2022-2023學(xué)年上海市長寧區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年上海市長寧區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、填空題1．拋擲兩枚硬幣，恰好出現(xiàn)一次正面向上的概率是__________.【答案】##0.5【分析】列舉出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】同時(shí)拋擲兩枚硬幣，可能出現(xiàn)的所有結(jié)果有：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）.恰好出現(xiàn)一次正面向上的概率:.故答案為：.2．用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的的直觀圖如圖，其中，若原的面積為2，則______．【答案】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法原則可還原,利用面積公式計(jì)算即可求解.【詳解】由直觀圖可還原,如下圖所示,其中,又因所以即得故答案為:.3．已知圓錐的側(cè)面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑是_________.【答案】1【分析】設(shè)出圓錐底面半徑和母線長，利用側(cè)面展開后，扇形弧長公式和面積公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線長為l，則，解得：，又，解得：.故答案為：14．已知事件A與事件B相互獨(dú)立，若，，則______．【答案】0.42##【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率乘法公式以及對(duì)立事件的概率公式求得正確答案.【詳解】.故答案為：5．在四棱臺(tái)中的12條棱所在直線中，與直線是異面直線的共有______條【答案】6【分析】根據(jù)異面直線的定義來確定正確答案.【詳解】根據(jù)異面直線的定義可知，與直線是異面直線的有：，共條，故答案為：6．為了了解某水庫里大概有多少條魚，先打撈出了1000條魚，在魚身上標(biāo)記一個(gè)不會(huì)掉落的印記后放回水庫，過一段時(shí)間后再次捕撈了200條魚，發(fā)現(xiàn)其中5條魚有印記．則這個(gè)水庫里大概有______條魚【答案】40000【分析】利用“捉放捉”原則即可求得這個(gè)水庫里大概有40000條魚【詳解】設(shè)水庫里大概有x條魚，則，解之得故答案為：400007．正四面體ABCD的各棱長均為2，則點(diǎn)A到平面BCD的距離為______．【答案】##【分析】設(shè)是底面的中心，則的長是點(diǎn)A到平面BCD的距離，由勾股定理計(jì)算可得．【詳解】如圖，是底面的中心，則平面，平面，，正四面體ABCD的棱長均為2，則，．故答案為：．8．下列說法中正確的是______．①一組數(shù)據(jù)中比中位數(shù)大的數(shù)和比中位數(shù)小的數(shù)一樣多；②極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差都是描述一組數(shù)據(jù)的離散程度的統(tǒng)計(jì)量；③平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量．【答案】②③【分析】根據(jù)中位數(shù)，平均數(shù)、眾數(shù)、極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義即可判斷.【詳解】對(duì)于①，中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，位于中間的那個(gè)數(shù)據(jù)（或中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)），但是也有一些特殊的，比如：這組數(shù)據(jù)，中位數(shù)是，而比小的數(shù)據(jù)是個(gè)，比大的數(shù)據(jù)卻是個(gè)，所以一組數(shù)據(jù)中比中位數(shù)大的數(shù)和比中位數(shù)小的數(shù)不一定一樣多，故①說法錯(cuò)誤；對(duì)于②，極差反映的是一組數(shù)據(jù)最大值與最小值的差，方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)分散程度的大小，所以說極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差都是描述一組數(shù)據(jù)的離散程度的統(tǒng)計(jì)量，故②說法正確；對(duì)于③，平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的量，所以說平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量，故③說法正確，故答案為：②③.9．如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高4cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)，測(cè)得水深為3cm．若不計(jì)容器的厚度，則球的體積為______【答案】##【分析】過球心作與正方體的前后面平行的截面，如圖，截球得大圓，截正方體得正方形，水面是過點(diǎn)的虛數(shù)，它與圓相切，然后根據(jù)圓（球）的性質(zhì)計(jì)算出球半徑，從而得體積．【詳解】過球心作與正方體的前后面平行的截面，如圖，截球得大圓，截正方體得正方形，，線段是正方體上底面截球所得截面圓直徑，虛線表示水面，，設(shè)球半徑為，則，，由勾股定理得，即，解得，所以球體積為．故答案為：．10．甲、乙兩人進(jìn)行某項(xiàng)比賽，采用三局兩勝模式，假定甲每一局比賽贏的概率都為0.6，則甲最終贏得比賽的概率為______．【答案】【分析】分析試驗(yàn)過程，分別求出兩局比賽后甲獲勝和三局比賽后甲獲勝的概率，即可求解.【詳解】甲、乙兩人進(jìn)行某項(xiàng)比賽，每局比賽相互獨(dú)立.兩局比賽后甲獲勝的概率為：；三局比賽后甲獲勝的概率為：；所以甲最終贏得比賽的概率為：.故答案為：11．從編號(hào)分別為1、2、3、4、5的5個(gè)大小與質(zhì)地相同的小球中隨機(jī)取出3個(gè)，則恰有2個(gè)小球編號(hào)相鄰的概率為______．【答案】##0.6【分析】利用列舉法寫出所有可能的基本事件，并列出所有滿足恰好兩個(gè)小球編號(hào)相鄰的可能情況，然后利用古典概型求解.【詳解】依題意得，取出的三個(gè)小球編號(hào)的所有可能為，共種，其中恰好兩個(gè)小球編號(hào)相鄰的有，共種，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，恰有2個(gè)小球編號(hào)相鄰的概率為：.故答案為：12．已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．【答案】.【分析】根據(jù)已知條件易得，側(cè)面，可得側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，可得側(cè)面與球面的交線是扇形的弧，再根據(jù)弧長公式可求得結(jié)果.【詳解】如圖：取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，因?yàn)?0°，直四棱柱的棱長均為2，所以△為等邊三角形，所以，，又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，因?yàn)?，所以?cè)面，設(shè)為側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)，則，因?yàn)榍虻陌霃綖?，，所以，所以?cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，因?yàn)?，所以?cè)面與球面的交線是扇形的弧，因?yàn)?，所以，所以根?jù)弧長公式可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了直線與平面垂直的判定，考查了立體幾何中的軌跡問題，考查了扇形中的弧長公式，屬于中檔題.二、單選題13．平面與平面相交于直線l，點(diǎn)A、B在平面上，點(diǎn)C在平面上但不在直線l上，直線AB與直線l相交于點(diǎn)D．設(shè)A、B、C三點(diǎn)確定的平面為，則與的交線是（

）A．直線AC B．直線AB C．直線CD D．直線BC【答案】C【分析】根據(jù)已知得既在平面上又在平面可得答案.【詳解】因?yàn)橹本€AB與直線l相交于點(diǎn)D，，所以平面，又點(diǎn)C在平面上，所以平面，因?yàn)槠矫?，點(diǎn)在直線AB上，所以平面，又平面，所以平面，所以與的交線是直線.故選：C.14．?dāng)S一顆骰子，設(shè)事件：落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，事件：落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，事件：落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是的倍數(shù)，事件：落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是．則下列每對(duì)事件中，不是互斥事件的為（

）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】B【分析】判斷選項(xiàng)中的兩個(gè)事件是否可以同時(shí)發(fā)生即可.【詳解】對(duì)于A，“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”與“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”不可能同時(shí)發(fā)生，∴，事件與事件互斥，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B，“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”與“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是的倍數(shù)”同時(shí)發(fā)生即“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是”，∴“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是”，事件與事件不是互斥事件，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”與“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是”不可能同時(shí)發(fā)生，∴，事件與事件互斥，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D，“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是的倍數(shù)”與“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是”不可能同時(shí)發(fā)生，∴，事件與事件互斥，故選項(xiàng)D不正確.故選：B.15．某地教育行政部門為了解“雙減”政策的落實(shí)情況，在某校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，調(diào)查他們課后完成作業(yè)的時(shí)間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制如下頻率直方圖.根據(jù)此頻率直方圖，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．估計(jì)該校學(xué)生的平均完成作業(yè)的時(shí)間超過2.7小時(shí)B．所抽取的學(xué)生中有25人在2小時(shí)至2.5小時(shí)之間完成作業(yè)C．該校學(xué)生完成作業(yè)的時(shí)間超過3.5小時(shí)的概率估計(jì)為20%D．估計(jì)該校有一半以上的學(xué)生完成作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至3小時(shí)之間【答案】D【分析】對(duì)A，根據(jù)直方圖中平均數(shù)的公式計(jì)算，可判斷A;對(duì)B，利用直方圖中2小時(shí)至小時(shí)之間的頻率判斷B;對(duì)C，計(jì)算超過3.5小時(shí)的頻率可判斷C;對(duì)D，計(jì)算做作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至3小時(shí)之間的頻率，可判斷D.【詳解】對(duì)A，直方圖可計(jì)算學(xué)生做作業(yè)的時(shí)間的平均數(shù)為：，所以A正確；對(duì)B，直方圖中2小時(shí)至小時(shí)之間的頻率為，故所抽取的學(xué)生中有25人在2小時(shí)至小時(shí)之間完成作業(yè)，故B正確；對(duì)C，由直方圖得超過3.5小時(shí)的頻率為,所以C正確；對(duì)D，做作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至3小時(shí)之間的頻率為，所以D錯(cuò)誤.故選：D16．在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若平面，則點(diǎn)F軌跡的長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則易證平面平面，進(jìn)而得當(dāng)F的軌跡為線段時(shí)，則有平面，再根據(jù)勾股定理及三角形的中位線計(jì)算即可.【詳解】如圖所示：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，所以，平面，平面，所以平面，同理可證明平面，又因?yàn)?，平面，所以平面平面，?dāng)F的軌跡為線段時(shí)，此時(shí)平面，則有平面，此時(shí).故選：B.三、解答題17．某校共有在校學(xué)生200人，為了了解該校學(xué)生的體能情況，對(duì)該校所有學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，然后采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的成績(jī)，整理得到如下莖葉圖：(1)求該校女學(xué)生人數(shù)、樣本中女生成績(jī)的極差、25百分?jǐn)?shù)；(2)已知全體女生的平均成績(jī)?yōu)?0，全體男生的平均成績(jī)?yōu)?2，求該校全體學(xué)生的平均成績(jī)．【答案】(1)80，32，62(2)71.2【分析】（1）利用樣本與總體的關(guān)系即可求得該校女學(xué)生人數(shù)；依據(jù)極差定義即可求得樣本中女生成績(jī)的極差；依據(jù)百分位數(shù)定義即可求得樣本中女生成績(jī)的25百分?jǐn)?shù)；（2）利用平均數(shù)定義即可求得該校全體學(xué)生的平均成績(jī)．【詳解】（1）樣本中女生有8人，則該校女學(xué)生人數(shù)為樣本中女生成績(jī)由小到大排列為則樣本中女生成績(jī)的極差為由，可得樣本中女生成績(jī)的25百分?jǐn)?shù)為（2）由（1）可得該校女學(xué)生人數(shù)為，則該校男生人數(shù)為120又全體女生的平均成績(jī)?yōu)?0，全體男生的平均成績(jī)?yōu)?2，則該校全體學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?8．如圖，在圓柱中，底面直徑AB等于母線．(1)若AB＝2，求圓柱的側(cè)面積；(2)設(shè)AB與CD是底面互相垂直的兩條直徑，求異面直線AC與所成角的大?。敬鸢浮?1)；(2).【分析】（1）由已知得到底面半徑以及母線的值，代入公式即可求出；（2）用向量、、來表示出、，進(jìn)而求出它們的夾角，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由已知可得，底面半徑，母線，所以圓柱的側(cè)面積.（2）由已知可得，兩兩垂直，且相等，設(shè)，則，，.又，，則.所以，又，所以，所以異面直線AC與所成角的大小為.19．如圖，已知三棱柱的高為2，底面ABC是邊長為2的正三角形．(1)求四棱錐的體積；(2)若，求證：側(cè)面為矩形．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）三棱柱可分割成三棱錐和四棱錐兩部分，因此用三棱柱的體積減三棱錐的體積就能得到四棱錐的體積；（2）由棱柱定義知，四邊形為平行四邊形，因此只需借助空間中直線、平面的垂直關(guān)系，證明其中一個(gè)角為直角即可.【詳解】（1）三棱柱可分割成三棱錐和四棱錐兩部分，三棱柱的體積，三棱錐的體積，∴四棱錐的體積.（2）取中點(diǎn)，連接，，∵是等邊三角形，是邊上的中線，∴也是邊上的高，即，又∵，∴是等腰三角形，∴是邊上的中線，也是邊上的高，即，又∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，由棱柱定義知，，，∴，四邊形為平行四邊形，∴側(cè)面四邊形為矩形.20．?dāng)S黑、白兩枚骰子．(1)設(shè)事件A為：兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)和為7，事件B為：白色骰子的點(diǎn)數(shù)是1．判斷事件A和事件B是否獨(dú)立，并說明理由；(2)設(shè)事件C為：兩枚骰子中至少有一枚的點(diǎn)數(shù)是1且兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和不是7．求事件C的概率．【答案】(1)是，理由見解析(2)【分析】（1）寫出所有的基本事件，再求出A，B發(fā)生的概率，根據(jù)概率公式來判斷A，B事件是否獨(dú)立；（2）根據(jù)事件C包含的基本事件數(shù)，按照古典概型概率計(jì)算公式可求出事件C的概率.【詳解】（1）投擲黑、白兩枚骰子一次的點(diǎn)數(shù)記作，所有基本事件如下：，，，，，，，，，，，共36個(gè)，事件包含6個(gè)基本事件，即，事件包含6個(gè)基本事件，即，事件只包含，所以，，所以A，B是獨(dú)立事件；（2）根據(jù)（1）所列出的基本事件，事件包含9個(gè)基本事件，即，所以，.綜上，A，B是獨(dú)立事件，.21．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，分別為棱中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)若平面平面，直線與平面所成的角為，且，求二面角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)【分析】（1）證明平面，平面，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得，進(jìn)而得，再根據(jù)題意證明平