2022-2023學(xué)年上海市曹楊高一年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年上海市曹楊第二中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題1．若角的終邊經(jīng)過點，則實數(shù)的值為_______.【答案】.【分析】利用三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式求出的值.【詳解】由誘導(dǎo)公式得，另一方面，由三角函數(shù)的定義得，解得，故答案為.【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式與三角函數(shù)的定義，解題時要充分利用誘導(dǎo)公式求特殊角的三角函數(shù)值，并利用三角函數(shù)的定義求參數(shù)的值，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．函數(shù)的定義域為________．【答案】[2，+∞）【詳解】分析：根據(jù)偶次根式下被開方數(shù)非負列不等式，解對數(shù)不等式得函數(shù)定義域.詳解：要使函數(shù)有意義，則，解得，即函數(shù)的定義域為.點睛：求給定函數(shù)的定義域往往需轉(zhuǎn)化為解不等式（組）的問題.3．已知冪函數(shù)的圖象過點，則的單調(diào)減區(qū)間為______．【答案】【分析】由已知可設(shè),由題意有，解得,即,再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得解.【詳解】解:因為為冪函數(shù),設(shè),由函數(shù)的圖象過點，則,即,即,故的單調(diào)減區(qū)間為,故答案為.【點睛】本題考查了冪函數(shù)解析式的求法及冪函數(shù)的單調(diào)性，重點考查了冪函數(shù)的定義，屬基礎(chǔ)題.4．設(shè)為常數(shù)，集合，集合，則的元素個數(shù)為__________．【答案】【分析】由交集定義可確定，由此可得元素個數(shù).【詳解】，的元素個數(shù)為.故答案為：.5．設(shè)a、b為常數(shù)，若關(guān)于x的不等式的解集為，則__________．【答案】【分析】分別討論、，其中時，根據(jù)解集為得，均為的根，即可列式求解.【詳解】當(dāng)，不等式的解集為，與題意不符；當(dāng)，不等式的解集為，則，∴為的根，且，則，解得.故答案為：6．設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為．若，則__________．【答案】【分析】根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】，,且所以，所以，故答案為：.7．己知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則函數(shù)的值域為__________．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到值域.【詳解】當(dāng)時，，則，故，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知，函數(shù)值域為.故答案為：8．己知函數(shù)滿足：對任意非零實數(shù)x，均有，則__________．【答案】【分析】取，則，得到答案.【詳解】，取，則，即.故答案為：9．若，則__________．【答案】##0.4【分析】根據(jù)得到，變換，計算得到答案.【詳解】，解得，.故答案為：10．已知，設(shè)函數(shù)的表達式為．若存在，，使得，則實數(shù)a的最大值為__________．【答案】【分析】先分析出，由的值可得，轉(zhuǎn)化為，求出實數(shù)a的最大值.【詳解】因為存在，，使得，所以只需.由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：在上單減，在上單增.而，，且在上的最小值為，在上的最大值為，所以恒成立.所以.設(shè)，解得：.因為，，所以要使成立，只需，即解得：.由，所以.故實數(shù)a的最大值為.故答案為：.11．若實數(shù)a、b、c滿足，則的最大值為__________．【答案】##0.5【分析】利用基本不等式得到，把轉(zhuǎn)化為，利用二次函數(shù)求出最大值.【詳解】因為，所以，即.所以.因為，所以，所以.因為，所以當(dāng)時，取得最大值.故答案為：.12．已知，若函數(shù)，恰有兩個零點，則a的取值范圍是__________．【答案】【分析】令，對兩根的來源進行分析，對分類討論，分別求出對應(yīng)的范圍.【詳解】當(dāng)時，令可得：或，均無解，不符合題意；當(dāng)時，令可得：或若，由解得：符合題意.因為函數(shù)恰有兩個零點，所以只有一解，所以符合題意，此時.即.若或時，無解；要使函數(shù)恰有兩個零點，則有兩解，所以需，解得：.綜上所述：.所以a的取值范圍是.故答案為：二、單選題13．已知是第四象限的角，則點在（

）．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)題意，由所在象限可判斷三角函數(shù)的符號，可得，可得答案．【詳解】根據(jù)題意，是第四象限角，則，則點在第二象限,故選：．14．己知非零實數(shù)滿足，則下列不等式中恒成立的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】通過反例可知ABC錯誤；采用作差法可知D正確.【詳解】對于A，若，，則，A錯誤；對于B，若，，則，B錯誤；對于C，若，，則，C錯誤；對于D，，為上的增函數(shù)，，，即，D正確.故選：D.15．“北溪”管道泄漏事件的爆發(fā)，使得歐洲能源供應(yīng)危機成為舉世矚目的國際公共事件．隨著管道泄漏，超過8萬噸類似甲烷的氣體擴散到海洋和大氣中，將對全球氣候產(chǎn)生災(zāi)難性影響．假設(shè)海水中某種環(huán)境污染物含量P（單位：mg/L）與時間t（單位：天）之間的關(guān)系為：，其中表示初始含量，k為正常數(shù)．令為之間的海水稀釋效率，其中、分別表示當(dāng)時間為、時的污染物含量．某研究團隊連續(xù)20天不間斷監(jiān)測海水中該種環(huán)境污染物含量，按照5天一期進行記錄，共分為四期，即、、、分別記為Ⅰ期、Ⅱ期、Ⅲ期、Ⅳ期，則稀釋效率最高的是（

）．A．Ⅰ期 B．Ⅱ期 C．Ⅲ期 D．Ⅳ期【答案】A【分析】根據(jù)題意分別表示出，然后利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較可得結(jié)論.【詳解】由于，其中表示初始含量，k為正常數(shù)，令為之間的海水稀釋效率，所以第Ⅰ期的，同理第Ⅱ期的第Ⅲ期的，第Ⅳ期的，因為，所以，所以，所以，所以稀釋效率最高的是Ⅰ期，故選：A16．已知函數(shù)是區(qū)間上的嚴格減函數(shù)，且其零點為，則“”是“存在非零實數(shù)a，使得對任意成立”的（

）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】C【分析】根據(jù)題意，先判斷充分性，再判斷必要性即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)是區(qū)間上的嚴格減函數(shù)，且零點為，則.先判斷充分性：由，則令，則有，故存在非零實數(shù)a，使得對任意成立.所以“”是“存在非零實數(shù)a，使得對任意成立”的充分條件.再判斷必要性：存在非零實數(shù)a，使得對任意成立，因此有，即，所以，即.所以“”是“存在非零實數(shù)a，使得對任意成立”的必要條件.綜上所述，“”是“存在非零實數(shù)a，使得對任意成立”的充要條件.故選：C.三、解答題17．己知集合，集合．(1)當(dāng)時，求；(2)若“”是“”的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）解出集合，進而求；（2）先求出，利用集合的包含關(guān)系列不等式，即可求解.【詳解】（1），.當(dāng)時，.因為，所以.（2）因為，所以或.因為“”是“”的充分條件，所以，所以或，解得：或.所以實數(shù)a的取值范圍為或.18．己知函數(shù)的表達式為．(1)若，求方程的解集；(2)若函數(shù)在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）對x分類討論得的分段函數(shù)，再解分段函數(shù)方程即可；（2）函數(shù)在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)，由分段函數(shù)為減函數(shù)列不等式求解即可.【詳解】（1），當(dāng)，即，故當(dāng)；當(dāng).故所求解集為.（2）∵函數(shù)在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)，則有,解得，故實數(shù)a的取值范圍為19．提高隧道的車輛通行能力可改善附近路段高峰期間的交通狀況．在一般情況下，隧道內(nèi)的車流速度v和車流密度x滿足關(guān)系式：．研究表明：當(dāng)隧道內(nèi)的車流密度時造成堵塞，此時車流速度．(1)若車流速度，求車流密度x的取值范圍；(2)定義隧道內(nèi)的車流量為，求隧道內(nèi)的車流量y的最大值，并指岀當(dāng)車流量最大時的車流密度x．【答案】(1)(2)的最大值為，此時車流密度為.【分析】(1)根據(jù)時，求出的值，然后分段討論車流速度時車流密度x的取值，進而得出結(jié)論；(2)根據(jù)題意得出關(guān)于的函數(shù)表達式，根據(jù)的取值范圍討論車流量y的最大值，最后進行比較得出結(jié)果.【詳解】（1）由題意可知：當(dāng)時，，所以，解得：，所以，當(dāng)時，，解得：，所以；當(dāng)時，，解得：，所以，綜上：車流速度，車流密度x的取值范圍為.（2）由題意可得：，當(dāng)時，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時，取最大值為；當(dāng)當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等）所以當(dāng)時，取最大值為，綜上可知：的最大值為，此時車流密度為.20．設(shè)a是大于1的常數(shù)，，己知函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求實數(shù)m的值；(2)若對任意的實數(shù)x，關(guān)于x的不等式均成立，求實數(shù)k的取值范圍；(3)證明：關(guān)于x的方程有且僅有一個實數(shù)解；設(shè)此實數(shù)解為，試比較與的大小．【答案】(1)(2)(3)見解析【分析】（1）由是奇函數(shù)可得，即可求出實數(shù)m的值；（2）由函數(shù)的奇偶性化簡抽象不等式，利用單調(diào)性可得對任意的實數(shù)x恒成立，即，解不等式即可得出答案.（3）設(shè)，進而得唯一實數(shù)根，使得，即，故，再結(jié)合得得答案.【詳解】（1）己知函數(shù)是奇函數(shù)，，解得：所以.（2）對任意的實數(shù)x，關(guān)于x的不等式均成立，則，因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，因為，，所以在上單調(diào)遞增，所以對任意的實數(shù)x恒成立，所以對任意的實數(shù)x恒成立，所以，解得：.實數(shù)k的取值范圍為；（3）設(shè)，因為當(dāng)時，，所以在區(qū)間上無實數(shù)根，當(dāng)時，因為，，所以，使得，又在上單調(diào)遞減，所以存在唯一實數(shù)根；所以方程有且僅有一個實數(shù)解.因為，所以，又，所以，所以.所以21．已知函數(shù)在區(qū)間上有定義，實數(shù)a、b滿足．若在區(qū)間上不存在最小值，則稱函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)P．(1)若函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)P，求實數(shù)m的取值范圍；(2)已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時，．試判斷函數(shù)在區(qū)間上是否具有性質(zhì)P，并說明理由；(3)已知對滿足的任意實數(shù)a、b，函數(shù)在區(qū)間上均具有性質(zhì)P，且對任意正整數(shù)n，當(dāng)時，均有．證明：當(dāng)時，．【答案】(1)；(2)在區(qū)間具有性質(zhì)；(3)證明見詳解.【分析】（1）分別討論與1和2的關(guān)系，即可得出是否存在最小值，從而求出的取值范圍；（2）由題目條件可得出在區(qū)間上如果有最小值，則最小值必在區(qū)間上取到，找到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性，確定最小值是否存在；（3）首先證明對于任意，，當(dāng)時，，，，再證得結(jié)果．【詳解】（1），當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，存在最小值；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，最小值為；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不存在最小值；所以實數(shù)m的取值范圍為．（2）因為時，，當(dāng)時，．所以在區(qū)間上如果有最小值，則最小值必在區(qū)間上取到.另一方面，由可得，故，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不存在最小值，所以在區(qū)間具有性質(zhì)．（3）對于任意，當(dāng)時，有,所以，若成立