金融數(shù)學(xué)第五章-套利定價(jià)理論

第五章套利定價(jià)理論套利定價(jià)模型

套利定價(jià)模型的擴(kuò)展討論1第五章套利定價(jià)理論

套利定價(jià)模型

假定證券的收益受到一些共同因子的影響，并且收益率與共同因子之間的關(guān)系如下：注：（1）若將市場(chǎng)證券組合作為影響證券收益率的唯一共同因子，則CAPM可以看作是單因子套利定價(jià)模型。（2）指數(shù)定價(jià)模型與套利定價(jià)模型都是假定證券收益率受到某些共同因子的影響，但是不同之處在于套利定價(jià)模型并未指出共同因子是什么以及有多少共同因子。2第五章套利定價(jià)理論

單因子套利定價(jià)模型

假設(shè)證券收益率只受到一個(gè)共同因子F的影響，相應(yīng)收益率的表達(dá)式為：且滿足充分風(fēng)險(xiǎn)投資組合的單因子套利定價(jià)模型

3第五章套利定價(jià)理論

可以將證券i的風(fēng)險(xiǎn)分解成由共同因子引起的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)與由特殊因素引起的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)兩部分之和：于是，相應(yīng)的組合P的風(fēng)險(xiǎn)可以寫成4第五章套利定價(jià)理論

于是充分分散投資組合的收益率構(gòu)成為：

顯然，單個(gè)證券收益率與共同因子不存在完全的線性關(guān)系，但是充分分散證券組合的收益率與共同因子間具有線性關(guān)系。證明如圖所示，假設(shè)有兩個(gè)充分分散投資組合P和Q,它們的收益率分別表示為

因此，無(wú)論共同因子處于何種水平，證券組合P都要優(yōu)于證券組合Q，這樣就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。5第五章套利定價(jià)理論

例如，投資者賣空100萬(wàn)元的證券組合Q的同時(shí)買入價(jià)值100萬(wàn)元的組合P，從而構(gòu)造了一個(gè)零投資組合，且其收益額為:=2萬(wàn)元且

系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)與非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)全部都消除了，投資者不用任何本金就可以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)獲利2萬(wàn)元，但是這種獲利不會(huì)保持長(zhǎng)久。6第五章套利定價(jià)理論

證明用反證法

7第五章套利定價(jià)理論

在市場(chǎng)均衡狀態(tài)下，任何充分分散投資組合都具有相同的風(fēng)險(xiǎn)償率（單位風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格）：8第五章套利定價(jià)理論

單個(gè)證券的單因子套利定價(jià)模型

首先，選擇風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率高的證券A和風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率低的組合C，通過(guò)賣空補(bǔ)償率低的證券C，投資于補(bǔ)償率高的證券A,并滿足：

投資組合Z沒(méi)有系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，但需要非零的投資額，并且有非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。9第五章套利定價(jià)理論

以此類推，通過(guò)賣空風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償率低的證券D和C而投資于補(bǔ)償率高的證券A和B，并且滿足：10第五章套利定價(jià)理論

至此，構(gòu)造除了兩個(gè)無(wú)任何風(fēng)險(xiǎn)的投資組合，但是它們的期望收益率不同，很明顯，存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，即只需要賣空一定量的低期望收益率的組合Z，同時(shí)用所得的資金投資于期望收益率高的組合Z’，就可以獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)差額利潤(rùn)。這一套利機(jī)會(huì)對(duì)于任何投資者均是有利的，于是所有投資者均會(huì)試圖利用這一套利機(jī)會(huì)。

隨著投資者不斷的賣空D,C,F這樣的風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率低的證券，使得其價(jià)格隨著供給增加而下降，從而期望收益率上升，類似的不斷的買入A,B,E這樣的風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率高證券，使得需求增加，導(dǎo)致價(jià)格上升，進(jìn)而期望收益率下降，最終市場(chǎng)將調(diào)節(jié)到“幾乎所有”證券的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償都一致的狀態(tài)，使得套利機(jī)會(huì)消失。因此，在市場(chǎng)均衡狀態(tài)下，單個(gè)證券將滿足：

或

11第五章套利定價(jià)理論

充分分散投資組合與單個(gè)證券的套利定價(jià)的一致性

在市場(chǎng)均衡條件下，充分分散證券組合的APT定價(jià)模型與單個(gè)證券的APT定價(jià)模型是一致的。對(duì)比充分分散投資組合的套利定價(jià)模型，可得

12第五章套利定價(jià)理論

多因子套利定價(jià)模型

考慮兩個(gè)共同因子的情況（三個(gè)或以上的共同因子情況，可以作類似的推廣）。設(shè)證券收益率的分解式為充分風(fēng)險(xiǎn)投資組合的雙因子套利定價(jià)模型13第五章套利定價(jià)理論

于是，相應(yīng)的組合P的風(fēng)險(xiǎn)可以寫成

此時(shí)組合P的總風(fēng)險(xiǎn)幾乎全部是系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。14第五章套利定價(jià)理論

與單因子討論模型的討論一樣,同樣可以從兩個(gè)命題的考察中得到充分分散投資組合的雙因子套利定價(jià)模型.單個(gè)證券的雙因子套利定價(jià)模型

可以證明單個(gè)證券的雙因子套利定價(jià)模型與充分分散投資組合的雙因子套利定價(jià)模型是一致的，即對(duì)于任意證券（或證券組合）而言，雙因子套利定價(jià)模型為:15第五章套利定價(jià)理論

多因子套利定價(jià)模型

如果影響證券收益率的共同因子不止兩個(gè)，采用同樣的分析方法，可以得出與雙因素完全類似的均衡定價(jià)模型:16第五章套利定價(jià)理論

套利定價(jià)模型的擴(kuò)展討論共同因子的選擇共同因子的確定方法

統(tǒng)計(jì)學(xué)中的因子分析方法常常用來(lái)確定共同因子，該方法的好處在于能夠同時(shí)確定共同因子及各證券對(duì)共同因子的敏感度。具體做法為：

首先考察如果只用一個(gè)共同因子解釋證券的收益率，各證券收益率殘差的協(xié)方差；

再考察如果用第一和第二個(gè)共同因子解釋證券的收益率，各證券收益率殘差之間的協(xié)方差比只用第一個(gè)因子解釋時(shí)下降的百分比；在APT中，共同因子起著重要的作用。若共同因子不能確定，就根本無(wú)法理論套利定價(jià)理論進(jìn)行定價(jià)分析。對(duì)共同因子選擇的討論涉及到三個(gè)問(wèn)題：一是，共同因子的確定方法；二是，共同因子的數(shù)目；三是，共同因子的具體選擇。17第五章套利定價(jià)理論

然后，不斷的重復(fù)這一過(guò)程，看增加因子后各證券收益率殘差之間協(xié)方差下降的幅度，如果增加某一因子后證券收益率殘差協(xié)方差下降的幅度低于某個(gè)事先設(shè)定的解釋精度，那么，該因子就被認(rèn)為對(duì)證券收益率不可能產(chǎn)生明顯的影響，從而剔除。再考察如果用第一，二和第三個(gè)因子來(lái)解釋證券收益率，各證券收益率殘差之間的協(xié)方差比只用第一個(gè)因子解釋時(shí)下降的百分比。

18第五章套利定價(jià)理論

共同因子的數(shù)目

理論上，通過(guò)上述檢驗(yàn)的因素都可以作為共同因子，但是雷曼和莫德斯特（Lehman&Modest,1988）運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法發(fā)現(xiàn)，共同因素?cái)?shù)目一旦達(dá)到5個(gè)，資產(chǎn)收益對(duì)共同因子數(shù)目的增加就不敏感了。

法瑪和弗倫奇發(fā)現(xiàn)，因素?cái)?shù)目從3個(gè)增加倒個(gè)，模型的效果有所提高。如果僅有股票，必須要有3個(gè)因素。如果包含債券資產(chǎn)，必須要有5個(gè)因素。因此，實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中通常選擇3－5個(gè)共同因子。19第五章套利定價(jià)理論

共同因子的具體選擇

影響證券期望收益率的因素有很多，究竟選取那些因素，不同的研究者可能得到不同的結(jié)果。較有代表性的如：1．羅爾和羅斯確定的共同因子：

具體包括：（1）工業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率；（2）通貨膨脹率（預(yù)期的和未預(yù)期的）；（3）長(zhǎng)期和短期利率的差額；（4）低級(jí)和高級(jí)債券的差別。2．伯雷、鮑梅斯特和麥克確定的共同因子：

具體包括5個(gè)因素，其中有3個(gè)因素接近于上面的后3個(gè)因素。另外2個(gè)因素是社會(huì)總銷售增長(zhǎng)率和標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)收益率。3．所羅門公司確定的共同因子：

具體包括5個(gè)因素：（1）國(guó)民生產(chǎn)總值；（2）通貨膨脹率（預(yù)期的和未預(yù)期的）；（3）利率；（4）石油價(jià)格變化率；（5）國(guó)防開支增長(zhǎng)率。這三組共同因子有一些共同的特征：

首先，它們包括了一些總體經(jīng)濟(jì)活動(dòng)指標(biāo)（工業(yè)產(chǎn)值、總銷售和國(guó)民生產(chǎn)總值）；

其次，都包括通貨膨脹；

第三，包括一些類型的利率因素（或差額或利率本身）。

20第五章套利定價(jià)理論

APT的檢驗(yàn)檢驗(yàn)的內(nèi)容及難點(diǎn)

多因子APT解釋證券收益率的形成過(guò)程，即：

由此得到APT模型為

21第五章套利定價(jià)理論

APT的檢驗(yàn)方法類似于CAPM的檢驗(yàn)方法：

羅爾和羅斯于1980年運(yùn)用1962年6月到1972年12月紐約股票交易所1260中股票收益率數(shù)據(jù)，以每組30種證券將所有證券分成42組進(jìn)行了因子分析，發(fā)現(xiàn)存在4個(gè)或5個(gè)因子有有效的解釋力，而且還發(fā)現(xiàn)證券平均收益率與風(fēng)險(xiǎn)因子之間存在線性關(guān)系，證券的殘差與平均收益率無(wú)關(guān)。檢驗(yàn)的方法

22第五章套利定價(jià)理論

APT與CAPM

APT與CAPM的區(qū)別

1．模型的假設(shè)條件不同APT假定證券收益率的產(chǎn)生同某些共同因子有關(guān)，但這些共同因子究竟是什么以及有多少個(gè)，模型并未事先人為的加以指定，而CAPM事先假定證券收益率同市場(chǎng)證券組合的收益率有關(guān)。此外CAPM模型的一個(gè)基本假定是投資者都以期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差作為分析基礎(chǔ)，并按照均值－方差準(zhǔn)則選擇投資方案，而APT無(wú)需此假定。2．建立模型的出發(fā)點(diǎn)不同

APT考察的是當(dāng)市場(chǎng)不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利而達(dá)到均衡時(shí)，資產(chǎn)如何均衡定價(jià)，而CAPM考察的是當(dāng)所有投資者都以相似的方法投資，市場(chǎng)最終調(diào)節(jié)到均衡時(shí)，資產(chǎn)如何定價(jià)。23第五章套利定價(jià)理論

3．描述形成均衡的機(jī)理不同

當(dāng)市場(chǎng)面臨證券定價(jià)不合理而產(chǎn)生價(jià)格壓力時(shí)，按照APT的思想，即使是少數(shù)幾個(gè)投資者的套利行為也會(huì)使市場(chǎng)盡快重新恢復(fù)均衡；而按照CAPM的思想，所有投資者都將改變其投資策略，調(diào)整他們選擇的投資組合，他們共同行為的結(jié)果才促使市場(chǎng)重新回到均衡狀態(tài)。4．定價(jià)范圍和精度不同

CAPM是從它的假設(shè)條件經(jīng)邏輯推理得到的。它提供了關(guān)于所有證券以及證券組合的期望收益率－風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系的明確描述，只要模型條件滿足，以此確定的任何證券或證券組合的均衡價(jià)格都是準(zhǔn)確的。而APT是從不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利的角度推出的。由于市場(chǎng)中有可能存在少數(shù)證券定價(jià)不合理而整個(gè)市場(chǎng)處于均衡之中（證券數(shù)少到不足產(chǎn)生無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利），所有APT提供的均衡定價(jià)關(guān)系有可能對(duì)于少數(shù)證券不成立。換言之，在滿足APT的條件下，用APT的證券或證券組合確定均衡價(jià)格，對(duì)少數(shù)證券的定價(jià)可能出現(xiàn)偏差。24第五章套利定價(jià)理論

APT與CAPM的聯(lián)系

當(dāng)APT與CAPM模型的假設(shè)條件均成立時(shí)，兩模型是相通的。由此推出的APT的均衡關(guān)系式為：

于是

這樣就有這與CAPM所描述的均衡期望收益率－風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系完全一致。

從某種意義上講，CAPM是APT的一個(gè)特例。25第五章套利定價(jià)理論