山西省陽(yáng)泉市中學(xué)第一中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

山西省陽(yáng)泉市中學(xué)第一中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知為不相等的正實(shí)數(shù)，則三個(gè)數(shù)的大小順序是

參考答案：A略2.已知函數(shù)f（x）=Atan（ωx+?）（ω＞0，|?|＜），y=f（x）的部分圖象如圖所示，則=（）A．3 B． C．1 D．參考答案：A【考點(diǎn)】HC：正切函數(shù)的圖象．【分析】由圖可知，于是可求得ω，再由圖象過，可求得Φ，最后由圖象過（0，1），可求得A，于是可得答案．【解答】解：由題知，∴，∴，又∵圖象過，∴，∴，∵，∴，又∵圖象過（0，1），∴，∴，∴，∴，故選：A．3.已知，，，則的大小為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C4.設(shè),則“”是“”的（A）充分而不必要條件

（B）必要而不充分條件（C）充要條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：B5.直線與曲線相切，則b的值為（

）A．-2

B．1

C．

D．-1參考答案：D由得，把x=1代入曲線方程得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，代入直線方程得?！敬鸢浮俊窘馕觥柯?.設(shè)集合能A={1，2，3，5，7}，B=，全集U=AB，則等于A．{1，4，6，7）

B．{2，3，7）

C．（1，7）

D．{1）

參考答案：C7.“非空集合M不是P的子集”的充要條件是（

）A．

B．

C．又

D．參考答案：D8.（5分）已知集合A={x||x|＜1}，B={x|2x＞1}，則A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（0，）D．（0，1）參考答案：D【考點(diǎn)】：交集及其運(yùn)算．【專題】：集合．【分析】：利用絕對(duì)值不等式性質(zhì)求出集合A，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合B，再由交集定義能求出A∩B．解：∵集合A={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|2x＞1}={x|x＞0}，∴A∩B={x|0＜x＜1}=（0，1）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意絕對(duì)值不等式性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．【題文】（5分）復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）的虛部是（）A．1B．iC．D．i【答案】C【解析】【考點(diǎn)】：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】：直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)后得答案．解：∵=，∴復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）的虛部是．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．9.（5分）現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求取出的這些卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為（）A．232B．252C．472D．484參考答案：C【考點(diǎn)】：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題．【專題】：排列組合．【分析】：不考慮特殊情況，共有種取法，其中每一種卡片各取三張，有種取法，兩種紅色卡片，共有種取法，由此可得結(jié)論．解：由題意，不考慮特殊情況，共有種取法，其中每一種卡片各取三張，有種取法，兩種紅色卡片，共有種取法，故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472故選C．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查組合知識(shí)，考查排除法求解計(jì)數(shù)問題，屬于中檔題．10.點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球面上，AB=BC=，AC=2，若球的表面積為，則四面體ABCD體積最大值為（）A． B． C． D．2參考答案：C【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【分析】根據(jù)幾何體的特征，判定外接球的球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積．【解答】解：根據(jù)題意知，△ABC是一個(gè)直角三角形，其面積為1．其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點(diǎn)上，設(shè)小圓的圓心為Q，球的表面積為，球的半徑為r，，r=，四面體ABCD的體積的最大值，底面積S△ABC不變，高最大時(shí)體積最大，就是D到底面ABC距離最大值時(shí)，h=r+=2．四面體ABCD體積的最大值為×S△ABC×h==，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時(shí)四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意的,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是

參考答案：略12.如圖所示，AB是半徑等于3的圓O的直徑，CD是圓O的弦，BA，DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，若PA=4，PC=5，則

______

參考答案：13.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a=，3sinA=sinB，cosC=，則邊c=．參考答案：2【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理化簡(jiǎn)3sinA=sinB，可得3a=b，結(jié)合a=，可求b，進(jìn)而利用余弦定理可求c的值．【解答】解：∵3sinA=sinB，可得：3a=b，∴由a=，可得：b=3，∵cosC=，∴由余弦定理可得：c===2．故答案為：2．14.如圖，圓O：內(nèi)的正弦曲線與x軸圍成的區(qū)域記為M（圖中陰影部分）隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A，則點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為

．參考答案：15.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，∠C=45°，AB=AD=1，沿對(duì)角線BD折成四面體A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′﹣BCD頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的表面積為．參考答案：4π【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【分析】設(shè)H為梯形對(duì)角線的交點(diǎn)，O為BC中點(diǎn)，依題意有AH=OH=，四面體A′﹣BCD中，由平面A′BD⊥平面BCD，A′O=，又因?yàn)镺D=OC=OB=1，即O為四面體A′﹣BCD外接球的球心【解答】解：設(shè)H為梯形對(duì)角線的交點(diǎn)，O為BC中點(diǎn)，依題意有AH=OH=，四面體A′﹣BCD中，平面A′BD⊥平面BCD，∴平面A′H⊥平面BCD，∴A′O=，又因?yàn)镺D=OC=OB=1，∴O為四面體A′﹣BCD外接球的球心，故半徑R=1．則該球的表面積為4πR2=4π，故答案為：4π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊問題、幾何體外接球半徑的求解，屬于中檔題．16.△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a=4，c=，sinA=4sinB，則C=_．參考答案：17.(07年全國(guó)卷Ⅱ)一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上．如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1cm，那么該棱柱的表面積為

cm．參考答案：答案：2+4解析：一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上。正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)為球的直徑，現(xiàn)正四棱柱底面邊長(zhǎng)為1cm，設(shè)正四棱柱的高為h，∴2R=2=，解得h=，那么該棱柱的表面積為2+4cm2.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=，過點(diǎn)P（1，0）的直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)．（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程的化為普通方程；（2）求|PA|?|PB|的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）利用極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化方法，可得結(jié)論；（2）直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)），將代入得（cos2α+2sin2α）t2+2tcosα﹣1=0，利用參數(shù)的幾何意義，即可求|PA|?|PB|的取值范圍．【解答】解：（1）由得ρ2（1+sin2θ）=2，得曲線C的普通方程為．（2）由題意知，直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)），將代入得（cos2α+2sin2α）t2+2tcosα﹣1=0，設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則，∴|PA|?|PB|的取值范圍為．19.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），離心率為，過點(diǎn)B（3，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題：綜合題．分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率為，可設(shè)，則，利用經(jīng)過點(diǎn)A（2，1）可得，從而可求橢圓方程；（Ⅱ）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣3），與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及用坐標(biāo)表示向量，即可確定的取值范圍．解答： 解：（Ⅰ）由離心率為，可設(shè)，則因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)A（2，1）所以，解得，所以a2=6，b2=3所以橢圓方程為…（Ⅱ）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣3），直線l與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（x1，y1），N（x2，y2）…由，消元整理得：（1+2k2）x2﹣12k2x+18k2﹣6=0…△=（12k2）2﹣4（1+2k2）（18k2﹣6）＞0得0≤k2＜1…，…∴=（x1﹣3，y1）?（x2﹣3，y2）=（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2…=（1+k2）==…因?yàn)?≤k2＜1，所以所以的取值范圍是（2，3]．…點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程的聯(lián)立，利用韋達(dá)定理進(jìn)行解題．20.（14分）

設(shè)關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)根α、β，且。定義函數(shù)

（I）求的值；

（II）判斷上單調(diào)性，并加以證明；

（III）若為正實(shí)數(shù)，①試比較的大??；

②證明參考答案：解析：（I）解：的兩個(gè)實(shí)根，

…………3分

（II），

…………4分當(dāng)

…………5分而，上為增函數(shù)。

…………7分

（III）①

…………9分由（II），可知

…………10分②同理，可得

…………12分又由（I），知所以

…………14分21.已知函數(shù).（1）求的定義域及最小正周期；（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間.參考答案：解：（1）由得，故的定義域?yàn)?因?yàn)?==,所以的最小正周期.（2）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.由得所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.22.已知橢圓過點(diǎn)(0,1)，且離心率為.直線l與x軸正半軸和y軸分別交于點(diǎn)Q、P，與橢圓分別交于點(diǎn)M、N，各點(diǎn)均不重合且滿足，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，試證明:直線l過定點(diǎn)并求此定點(diǎn)參考答案：（1）；（2）證明見解析，(1,0).【分析】（1）設(shè)橢圓方程為，根據(jù)題意列出方程，求得的值，即可得到橢圓的方程；（2）設(shè)方程為，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得，，得到，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，代入求得直線的方程，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為