(jí)是S級(jí)，它的滿刻度值為xm，則測(cè)量的引用誤差為≤±S％按公式１絕對(duì)誤差為

△x≤±xm×S％（２）

相對(duì)誤差為

S選定后，X愈接近Xm，相對(duì)誤差的上限值愈小，測(cè)量愈準(zhǔn)確。一般應(yīng)使被測(cè)量的值盡可能在儀表滿刻度值的三分之二以上。一、誤差的定義及表示法

【例1-2

】檢定一只2.5級(jí)、量程為100V的電壓表，發(fā)現(xiàn)在50V處誤差最大，其值為2V，而其他刻度處的誤差均小于2V，問(wèn)這只電壓表是否合格？該電壓表的引用誤差為由于所以該電壓表合格?！窘狻俊纠?-3

】某1.0級(jí)電流表，滿度值（標(biāo)稱范圍上限）為100，求測(cè)量值分別為100，80和20時(shí)的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。（）依題意，由公式（２）可知，最大絕對(duì)誤差為

相對(duì)誤差分別為

在同一標(biāo)稱范圍內(nèi)，測(cè)量值越小，其相對(duì)誤差越大。

【解】二、誤差的來(lái)源AddYourText測(cè)量誤差裝置誤差人員誤差環(huán)境誤差方法誤差二、誤差的來(lái)源測(cè)量裝置誤差標(biāo)準(zhǔn)量具誤差儀器誤差附件誤差工作原理＼設(shè)計(jì)＼裝配＼檢定誤差讀數(shù)＼量化誤差老化磨損誤差標(biāo)準(zhǔn)量具誤差:標(biāo)準(zhǔn)砝碼儀器誤差：天平的示值變動(dòng)誤差天平本身的加工誤差二、誤差的來(lái)源二、誤差的來(lái)源各種環(huán)境因素與規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)不一致而引起的測(cè)量裝置和被測(cè)量本身的變化所造成的誤差。測(cè)量環(huán)境誤差溫度濕度氣壓光照電磁振動(dòng)二、誤差的來(lái)源測(cè)量方法誤差指使用的測(cè)量方法不完善，或采用近似的計(jì)算公式等原因所引起的誤差，又稱為理論誤差。［例］用均值電壓表測(cè)量交流電壓時(shí)，其讀數(shù)是按照正弦波的有效值進(jìn)行刻度，由于計(jì)算公式中出現(xiàn)無(wú)理數(shù)和，故取近似公式，由此產(chǎn)生的誤差即為理論誤差。二、誤差的來(lái)源測(cè)量人員誤差測(cè)量人員的工作責(zé)任心、技術(shù)熟練程度、生理感官與心理因素、測(cè)量習(xí)慣等的不同而引起的誤差。為了減小測(cè)量人員誤差，要求測(cè)量人員：認(rèn)真了解測(cè)量?jī)x器的特性和測(cè)量原理熟練掌握測(cè)量規(guī)程精心進(jìn)行測(cè)量操作正確處理測(cè)量結(jié)果0910三、誤差分類三、誤差分類系統(tǒng)誤差（SystematicError）在相同條件下，多次測(cè)量同一量值，該誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，按某一確定規(guī)律變化的誤差。在實(shí)際估計(jì)測(cè)量器具示值的系統(tǒng)誤差時(shí)，常常用適當(dāng)次數(shù)的重復(fù)測(cè)量的算術(shù)平均值減去約定真值來(lái)表示，又稱為測(cè)量器具的偏移或偏畸（Bias）。由于系統(tǒng)誤差具有一定的規(guī)律性，因此可以根據(jù)其產(chǎn)生原因，采取一定的技術(shù)措施，設(shè)法消除或減小它。三、誤差分類系統(tǒng)誤差舉例：1用天平計(jì)量物體質(zhì)量時(shí)，砝碼的質(zhì)量偏差2圓度測(cè)量時(shí)，工件與旋轉(zhuǎn)軸安裝偏心引起的測(cè)量誤差3刻線尺的累積誤差三、誤差分類誤差絕對(duì)值和符號(hào)已經(jīng)明確的系統(tǒng)誤差。

已定系統(tǒng)誤差：舉例：量塊

誤差絕對(duì)值和符號(hào)未能確定的系統(tǒng)誤差，但通常估計(jì)出誤差范圍。

未定系統(tǒng)誤差：三、誤差分類誤差絕對(duì)值和符號(hào)固定不變的系統(tǒng)誤差。

不變系統(tǒng)誤差：舉例：砝碼、熱膨脹誤差

誤差絕對(duì)值和符號(hào)變化的系統(tǒng)誤差。按其變化規(guī)律，可分為線性系統(tǒng)誤差、周期性系統(tǒng)誤差和復(fù)雜規(guī)律系統(tǒng)誤差。

變化系統(tǒng)誤差：三、誤差分類在相同測(cè)量條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)定方式變化的誤差但存在統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。又稱為偶然誤差。隨機(jī)誤差產(chǎn)生原因?qū)嶒?yàn)條件的偶然性微小變化，如溫度波動(dòng)、噪聲干擾、電磁場(chǎng)微變、電源電壓的隨機(jī)起伏、地面振動(dòng)等。

措施用概率統(tǒng)計(jì)的方法處理含有隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)，減小隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。（RandomError）三、誤差分類粗大誤差（GrossError）指明顯超出統(tǒng)計(jì)規(guī)律預(yù)期值的誤差。簡(jiǎn)稱粗差。定義產(chǎn)生原因某些偶爾的異常因素或疏忽所致。

測(cè)量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤，操作疏忽和失誤

測(cè)量條件的突然變化該誤差很大，會(huì)明顯歪曲測(cè)量結(jié)果。故應(yīng)按照一定的準(zhǔn)則進(jìn)行判別，將含有粗大誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)（稱為壞值或異常值）予以剔除。措施三、誤差分類三類誤差的關(guān)系標(biāo)準(zhǔn)差期望值

均值

某次測(cè)得值

奇異值

三類誤差的定義是科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，不能混淆。但在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。按照一定基本尺寸制造的量塊。第三節(jié)精度它反映測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響。準(zhǔn)確度（Correctness）它反映測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差的影響程度。精密度（Precision）精確度（Accuracy）

它反映測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差綜合的影響程度，簡(jiǎn)稱精度。第三節(jié)精度準(zhǔn)確度、精密度和精確度三者的關(guān)系準(zhǔn)確度高精密度低準(zhǔn)確度低精密度高準(zhǔn)確度高精密度高精確度高第三節(jié)精度在相同條件下，在短時(shí)間內(nèi)對(duì)同一個(gè)量進(jìn)行多次測(cè)量所得測(cè)量結(jié)果之間的一致程度，一般用測(cè)量結(jié)果的分散性來(lái)定量表示。

重復(fù)性（Repeatability）在變化條件下，對(duì)同一個(gè)量進(jìn)行多次測(cè)量所得測(cè)量結(jié)果之間的一致程度，一般用測(cè)量結(jié)果的分散性來(lái)定量表示。復(fù)現(xiàn)性也稱為再現(xiàn)性。

復(fù)現(xiàn)性（Reproducibility）常用精度名詞術(shù)語(yǔ)第三節(jié)精度測(cè)量?jī)x器保持其計(jì)量特性隨時(shí)間恒定的能力。它可以用幾種方式來(lái)定量表示，如用計(jì)量特性變化某個(gè)規(guī)定的量所經(jīng)過(guò)的時(shí)間；或用計(jì)量特性經(jīng)規(guī)定的時(shí)間所發(fā)生的變化等。

穩(wěn)定性（Stability）測(cè)量?jī)x器的示值與對(duì)應(yīng)輸入量的真值（或約定真值）之差。其實(shí)質(zhì)就是反映了測(cè)量?jī)x器準(zhǔn)確度的大小。

示值誤差（ErrorofIndication）第三節(jié)精度測(cè)量?jī)x器示值的系統(tǒng)誤差。通常用適當(dāng)次數(shù)重復(fù)測(cè)量的示值誤差的平均來(lái)估計(jì)。

偏移（Bias）對(duì)于給定的測(cè)量?jī)x器，規(guī)范、規(guī)程等所允許的誤差極限值。有時(shí)也稱為允許誤差限。

最大允許誤差（MaximumPermissibleError）表征合理地賦予被測(cè)量之值的分散性，與測(cè)量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)。不確定度（uncertainty）第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運(yùn)算含有誤差的任何數(shù)，如果其絕對(duì)誤差界是最末尾數(shù)的半個(gè)單位，那么從這個(gè)近似數(shù)左方起的第一個(gè)非零的數(shù)字起到最末一位數(shù)字止的所有數(shù)字，不管是零或非零的數(shù)字，都叫有效數(shù)字。

測(cè)量結(jié)果保留位數(shù)的原則1：最末一位數(shù)字是不可靠的，倒數(shù)第二位數(shù)字是可靠的。測(cè)量結(jié)果保留位數(shù)的原則2：在進(jìn)行重要的測(cè)量時(shí)，測(cè)量結(jié)果和測(cè)量誤差可比上述原則再多取一維數(shù)字作為參考。一、有效數(shù)字第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運(yùn)算二、數(shù)字舍入規(guī)則若舍去部分的數(shù)值，大于保留部分末位的半個(gè)單位，則末位數(shù)加1。若舍去部分的數(shù)值，小于保留部分末位的半個(gè)單位，則末位數(shù)減1。若舍去部分的數(shù)值，等于保留部分末位的半個(gè)單位，則

末位湊成偶數(shù)，即當(dāng)末位為偶數(shù)時(shí)則末位不變，當(dāng)末位是奇數(shù)時(shí)則末位加1。第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運(yùn)算三、數(shù)字運(yùn)算規(guī)則為保證最后結(jié)果有盡可能高的精度，運(yùn)算數(shù)字在有效數(shù)字后可多保留一位數(shù)字作為參考數(shù)字。加減運(yùn)算時(shí)，各運(yùn)算數(shù)據(jù)以小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準(zhǔn)，其余各數(shù)據(jù)可多取一位小數(shù)，但最后結(jié)果應(yīng)與小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)小數(shù)位相同。乘除運(yùn)算時(shí)，各運(yùn)算數(shù)據(jù)以有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準(zhǔn)，其余各數(shù)據(jù)可多取一位有效數(shù)，但最后結(jié)果應(yīng)與有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)相同。平