序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)

序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)第一頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日1

其中a是常數(shù)，

t是線性趨勢(shì)函數(shù)，ut

～.N(0,

2)。(5.3.5)(5.3.6)(5.3.7)

1.DF檢驗(yàn)

為說(shuō)明DF檢驗(yàn)的使用，先考慮3種形式的回歸模型

第二頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日2

(1)如果-1<

<1，則yt平穩(wěn)（或趨勢(shì)平穩(wěn)）。

(2)如果=1，yt

序列是非平穩(wěn)序列。(5.3.4)式可寫成：顯然yt

的差分序列是平穩(wěn)的。

(3)如果

的絕對(duì)值大于1，序列發(fā)散，且其差分序列是非平穩(wěn)的。第三頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日3

因此，判斷一個(gè)序列是否平穩(wěn)，可以通過(guò)檢驗(yàn)

是否嚴(yán)格小于1來(lái)實(shí)現(xiàn)。也就是說(shuō)：

原假設(shè)H0：

=1，備選假設(shè)H1：

<1(5.3.8)(5.3.9)(5.3.10)

從方程兩邊同時(shí)減去yt-1得，其中：

=

-1。第四頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日4

其中：

=

-1，所以原假設(shè)和備選假設(shè)可以改寫為

可以通過(guò)最小二乘法得到的估計(jì)值，并對(duì)其進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的方法，構(gòu)造檢驗(yàn)顯著性水平的t統(tǒng)計(jì)量。但是，Dickey-Fuller研究了這個(gè)t統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)下已經(jīng)不再服從t分布，它依賴于回歸的形式(是否引進(jìn)了常數(shù)項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng))和樣本長(zhǎng)度T

。第五頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日5

Mackinnon進(jìn)行了大規(guī)模的模擬，給出了不同回歸模型、不同樣本數(shù)以及不同顯著性水平下的臨界值。這樣，就可以根據(jù)需要，選擇適當(dāng)?shù)娘@著性水平，通過(guò)t統(tǒng)計(jì)量來(lái)決定是否接受或拒絕原假設(shè)。這一檢驗(yàn)被稱為Dickey-Fuller檢驗(yàn)(DF檢驗(yàn))。

上面描述的單位根檢驗(yàn)只有當(dāng)序列為AR(1)時(shí)才有效。如果序列存在高階滯后相關(guān)，這就違背了擾動(dòng)項(xiàng)是獨(dú)立同分布的假設(shè)。在這種情況下，可以使用增廣的DF檢驗(yàn)方法（augmentedDickey-Fullertest）來(lái)檢驗(yàn)含有高階序列相關(guān)的序列的單位根。

第六頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日6

2.ADF檢驗(yàn)

考慮yt存在p階序列相關(guān)，用p階自回歸過(guò)程來(lái)修正，在上式兩端減去yt-1，通過(guò)添項(xiàng)和減項(xiàng)的方法，可得其中

第七頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日7

ADF檢驗(yàn)方法通過(guò)在回歸方程右邊加入因變量yt

的滯后差分項(xiàng)來(lái)控制高階序列相關(guān)

(5.3.11)(5.3.12)(5.3.13)第八頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日8

擴(kuò)展定義將檢驗(yàn)

(5.3.14)

原假設(shè)為：至少存在一個(gè)單位根；備選假設(shè)為：序列不存在單位根。序列yt可能還包含常數(shù)項(xiàng)和時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。判斷的估計(jì)值是接受原假設(shè)或者接受備選假設(shè)，進(jìn)而判斷一個(gè)高階自相關(guān)序列AR(p)過(guò)程是否存在單位根。類似于DF檢驗(yàn)，Mackinnon通過(guò)模擬也得出在不同回歸模型及不同樣本容量下檢驗(yàn)不同顯著性水平的t統(tǒng)計(jì)量的臨界值。這使我們能夠很方便的在設(shè)定的顯著性水平下判斷高階自相關(guān)序列是否存在單位根。第九頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日9

但是，在進(jìn)行ADF檢驗(yàn)時(shí)，必須注意以下兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題：

（1）必須為回歸定義合理的滯后階數(shù)，通常采用AIC準(zhǔn)則來(lái)確定給定時(shí)間序列模型的滯后階數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，還需要兼顧其他的因素，如系統(tǒng)的穩(wěn)定性、模型的擬合優(yōu)度等。

（2）可以選擇常數(shù)和線性時(shí)間趨勢(shì)，選擇哪種形式很重要，因?yàn)闄z驗(yàn)顯著性水平的t統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)下的漸近分布依賴于關(guān)于這些項(xiàng)的定義。第十頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日10

①若原序列中不存在單位根，則檢驗(yàn)回歸形式選擇含有常數(shù)，意味著所檢驗(yàn)的序列的均值不為0；若原序列中存在單位根，則檢驗(yàn)回歸形式選擇含有常數(shù)，意味著所檢驗(yàn)的序列具有線性趨勢(shì)，一個(gè)簡(jiǎn)單易行的辦法是畫出檢驗(yàn)序列的曲線圖，通過(guò)圖形觀察原序列是否在一個(gè)偏離0的位置隨機(jī)變動(dòng)或具有一個(gè)線性趨勢(shì)，進(jìn)而決定是否在檢驗(yàn)時(shí)添加常數(shù)項(xiàng)。

②若原序列中不存在單位根，則檢驗(yàn)回歸形式選擇含有常數(shù)和趨勢(shì)，意味著所檢驗(yàn)的序列具有線性趨勢(shì)；若原序列中存在單位根，則檢驗(yàn)回歸形式選擇含有常數(shù)和趨勢(shì)，意味著所檢驗(yàn)的序列具有二次趨勢(shì)。同樣，決定是否在檢驗(yàn)中添加時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)，也可以通過(guò)畫出原序列的曲線圖來(lái)觀察。如果圖形中大致顯示了被檢驗(yàn)序列的波動(dòng)趨勢(shì)呈非線性變化，那么便可以添加時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。第十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日11

3.DFGLS檢驗(yàn)在經(jīng)驗(yàn)研究中，盡管DF檢驗(yàn)的DF統(tǒng)計(jì)量是應(yīng)用最廣泛的單位根檢驗(yàn)，但是它的檢驗(yàn)功效偏低，尤其是在小樣本條件下，數(shù)據(jù)的生成過(guò)程為高度自相關(guān)時(shí)，檢驗(yàn)的功效非常不理想。另外，DF檢驗(yàn)和ADF檢驗(yàn)對(duì)于含有時(shí)間趨勢(shì)的退勢(shì)平穩(wěn)序列的檢驗(yàn)是失效的。因此，為了改進(jìn)DF和ADF檢驗(yàn)的效能，Elliott，Rothenberg和Stock(1996)基于GLS方法的退勢(shì)DF檢驗(yàn)，簡(jiǎn)稱為DFGLS檢驗(yàn)，其基本原理如下：

第十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日12首先定義序列yt的擬差分序列如下：

t=1,2,,T并且構(gòu)造如下回歸方程：

t=1,2,,T(5.3.14)其中xt

=(1)表示yt中只含有截距項(xiàng)，或xt

=(1,t)表示yt中含有截距項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)。令表示方程(5.3.14)參數(shù)的最小二乘估計(jì)量，在實(shí)際計(jì)算中通常如下定義參數(shù)a：

第十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日13利用方程(5.3.14)的估計(jì)參數(shù)定義退勢(shì)后的序列ytd為

t=1,2,,T然后，對(duì)退勢(shì)后的序列ytd，應(yīng)用ADF檢驗(yàn)，即為DFGLS檢驗(yàn)。檢驗(yàn)過(guò)程如下：

t=1,2,,T原假設(shè)和備選假設(shè)同ADF檢驗(yàn)一致，為

Elliott，Rothenberg和Stock(1996)給出了不同置信水平下的臨界值，DFGLS檢驗(yàn)同一般的ADF檢驗(yàn)一樣是左側(cè)單邊檢驗(yàn)。第十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日14

EViews軟件中單位根檢驗(yàn)操作說(shuō)明：

雙擊序列名，打開(kāi)序列窗口，選擇View/unitRootTest，得到下圖：

單位根檢驗(yàn)窗口第十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日15進(jìn)行單位根檢驗(yàn)必須定義4項(xiàng)：

1．選擇檢驗(yàn)類型

在Testtype的下拉列表中，選擇檢驗(yàn)方法。EViews5提供了6種單位根檢驗(yàn)的方法：①AugmentedDickey-Fuller(ADF)Test②Dickey-FullerGLSTest③Phillips-Perron(PP)Test④Kwiatkowski,Phillips,SchmidtandShin(KPSS)Test⑤Elliot,Rothenberg,andStockPointOptimal(ERS)Test⑥NgandPerron(NP)Test第十六頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日16

2．選擇差分形式在Testforunitrootin中確定序列在水平值、一階差分、二階差分下進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。可以使用這個(gè)選項(xiàng)決定序列中單位根的個(gè)數(shù)。如果檢驗(yàn)水平值未拒絕，而在一階差分拒絕原假設(shè)，序列中含有一個(gè)單位根，是一階單整I(1)；如果一階差分后的序列仍然未拒絕原假設(shè)，則需要選擇2階差分。一般而言，一個(gè)序列經(jīng)過(guò)兩次差分以后都可以變?yōu)橐粋€(gè)平穩(wěn)序列，也就是二階單整I(2)。第十七頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日17

3．定義檢驗(yàn)方程中需要包含的選項(xiàng)

在Includeintestequation中定義在檢驗(yàn)回歸中是否含有常數(shù)項(xiàng)、常數(shù)和趨勢(shì)項(xiàng)、或二者都不包含。這一選擇很重要，因?yàn)闄z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)下的分布隨這3種情況不同而變化。在什么情況下包含常數(shù)項(xiàng)或者趨勢(shì)項(xiàng)，剛才已經(jīng)作了介紹。第十八頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日18

4．定義序列相關(guān)階數(shù)

在Laglenth這個(gè)選項(xiàng)中可以選擇一些確定消除序列相關(guān)所需的滯后階數(shù)的準(zhǔn)則。一般而言，EViews默認(rèn)SIC準(zhǔn)則。定義上述選項(xiàng)后，單擊OK進(jìn)行檢驗(yàn)。EViews顯示檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和估計(jì)檢驗(yàn)回歸。單位根檢驗(yàn)后，應(yīng)檢查EViews顯示的估計(jì)檢驗(yàn)回歸，尤其是如果對(duì)滯后算子結(jié)構(gòu)或序列自相關(guān)階數(shù)不確定，可以選擇不同的右邊變量或滯后階數(shù)來(lái)重新檢驗(yàn)。第十九頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日19

例5.7

檢驗(yàn)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)序列的平穩(wěn)性

圖5.9中國(guó)1983年1月～2007年8月的CPI（上年=100）序列第二十頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日20

例5.7用AR(1)模型模擬1983年1月～2007年8月居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)一階差分CPI的變化規(guī)律。在用ADF進(jìn)行單位根檢驗(yàn)前，需要設(shè)定序列的是否含有常數(shù)項(xiàng)或者時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。我們可以通過(guò)畫出原序列的圖形來(lái)判斷是否要加入常數(shù)項(xiàng)或者時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。從圖5.7的CPI圖形可以看出不含有線性趨勢(shì)項(xiàng)。CPI序列的ADF檢驗(yàn)結(jié)果(選擇既無(wú)常數(shù)項(xiàng)也無(wú)趨勢(shì)項(xiàng))如下：第二十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日21

1983年1月～2007年8月的CPI序列單位根ADF檢驗(yàn)結(jié)果?？梢钥闯霾荒芫芙^原假設(shè)，存在單位根。第二十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日22

1983年1月～2007年8月的CPI序列單位根DF-GLS檢驗(yàn)結(jié)果。采用含有常數(shù)和趨勢(shì)項(xiàng)的形式。不能拒絕原假設(shè)，CPI序列存在單位根。第二十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日23

檢驗(yàn)結(jié)果顯示，CPI序列接受原假設(shè)，因此，CPI序列是一個(gè)非平穩(wěn)的序列。接著再對(duì)一階差分CPI序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，ADF檢驗(yàn)結(jié)果如下：

檢驗(yàn)結(jié)果顯示，一階差分CPI序列拒絕原假設(shè)，接受CPI序列是平穩(wěn)序列的結(jié)論。因此，CPI序列是1階單整序列，即