計算機數(shù)制與數(shù)值編碼

計算機硬件基礎(chǔ)本課程內(nèi)容：第一章計算機中數(shù)據(jù)信息的表示及運算第二章計算機中邏輯運算及邏輯部件第三章中央處理器第四章指令系統(tǒng)和匯編語言第五章存儲器第六章外存儲設(shè)備第七章計算機輸入輸出接口第八章計算機常用外部設(shè)備第一章

計算機中數(shù)據(jù)信息的表示及運算1.1 數(shù)制1.1.1進位計數(shù)制進位計數(shù)制：用少量的數(shù)字符號（也稱數(shù)碼），按先后次序把它們排成數(shù)位，由低到高進行計數(shù)，計滿進位，這樣的方法稱為進位計數(shù)制基數(shù)：進位制的基本特征數(shù)，即所用到的數(shù)字符號個數(shù)。例如10進制：0~9十個數(shù)碼表示，基數(shù)為10權(quán)：進位制中各位“1”所表示的值為該位的權(quán)常見的進位制：2，8，10，16進制。1.十進制(Decimal)基數(shù):10;符號:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9；計算規(guī)律:“逢十進一”或“借一當十”并列表示:N10=dn-1dn-2??????d1d0d-1d-2

??????d-m十進制數(shù)的多項式表示: N10=dn-1×10n-1+

dn-2×10n-2+

??????d1×101+

d0×100+

d-1×10-1+

d-2×10-2+??????d-m×10-M

其中：m、n為正整數(shù)；di表示第i位的系數(shù)；10i稱為該位的權(quán).例如：123.45=1×102+2×101+3×100+4×10-1+5×10-22、二進制(Binary)基數(shù):2符號:0、1計算規(guī)律:逢二進一或借一當二二進制的多項式表示:N2=dn-1×2n-1+

dn-2×2n-2+

??????d1×21+

d0×20 +

d-1×2-1+

d-2×2-2+??????d-m×2-m 其中：m、n為正整數(shù)；di表示第i位的系數(shù)；2i稱為該位的權(quán)例如:一個二進制數(shù)(1101.01)2的表示 .(1101.01)2=1×23+1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2=(13.25)10二進制數(shù)的性質(zhì)移位性質(zhì)：小數(shù)點左移一位，數(shù)值減小一半小數(shù)點右移一位，數(shù)值擴大一倍奇偶性質(zhì)：最低位為0，偶數(shù)最低位為1，奇數(shù)二進制數(shù)的特點優(yōu)點：只有0，1兩個數(shù)碼，易于用物理器件表示。電位的高低，脈沖的有無，電路通斷等都比較容易區(qū)別，可靠性高運算規(guī)則簡單理論證明采用R=e=2.71828進制時，存儲設(shè)備最省，取3進制比2進制省設(shè)備，但2進制易表示。二進制的0，1與邏輯命題中的真假相對應(yīng)，為計算機中實現(xiàn)邏輯運算和邏輯判斷提供有利條件。缺點：書寫冗長，不易識別，不易發(fā)現(xiàn)錯誤3、八進制(Octal)基數(shù):8符號:0,1,2,3,4,5,6,7計算規(guī)律:逢八進一或借一當八八進制的多項式表示:N8=dn-1×8n-1+

dn-2×8n-2+

??????d1×81+

d0× 80+

d-1×8-1+

d-2×8-2+??????d-m×8-m 其中：m、n為正整數(shù)；di表示第i位的系數(shù)；8i稱為該位的權(quán).例如八進制數(shù)(376.54)8的表示 (376.54)8=3×82+7

×81+6

×80+5

×8-1+4

×8-24、十六進制(Hexadecimal)基數(shù):16符號:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F計算規(guī)律:逢十六進一或借一當十六十六進制的多項式表示:N16=dn-1×16n-1+

dn-2×16n-2+

??????d1×161+

d0×160+

d-1×16-1+

d-2×16-2+??????d-m×16-m其中：m、n為正整數(shù)；di表示第i位的系數(shù)；16i稱為該位的權(quán).例如十六進制數(shù)(2C7.1F)16的表示(2C7.1F)16=2×162+12×161+7×160+1

×16-1+15×16-21.1.2進位計數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換1、R進制轉(zhuǎn)換成十進制的方法按權(quán)展開法:先寫成多項式,然后計算十進制結(jié)果.N=dn-1dn-2??????d1d0d-1d-2

??????d-m =dn-1×Rn-1+

dn-2×Rn-2+

??????d1×R1+

d0×R0+

d-1×R-1+

d-2×R-2+??????d-m×R-m例如:

寫出(1101.01)2,(237)8,(10D)16的十進制數(shù)(1101.01)2=1×23+1×22+0×21+1×20+ 0×2-1+1×2-2=8+4+1+0.25=13.25(237)8=2×82+3×21+7×20=128+24+7=159(10D)16=1×162+13×160=256+13=2692、十進制轉(zhuǎn)換成二進制方法一般分為兩個步驟：整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換除2取余法（基數(shù)除法）減權(quán)定位法小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換乘2取整法（基數(shù)乘法）基數(shù)除法：把給定的除以基數(shù),取余數(shù)作為最低位的系數(shù),然后繼續(xù)將商部分除以基數(shù),余數(shù)作為次低位系數(shù),重復(fù)操作直至商為0

例如：用基數(shù)除法將(327)10轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)2327余數(shù)216312811240122002100250221210201(327)10=(101000111)2減權(quán)定位法將十進制數(shù)依次從二進制的最高位權(quán)值進行比較，若夠減則對應(yīng)位置1，減去該權(quán)值后再往下比較，若不夠減則對應(yīng)位為0，重復(fù)操作直至差數(shù)為0。例如：將(327)10轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)256<327<512 327-256=711 71<1280 71-64=71 7<320 7<160 7<80 7-4=31 3-2=11 1-1=01乘基取整法(小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換)

把給定的十進制小數(shù)乘以2,取其整數(shù)作為二進制小數(shù)的第一位,然后取小數(shù)部分繼續(xù)乘以2,將所的整數(shù)部分作為第二位小數(shù),重復(fù)操作直至得到所需要的二進制小數(shù)例如:將(0.8125)10轉(zhuǎn)換成二進制小數(shù). 整數(shù)部分 2×0.8125=1.6251 2×0.625=1.251 2×0.25=0.50 2×0.5=11 (0.8125)10=(0.1101)2例如:將(0.2)10轉(zhuǎn)換成二進制小數(shù)0.2×

2=0.4 整數(shù)部分 00.4×2=0.8 00.8×2=1.6 10.6×2=1.2 10.2×2=0.4 00.4×2=0.8 00.8×2=1.6 10.6×2=1.2 1(0.2)10=[0.001100110011….]23、其它進制之間的直接轉(zhuǎn)換法二<-->八 二<-->十六00000000010008001100011100190102001021010A0113001131011B1004010041100C1015010151101D1106011061110E1117011171111F二進制轉(zhuǎn)換成八進制例：(10110111.01101)2(10110111.01101)2=(267.32)8八進制對應(yīng)數(shù):267.32二進制數(shù)補位:010,110,111.011,010二進制數(shù)分段:10,110,111.011,01八進制轉(zhuǎn)換二進制方法：先逐位轉(zhuǎn)換，再去掉無效數(shù)位例如:(123.46)8 =(001,010,011.100,110)2 =(1010011.10011)2二進制轉(zhuǎn)換成十六進制例：(110110111.01101)2(10110111.01101)2=(1B7.68)16得到十六進制:1B7.68二進制數(shù)補位:0001,1011,0111.0110,1000二進制數(shù)分段:1,1011,0111.0110,1十六進制轉(zhuǎn)換成二進制方法：先逐位轉(zhuǎn)換，再去掉無效數(shù)位例如:(7AC.DE)16 =(0111,1010,1100.1101,1110)2 =(11110101100.1101111)21.2數(shù)值數(shù)據(jù)的編碼與表示1.2.1帶符號數(shù)的編碼真值:正、負號加數(shù)字絕對值的形式稱為該數(shù) 字的真值。 例如：

X=+1011y=-1011機器數(shù)：在計算機中，符號必須采用數(shù)碼表 達，符號數(shù)碼化的數(shù)稱為機器數(shù)。計算機中常用的幾種機器數(shù)表示法： 原碼、補碼、反碼、移碼1、原碼表示法原碼表示法用“0”表示正號，用“1”表示負號，有效值部分用二進制的絕對值表示。

X1-2-(n-1)≥X≥0

[X]原=1-X=1+|X|0≥X≥-(1-2-(n-1))完成下列數(shù)的真值到原碼的轉(zhuǎn)換X1=+0.1011011

X2=-0.1011011[X1]原=0.1011011[X2]原=1.1011011小數(shù)：

X2n-1-1≥X≥0

[X]原=2n-1-X=2n-1+|X|0≥X≥-(2n-1-1)完成下列數(shù)的真值到原碼的轉(zhuǎn)換X1=+1011011

X2=-1011011[X1]原=01011011[X2]原=11011011整數(shù)：原碼小數(shù)的表示范圍:[+0]原=0.0000000;[-0]原=1.0000000最大值:1-2-(n-1)最小值:-(1-2-(n-1))表示數(shù)的個數(shù):2n-

1

若二進制的位數(shù)分別是8、16,求其表示的最大值、最小值及表示數(shù)的個數(shù)8位:127/128，-127/128，25516位:32767/32768,-32767/32768,65535原碼整數(shù)的表示范圍:[+0]原=00000000;[-0]原=10000000最大值:2(n-1)-1最小值:-(2-(n-1)-1)表示數(shù)的個數(shù):2n-

1

若二進制的位數(shù)分別是8、16,求其表示的最大值、最小值及表示數(shù)的個數(shù)8位:127，-127，25516位:32767,-32767,65535原碼特點：表示簡單，易于同真值之間進行轉(zhuǎn)換，實現(xiàn)乘除運算規(guī)則簡單。進行加減運算十分麻煩。2、補碼表示法模：計量器具的容量，或稱為模數(shù)4位字長的機器表示的二進制整數(shù)為：0000~1111共16種狀態(tài)，模為16=24。N位字長的機器模為2n補碼的定義：正數(shù)的補碼就是正數(shù)的本身，負數(shù)的補碼是原負數(shù)加上模。

X1-2-(n-1)≥X≥0

[x]補= 2+X=2-|X|0>X≥-1

完成下列數(shù)的真值到補碼的轉(zhuǎn)換X1=+0.1011011

X2=-0.1011011[X1]補=0.1011011[X2]補=1.0100101小數(shù)：

X2(n-1)-1

≥X≥0

[x]補=2n+X=2n-|X|0>X≥-

2(n-1)完成下列數(shù)的真值到補碼的轉(zhuǎn)換X1=+1011011

X2=-1011011[X1]補=01011011[X2]補=10100101整數(shù)：補碼簡易求取方法：

正數(shù)：[X]補=[X]原 負數(shù)：符號除外，各位取反，末位加1例：X=-1001001

[X]原=11001001，[X]補=10110110+1=10110111或[X]補=28+X=100000000-1001001=10110111 100000000 -1001001 10110111補碼的表示范圍:N位純整數(shù)的表示范圍:2n-1-1

~-2n-1N位純小數(shù)的表示范圍:1-2-(n-1)~-1

無論整數(shù)還是小數(shù)，零的表示均是唯一的。故N位純整數(shù)或純小數(shù)均能表示2n個數(shù)補碼的優(yōu)點：最大的優(yōu)點就是易由[X]補求[-X]補，可將減法運算簡化成加法運算。即： [X]補-[Y]補=[X]補+[-Y]補由[X]補求[-X]補的方法： 連同符號各位取反， 末位加1。例： X=+1001001 [X]補=01001001 [-X]補=101101113、反碼表示法正數(shù)的表示與原、補碼相同，負數(shù)的補碼符號位為1，數(shù)值位是將原碼的數(shù)值按位取反，就得到該數(shù)的反碼表示

X1≥X≥0[X]反=(2-2-(n-1))+X0≥X>-(1-2-(n-1)) X1=+0.1011011,[X1]反=0.1011011

X2=-0.1011011,[X2]反=1.0100100小數(shù):整數(shù):

X2n-1

>X

≥0[X]反=(2n-1)+X0≥X>-2n-1 X3=+1011011,[X3]反=01011011

X4=-1011011,[X4]反=10100100 [+0]反=00000000;[-0]反=111111114、移碼表示法[X]移=2n-1+X

2n-1-1

≥X≥

-2n-1X1=1010101[X1]補=01010101[X1]移=11010101X2=-1010101[X2]補=10101011[X2]移=001010115、機器數(shù)表示法小結(jié)[X]原、[X]反、[X]補用“0”表示正號，用“1”表示負號；[X]移用“1”表示正號，用“0”表示負號。如果X為正數(shù)，則[X]原=[X]反=[X]補。如果X為0，則[X]補、[X]移有唯一編碼，[X]原、[X]反有兩種編碼。移碼與補碼的形式相同，只是符號位相反。1.2.2計算機中數(shù)的表示方法數(shù)值范圍：一種數(shù)據(jù)類型所能表示的最大值 和最小值數(shù)據(jù)精度：實數(shù)所能表示的有效數(shù)字的位數(shù)。數(shù)值范圍和數(shù)據(jù)精度均與使用多少位二進 制位數(shù)以及編碼方式有關(guān)。計算機用數(shù)字表示正負，卻隱含規(guī)定小數(shù)點，采用“定點”、“浮點”兩種表示形式。1、數(shù)的定點表示方法1）有符號數(shù)的定點表示（1）定點整數(shù)——小數(shù)點位置固定在數(shù)的最低位之后如：Dn-1Dn-2??????D1D0

.范圍：

2n-1-1

~

-2n-1(16位時32767~-32768)（2）定點小數(shù)——小數(shù)點位置固定在數(shù)的符號位之后 、數(shù)值最高位之前。如：D0.

D-1??????D-(n-2)D-(n-1)范圍：1-2-(n-1)~-1

(16位時32767/32768~-1)2）無符號數(shù)的定點表示（1）定點整數(shù)——小數(shù)點位置固定在數(shù)的最低位之后

如：Dn-1Dn-2??????D1D0.N位無符號定點整數(shù)可表范圍：

0~

2n-1

（2）定點小數(shù)——小數(shù)點位置固定在數(shù)值最高位之前

如：.D0D-1??????D-(n-2)D-(n-1)N位無符號定點小數(shù)可表范圍：0~

1-2-(n)1、數(shù)的定點表示方法1）浮點數(shù)的表示：是把字長分成階碼和尾數(shù)兩部分。其根據(jù)就是：①JEm-2…….E0S

D-1……D-(n-1)

階符階碼值數(shù)符.尾數(shù)值

②

SJEm-2…….E0D-1……D-(n-1)

數(shù)符階符階碼值.尾數(shù)值通常，階碼為補碼或移碼定點整數(shù)，尾數(shù)為補碼或原碼定點小數(shù)。2、數(shù)的浮點表示方法2）浮點數(shù)的規(guī)格化目的：字長固定情況下提高表示精度措施：