山西省長治市關村中學2022年高三數(shù)學理模擬試卷含解析

山西省長治市關村中學2022年高三數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，則a2為(

)A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3參考答案：D【考點】等比數(shù)列的性質；等差數(shù)列的性質．【專題】計算題．【分析】先用a2分別表示出a1和a5，再根據(jù)等比中項的性質得a22=a1a5進而求得a2．【解答】解：a1=a2﹣2，a5=a2+6∴a22=a1a5=（a2﹣2）（a2+6），解得a2=3故選D【點評】本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質．屬基礎題．2.若，則cos2α+2sin2α=（）A． B．1 C． D．（0，0，1）參考答案：A【考點】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】原式利用同角三角函數(shù)間的基本關系變形，將tanα的值代入計算即可求出值．【解答】解：由，得=﹣3，解得tanα=，所以cos2α+2sin2α====．故選A．【點評】此題考查了同角三角函數(shù)基本關系的運用，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵．3.若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積是A.36cm3 B.48cm3C.60cm3 D.72cm3參考答案：B由三視圖可知，上面是個長為4寬為2的長方體，下面是一個發(fā)放倒的四棱柱，高為4，底面是個梯形，上下底分別為2,6，高為2.所以長方體的體積為，四棱柱的體積為，所以該幾何體的體積為，選B.4.已知等比數(shù)列各項都為正數(shù)，且為與的等差中項，則（

）A．27

B．21C．14

D．以上都不對參考答案：C試題分析：由題意得，選C.考點：等比數(shù)列性質5.已知全集,集合,,則集合(

)

A． B．

C． D.參考答案：【知識點】集合的運算A1C

解析：由題意易知，所以故選C.【思路點撥】先求出，再求出即可。6.已知等比數(shù)列的首項為，公比為，給出下列四個有關數(shù)列的命題：：如果且，那么數(shù)列是遞增的等比數(shù)列；：如果且，那么數(shù)列是遞減的等比數(shù)列；：如果且，那么數(shù)列是遞增的等比數(shù)列；：如果且，那么數(shù)列是遞減的等比數(shù)列．其中為真命題的個數(shù)為A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C7.復數(shù)（為虛數(shù)單位），則=（

）A.

B.5

C.25

D.參考答案：B8.已知集合U=R，集合A={x|－l≤x≤3}，集合B=|x|log2x<2}，則AB=

A．{x|1≤x≤3}

B．{x|－1≤x≤3}

C．{x|0<x≤3}

D．{x|－1≤x<0}參考答案：C略9.已知為虛數(shù)單位，則復數(shù)的虛部是A．

B．1

C．

D．參考答案：A原式=，則復數(shù)的虛部是.選A.10.已知，向量，向量，且，則的最小值為（

）A.9

B.16 C.18

D.8參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知O為坐標原點，，平面上動點N滿足，動點N的軌跡為曲線C，設圓M的半徑為1，圓心M在直線上，若圓M與曲線C有且僅有一個公共點，則圓心M橫坐標的值為

．參考答案：

0或12.已知正四棱錐的側棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為

參考答案：13.已知集合A＝{x∈R|x2－x≤0}，函數(shù)f(x)＝2－x＋a(x∈A)的值域為B.若B?A，則實數(shù)a的取值范圍是__________．參考答案：略14.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第n行（n≥3）從左向右的第3個數(shù)為______________．參考答案：略15.給出以下四個結論：①函數(shù)的對稱中心是；②若不等式對任意的都成立，則；③已知點在直線兩側，則；④若將函數(shù)的圖像向右平移（0）個單位后變?yōu)榕己瘮?shù)，則的最小值是.其中正確的結論是;___________.參考答案：③④16.已知復數(shù)，則

．參考答案：2略17.設f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當時，，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)m的最大值是

．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=cos（x﹣），g（x）=ex?f′（x），其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）求曲線y=g（x）在點（0，g（0））處的切線方程；（Ⅱ）若對任意x∈[﹣，0]，不等式g（x）≥x?f（x）+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；（Ⅲ）試探究當x∈[，]時，方程g（x）=x?f（x）的解的個數(shù)，并說明理由．參考答案：考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)的零點與方程根的關系；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．專題：計算題；函數(shù)的性質及應用；導數(shù)的概念及應用；導數(shù)的綜合應用．分析：（Ⅰ）化簡f（x）=sinx，g（x）=excosx，g（0）=e0cos0=1；從而由導數(shù)的幾何意義寫出切線方程；（Ⅱ）對任意x∈[﹣，0]，不等式g（x）≥x?f（x）+m恒成立可化為m≤[g（x）﹣x?f（x）]min，x∈[﹣，0]，從而設h（x）=g（x）﹣x?f（x），x∈[﹣，0]，轉化為函數(shù)的最值問題求解．（Ⅲ）設H（x）=g（x）﹣x?f（x），x∈[，]；從而由函數(shù)的單調性及函數(shù)零點的判定定理求解函數(shù)的零點的個數(shù)．解答：解：（Ⅰ）由題意得，f（x）=sinx，g（x）=excosx，g（0）=e0cos0=1；g′（x）=ex（cosx﹣sinx），g′（0）=1；故曲線y=g（x）在點（0，g（0））處的切線方程為y=x+1；

（Ⅱ）對任意x∈[﹣，0]，不等式g（x）≥x?f（x）+m恒成立可化為m≤[g（x）﹣x?f（x）]min，x∈[﹣，0]，設h（x）=g（x）﹣x?f（x），x∈[﹣，0]，則h′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣sinx﹣xcosx=（ex﹣x）cosx﹣（ex+1）sinx，∵x∈[﹣，0]，∴（ex﹣x）cosx≥0，（ex+1）sinx≤0；故h′（x）≥0，故h（x）在[﹣，0]上單調遞增，故當x=﹣時，hmin（x）=h（﹣）=﹣；故m≤﹣；

（Ⅲ）設H（x）=g（x）﹣x?f（x），x∈[，]；則當x∈[，]時，H′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣sinx﹣xcosx=（ex﹣x）cosx﹣（ex+1）sinx，由=tanx≥1，=1﹣＜1，即有＞，即有H′（x）＜0，故H（x）在[，]上單調遞減，故函數(shù)H（x）在[，]上至多有一個零點；又H（）=（﹣）＞0，H（）=﹣＜0；且H（x）在[，]上是連續(xù)不斷的，故函數(shù)H（x）在[，]上有且只有一個零點．點評：本題考查了導數(shù)的幾何意義的應用及導數(shù)的綜合應用，同時考查了恒成立問題及函數(shù)的最值問題，還考查了零點的個數(shù)的判斷，屬于難題．19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)與函數(shù)在點處有公共的切線，設.（I）求的值（Ⅱ）求在區(qū)間上的最小值.參考答案：（I）因為所以在函數(shù)的圖象上又，所以所以

………………3分（Ⅱ）因為，其定義域為

………………5分當時，，所以在上單調遞增所以在上最小值為

………………7分當時，令，得到(舍)當時，即時，對恒成立，所以在上單調遞增，其最小值為………………9分當時，即時，對成立，所以在上單調遞減，其最小值為

………………11分當，即時，對成立，對成立所以在單調遞減，在上單調遞增其最小值為………12分綜上，當時，

在上的最小值為當時，在上的最小值為當時，

在上的最小值為.20.當前，以“立德樹人”為目標的課程改革正在有序推進．高中聯(lián)招對初三畢業(yè)學生進行體育測試，是激發(fā)學生、家長和學校積極開展體育活動，保證學生健康成長的有效措施．某地區(qū)2018年初中畢業(yè)生升學體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試，三項考試滿分為50分，其中立定跳遠15分，擲實心球15分，1分鐘跳繩20分．某學校在初三上期開始時要掌握全年級學生每分鐘跳繩的情況，隨機抽取了100名學生進行測試，得到右邊頻率分布直方圖，且規(guī)定計分規(guī)則如下表：每分鐘跳繩個數(shù)[155，165）[165，175）[175，185）[185，+∞）得分17181920（Ⅰ）現(xiàn)從樣本的100名學生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于35分的概率；（Ⅱ）若該校初三年級所有學生的跳繩個數(shù)X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計總體的期望和方差，已知樣本方差S2≈169（各組數(shù)據(jù)用中點值代替）．根據(jù)往年經(jīng)驗，該校初三年級學生經(jīng)過一年的訓練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進步，假設今年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學期開始時個數(shù)增加10個，現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型：（?。╊A估全年級恰好有2000名學生時，正式測試每分鐘跳182個以上的人數(shù)；（結果四舍五入到整數(shù)）（ⅱ）若在全年級所有學生中任意選取3人，記正式測試時每分鐘跳195個以上的人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列和期望．附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974參考答案：解：（Ⅰ）兩人得分之和不大于35分，即兩人得分均為17分，或兩人中1人17分，1人18分，

………………3（Ⅱ）＝160×0.06+170×0.12+180×0.34+190×0.30+200×0.1+210×0.08＝185（個）…………5又σ2≈169，σ＝13，所以正式測試時，μ＝195，σ＝13，∴μ﹣σ＝182．（?。郟（ξ＞182）＝1﹣＝0.8413，∴0.8413×2000＝1682.6≈1683．（人）

………………7（ⅱ）由正態(tài)分布模型，全年級所有學生中任取1人，每分鐘跳繩個數(shù)195以上的概率為0.5，即ξ～B（3，0.5），∴P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝，………………10∴ξ的分布列為ξ0123P0.1250.3750.3750.125E（ξ）＝3×0.5＝1.5

………………（12分）

21.幾何證明選講如圖，已知是的切線，為切點，是的割線，與交于兩點，圓心在的內(nèi)部，點是的中點．（Ⅰ）證明四點共圓；（Ⅱ）求的大?。畢⒖即鸢福航馕觥浚á瘢┳C明：連結．因為與相切于點，所以．因為是的弦的中點，所以．于是．由圓心在的內(nèi)部，可知四邊形的對角互補，所以四點共圓．-----------------5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四點共圓，所以．由（Ⅰ）得．由圓心在的內(nèi)部，可知．所以．------------------10分略22. 某產(chǎn)品的三個質量指標分別為x,y,z,用綜合指標S=x+y+z評價該產(chǎn)品的等級.若S≤4,則該產(chǎn)品為一等品.先從一批該產(chǎn)品中,隨機抽取10件產(chǎn)品作為樣本,其質量指標列表如下