初中數(shù)學(xué)-平行四邊形及特殊平行四邊形有關(guān)定理的證明

初中數(shù)學(xué)第三講平行四邊形及特殊平行四邊形1、平行四邊形有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形ABCD，記作：其中AB與DC、AD與BC是兩組對(duì)邊；AB與BC是鄰邊；∠A與∠C、∠B與∠D是兩組對(duì)角；∠A與∠B是鄰角。邊、角、對(duì)角線是平行四邊形的基本元素。（1）從邊的關(guān)系去判定①一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。②兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。③兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。（2）從角的關(guān)系去判定④兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊（注：鄰角都互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形。）（3）從對(duì)角線的關(guān)系去判定：⑤對(duì)角線相互平分的四邊形是平行四邊形。平行四邊形的判定識(shí)別（1）從邊的關(guān)系分析①平行四邊形對(duì)邊平行且相等。（2）從角的關(guān)系分析②平行四邊形對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)。（3）從對(duì)角線分析③平行四邊形對(duì)角線互相平分。（4）從對(duì)稱性分析④平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線交點(diǎn)是對(duì)稱中心。（注：由中心對(duì)稱性，可通過繞三角形一邊中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°來構(gòu)造平行四邊形。）

平行四邊形的性質(zhì)特征2、矩形：有一個(gè)角是90°的平行四邊形叫矩形。矩形的判定定理：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。（2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。（3）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。（4）對(duì)角線相等且相互平分的四邊形是矩形。矩形的性質(zhì)定理：（1）矩形的四個(gè)角都是直角。（2）矩形的對(duì)角線相等且相互平分。（3）矩形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形。3、菱形：四條邊都相等的四邊形叫菱形。菱形的判定定理：①四條邊都相等的四邊形是菱形。②有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。④對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形。菱形的性質(zhì)定理：①菱形四條邊都相等。②菱形對(duì)角線互相垂直且平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。③菱形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形。④菱形面積等于它的兩條對(duì)角線的乘積的一半。4、正方形：四個(gè)角都是直角，四條邊都相等的四邊形。正方形的判定定理：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形。（2）對(duì)角線相互垂直的矩形是正方形。（3）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。（4）對(duì)角線相等的菱形是正方形。（5）對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形。注：證明四邊形是正方形往往先證明它是矩形或菱形，然后再證明其是正方形，有時(shí)也從對(duì)角線關(guān)系出發(fā)直接證其是正方形。正方形的性質(zhì)：（1）正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等。（2）正方形的兩對(duì)角線互相垂直平分且相等，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。（3）正方形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形。（4）正方形的邊長與對(duì)角線長的比為。性質(zhì)特征邊角對(duì)角線對(duì)稱性平行四邊形對(duì)邊平行且相等對(duì)角相等兩條對(duì)角線互相平分軸對(duì)稱矩形對(duì)邊平行且相等四個(gè)角都是直角兩條對(duì)角線互相平分且相等軸對(duì)稱中心對(duì)稱菱形對(duì)邊平行四邊都相等對(duì)角相等兩條對(duì)角線互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角軸對(duì)稱中心對(duì)稱正方形對(duì)邊平行四邊相等四個(gè)角都是直角兩條對(duì)角線互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角軸對(duì)稱中心對(duì)稱圖形解讀四邊形內(nèi)在聯(lián)系1、利用平行四邊形定義、性質(zhì)來判定線段相等或平行；兩角相等或互補(bǔ)。特殊四邊形的性質(zhì)特點(diǎn)的實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用2、利用矩形特殊性質(zhì)來判定90°的角。3、利用菱形、正方形特征判定線段相等；線段相互垂直平分等。4、利用性質(zhì)來進(jìn)行有關(guān)線段、角和面積的計(jì)算。

例1：如圖所示，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F

在對(duì)角線AC上，且AE=CF。求證：四邊形BEDF是平行四邊形。證明：連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)O。

在平行四邊形ABCD中則∴四邊形BFDE為平行四邊形。方法較多時(shí)，盡量考慮簡單辦法。例2:分別以平行四邊形ABCD的鄰邊AB和AD為一邊，在平行四邊形ABCD外作正三角形ABF和正三角形ADE，連結(jié)CE、EF、CF得△CEF，試判斷△CEF的形狀，并證明你的結(jié)論。證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∵△ADE、△ABF為正三角形CECF等邊例3:如圖所示，延長矩形的邊CB至E，使CE=CA，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，求證：。

證明：連接CF，∵四邊形ABCD是矩形∵F是AE的中點(diǎn)在△ADF和△BCF中例4:如圖所示，E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，且，求證：EF=BE+DF。12證明：將△ADF旋轉(zhuǎn)至△ABG，則例5:如圖所示，將矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點(diǎn)C落在C’處，BC’交AD于E，AD=8，AB=4，求:△BED的面積。Ｆ１２３解：在矩形ABCD中，AD//BC，因：矩形ABCD沿直線BD折疊后，△BC’D與△BCD關(guān)于直線BD對(duì)稱１２３xxＦ1、熟知平行四邊