序言演示文稿

序言演示文稿第一頁，共四十二頁，2022年，8月28日明德厚學(xué)求是創(chuàng)新明白做人做事的道理和規(guī)則接受、傳承知識誠實、守信（敢為人先，做別人沒做的事）（前提）（基礎(chǔ)）（關(guān)鍵）（目的）（樹立正確世界觀、人生觀、價值觀）(樹立終生教育理念)(尊重事實、尊重科學(xué))前進(jìn)、發(fā)展第二頁，共四十二頁，2022年，8月28日序言一、什么是數(shù)學(xué)？二、數(shù)學(xué)的特點三、什么是微積分學(xué)？四、微積分發(fā)展簡史五、學(xué)什么？怎么學(xué)？六、微積分學(xué)的主要內(nèi)容第三頁，共四十二頁，2022年，8月28日一、什么是數(shù)學(xué)純數(shù)學(xué)是以現(xiàn)實世界的空間的形式和數(shù)量的關(guān)系為數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。是人類從自身的實際生活和科學(xué)研究的實踐中抽象出來的一門學(xué)科。

和其他所有科學(xué)一樣，數(shù)學(xué)是從人們的實際需要中對象的。這些資料表現(xiàn)于非常抽象的形式之中，這一事實只能表面地掩蓋它的來自現(xiàn)實世界的根源。產(chǎn)生的。第四頁，共四十二頁，2022年，8月28日

數(shù)學(xué)是一切事物的本質(zhì),整個有規(guī)律的宇宙的組成,就是數(shù)以及數(shù)的關(guān)系和諧系統(tǒng)?！?/p>

畢達(dá)哥拉斯

和所有其他的思維領(lǐng)域一樣，從現(xiàn)實中抽象出來的規(guī)律，在一定的發(fā)展階段上就和現(xiàn)實世界相脫離，并且作為某種好似獨立的東西，好似從外面來的規(guī)律而與之相對立……僅僅因為如此，數(shù)學(xué)才能被一般地應(yīng)用?！?/p>

恩格斯第五頁，共四十二頁，2022年，8月28日

數(shù)學(xué)是一個重要的工具，比任何其他由于人的作用而得來的知識工具更為有力，因而他是所有其他知識工具的源泉。

數(shù)學(xué)是美的原型。數(shù)學(xué)是無窮的科學(xué)。數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由?！?/p>

笛卡爾——

開普勒——

赫爾曼外爾——

康托第六頁，共四十二頁，2022年，8月28日

數(shù)學(xué)之所以在靈活性和重要性上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過那些依賴

哲學(xué)（自然）是寫在那本永遠(yuǎn)在我們眼前的偉大書于它的科學(xué)，是因為它完全包括了這些科學(xué)的研究對象和許許多多的別的東西?！?/p>

笛卡爾本里的——我指的是宇宙，但是，我們?nèi)绻幌葘W(xué)會書里所用的語言，掌握書里的符號就不能了解它。這書是用數(shù)學(xué)語言寫出的，符號是三角形、圓形和別的幾何圖象，沒有它們的幫助，是連一個字也不會認(rèn)識的；沒有它們，人就在一個黑暗的迷宮里勞而無功地游蕩著?！?/p>

伽利略第七頁，共四十二頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)由一種“工具”一種“思維模式”；數(shù)學(xué)由一門“知識”一種“素養(yǎng)”；數(shù)學(xué)由一門“科學(xué)”一種“文化”。

數(shù)學(xué)是這樣一種東西：她提醒您有無限的靈魂，她賦予她所發(fā)現(xiàn)的真理以生命；她喚起心神，澄清智慧；她給我們的內(nèi)心思想添輝；她滌盡我們有生以來的蒙昧與無知。

——普瑞克斯第八頁，共四十二頁，2022年，8月28日綜上所述：

能否運用數(shù)學(xué)觀念定量思維，是衡量一個民族科學(xué)文化素質(zhì)的重要標(biāo)志。在人類面向數(shù)字化時代的今天，數(shù)學(xué)教育在培養(yǎng)高素質(zhì)科技人材中具有獨特的不可替代的重要作用。第九頁，共四十二頁，2022年，8月28日二、數(shù)學(xué)的特點高度抽象性與本質(zhì)客觀性；邏輯嚴(yán)密性與條件可變性；結(jié)構(gòu)層次性與思維科學(xué)性；應(yīng)用靈活性與結(jié)果可信性。第十頁，共四十二頁，2022年，8月28日三、什么是微積分（高等數(shù)學(xué)）初等數(shù)學(xué)：

研究對象為常量，用靜止觀點研究問題高等數(shù)學(xué)：

研究對象為變量，以動態(tài)和辯證的思維研究問題笛卡兒的變量是數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點.有了變量,運動進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變量，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了有了變量,微分和積分也就立刻成為必恩格斯的了,而它們也就立刻產(chǎn)生.

微積分是關(guān)于運動和變化的數(shù)學(xué)。那里有運動或增長、變力作功產(chǎn)生的加速度，那里要用到的數(shù)學(xué)就是微積分。微積分開創(chuàng)的初期是這樣，今天仍然是這樣。第十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日四、微積分發(fā)展簡史1.

微積分思想萌芽

戰(zhàn)國時期名家的代表作《莊子?天下篇》惠施的一段話：

“

一尺之錘，日取其半，

劉徽生于公元250年左右，東漢三國后期魏國人，是中國古代杰出的數(shù)學(xué)家，也是中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基者之一．劉徽在《九章算術(shù)注》的“割圓術(shù)”：

“

割之彌細(xì)，所失彌少，割萬世不竭?！?/p>

之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！?/p>

第十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日安提芬(Antiphon）歐多克斯（EudoxusofCnidus)“窮竭法”古希臘早期十大最偉大的演說家之一

公元前（480-403）

公元前（408-355）

古希臘天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家第十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日名言：

“給我一個支點，我能撬動地球”

阿基米德(Archimedes）（約公元前287～212）

古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，靜力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人。借助于窮竭法解決了一系列幾何圖形的面積、體積計算問題。他的方法通常被稱為“平衡法”，實質(zhì)上是一種原始的積分法。

除了偉大的牛頓和偉大的愛因斯坦，再沒有一個人象阿基米德那樣為人類的進(jìn)步做出過這樣大的貢獻(xiàn)。即使牛頓和愛因斯坦也都曾從他身上汲取過智慧和靈感。第十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.

十七世紀(jì)微積分的醞釀

微積分思想真正的迅速發(fā)展與成熟是在16世紀(jì)以后。

1400年至1600年的歐洲文藝復(fù)興，使得整個歐洲全面覺醒。一方面，社會生產(chǎn)力迅速提高，科學(xué)和技術(shù)得到迅猛發(fā)展；另一方面，社會需求的急需增長，也為科學(xué)研究提出了大量的問題。這一時期，對運動與變化的研究已變成自然科學(xué)的中心問題，以常量為主要研究對象的古典數(shù)學(xué)已不能滿足要求，科學(xué)家們開始由對以常量為主要研究對象的研究轉(zhuǎn)移到以變量為主要研究對象的研究上來，自然科學(xué)開始邁入綜合與突破的階段。

第十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日

微積分的創(chuàng)立，首先是為了處理十七世紀(jì)的一系列主要的科學(xué)問題：(2)望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計需要確定透鏡曲面上任意一點的法線求任意曲線切線的連續(xù)變化問題。(1)如何確定非勻速運動物體的速度與加速度及瞬時變化率問題。(3)確定炮彈的最大射程及尋求行星軌道的近日點與遠(yuǎn)日點等涉及的函數(shù)極大值、極小值問題。(4)行星沿軌道運動的路程、行星矢徑掃過的面積以及物體重心與引力的計算等。第十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日

這一時期的幾位科學(xué)大師及其工作：

約翰尼斯·開普勒

（JohannesKepler）

（公元：1571-1630)

牛頓曾說過：“如果說我比別人看得遠(yuǎn)些的話，是因為我站在巨人的肩膀上。”開普勒無疑是他所指的巨人之一。

德國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家。他用無數(shù)個同維無限小元素之和來確定曲邊形的面積及旋轉(zhuǎn)體的體積。第十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日

卡瓦列里(B.Cavalieri）（公元：1598-1647

)

的基本結(jié)果，使早期積分突破體積計算的現(xiàn)實原型而向一般算法過渡。

Galileo的學(xué)生，意大利數(shù)學(xué)家，積分學(xué)先驅(qū)者之一。

他認(rèn)為：“兩個等高的立體，如果它們的平行于底面且離開底面有相等距離的截面積之比為定值，那么這兩個立體的體積之間也有同樣的比”，利用這個原理他建立了等價于下列積分：第十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日

伊薩克·

巴羅

(IsaacBarrow

）（公元：1630一1677)

十七世紀(jì)英國最著名的科學(xué)家和數(shù)學(xué)家，牛頓的老師。精于數(shù)學(xué)

和光學(xué)，對幾何學(xué)頗有建樹。巴羅與“微分三角形”：

該方法給出了求曲線切線的方法，這對于他的學(xué)生牛頓完成微積分理論起到了重要作用。第十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日

（ReneDescartes）（公元：1596-1650

）勒奈·

笛卡爾

法國杰出的近代哲學(xué)家、一流的物理學(xué)家、近代生物學(xué)的奠基人、但只偶然的是位數(shù)學(xué)家。解析幾何的創(chuàng)始人。笛卡兒、費爾馬和坐標(biāo)方法：

他們用代數(shù)方法處理問題，對推動微積分的早期發(fā)展產(chǎn)生了很大的影響，牛頓就是以此為起跑點而踏上研究微積分的道路。第二十頁，共四十二頁，2022年，8月28日

費爾馬

(PierredeFermat）

（公元：1601～1665）對費爾馬的評價：費爾馬一生從未受過專門的數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)研究也不過只是業(yè)余愛好。然而，在17世紀(jì)的法國還找不到哪位數(shù)學(xué)家可以與之匹敵：他是解析幾何的發(fā)明者之一；對于微積分誕生的貢獻(xiàn)僅次于牛頓、萊布尼茨，概率論的主要創(chuàng)始人，以及獨承17世紀(jì)數(shù)論天地的人。此外，費馬對物理學(xué)也有重要貢獻(xiàn)。

法國著名數(shù)學(xué)家，被譽為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”。

沃利斯的“無窮算術(shù)”

沃利斯是在牛頓和萊布尼茨之前，將分析方法引入微積分貢獻(xiàn)最突出的數(shù)學(xué)家。在其著作《無窮算術(shù)》中，他利用算術(shù)不可分量方法獲得了一系列重要結(jié)果。第二十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日3.

微積分的創(chuàng)立—牛頓和萊布尼茨的工作

牛頓于1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”(微分法),1666年5月建立“反流數(shù)術(shù)”(積分法)。

1666年10月,牛頓將前兩年的的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文—《流數(shù)簡論》，明確了現(xiàn)代微積分的基本方法,這是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)。牛頓將自古希臘以來的求解無限小問題的各種技巧統(tǒng)一為兩類普通的算法——正、反流數(shù)術(shù)(流數(shù)就是微商)，并證明了二者的互逆關(guān)系，將這兩類運算進(jìn)一步統(tǒng)一成整體，這是他超越前人的功績,也正是在這樣的定義下，我們說牛頓發(fā)明了微積分。1）牛頓的“流數(shù)術(shù)”

艾薩克·牛頓

（Isaacnewton）(1643年1月4日—1727年3月20日)

英國偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家和自然哲學(xué)家，同時他也是一個神學(xué)愛好者，晚年曾著力研究神學(xué)。牛頓在科學(xué)上最卓越的貢獻(xiàn)是創(chuàng)建了微積分和經(jīng)典力學(xué)。第二十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日2）萊布尼茨的微積分工作

與牛頓的切入點不同，萊布尼茨創(chuàng)立微積分首先是出于幾何問題的思考，尤其是特征三角形的研究。

1684年，萊布尼茨整理、概括自己1673年以來微積分研究的成果，在《教師學(xué)報》上發(fā)表了第一篇微分學(xué)論文《一種求極大值與極小值以及求切線的新方法》（簡稱《新方法》），它包含了微分記號

以及函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分法則，還包含了微分法在求極值、拐點以及光學(xué)等方面的廣泛應(yīng)用。

1686年，萊布尼茨又發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文，這篇論文初步論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關(guān)系，包含積分符號

。

戈特弗里德·威廉·凡·萊布尼茨（GottfriendWilhelmvonLeibniz）

（1646.7.1.—1716.11.14.）

德國最重要的自然科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、歷史學(xué)家和哲學(xué)家，一個舉世罕見的科學(xué)天才，和牛頓同為微積分的創(chuàng)建人。他博覽群書，涉獵百科，對豐富人類的科學(xué)知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。

第二十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日

從17世紀(jì)到18世紀(jì)的過渡時期，法國數(shù)學(xué)家羅爾(M.Rolle

1652-1779)在其論文《任意次方程一個解法的證明》中給出了微分學(xué)的一個重要定理，也就是我們現(xiàn)在所說的羅爾微分中值定理。微積分的兩個重要奠基者是伯努利兄弟詹姆斯和約翰他們的工作構(gòu)成了現(xiàn)今初等微積分的大部分內(nèi)容。其中，約翰給出了求未定型極限的一個定理，這個定理后由約翰的學(xué)生羅比達(dá)(L’Hospital,1661-1704)編入其微積分著作《無窮小分析》，現(xiàn)在通稱為羅比達(dá)法則。3）18世紀(jì)微積分的發(fā)展第二十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日

伯努利家族代表人物之一，數(shù)學(xué)家。他是最早使用“積分”這個術(shù)語的人，也是較早使用極坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)家之一。他研究了懸鏈線，還確定了等時曲線的方程。他也是概率論的創(chuàng)始人之一，我們現(xiàn)在教課書上的Bernoulli大數(shù)定律就是以他的名字命名的。

詹姆斯·伯努利的弟弟。最初學(xué)醫(yī)，同時研習(xí)數(shù)學(xué)。1691年到巴黎,曾為GuillaumeF.A.L’Hospital

羅比達(dá)的私人教師?，F(xiàn)今求不定式極限的羅比達(dá)法則，實出自約翰。1705年接替其兄詹姆斯任巴塞爾大學(xué)教授。1691年解出懸鏈線問題。

Euler

也是他的學(xué)生。

詹姆斯·伯努利

(JamesBernoulli

)?（1654年12月27日－1705年8月16日）

約翰·伯努利

(JohanBernoulli)

（1667年8月6日－1748年）第二十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日

布魯克·泰勒

(Brook.

Taylor)

(1685—

1731)

英國數(shù)學(xué)家，他主要以泰勒公式和泰勒級數(shù)出名。

科林·麥克勞林

（ColinMaclaurin)(1698－

1746）

18世紀(jì)英國最具有影響的數(shù)學(xué)家之一。麥克勞林得到泰勒公式在

0時的特殊情況，現(xiàn)代微積分教材中一直將這一特殊情形的泰勒級數(shù)稱為“麥克勞林級數(shù)”。

18世紀(jì)，微積分得到進(jìn)一步深入發(fā)展。第二十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日

約瑟夫·

路易斯·拉格朗日

（Joseph-LouisLagrange1735~1813）法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。他最突出的貢獻(xiàn)是在把數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)脫離幾何與力學(xué)方面起了決定性的作用．

18世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，也是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被稱為“分析的化身”。18世紀(jì)微積分最重大的進(jìn)步是由歐拉作出的。他的《無限小分析引論》（1748）、《微分學(xué)原理》（1755）與《積分學(xué)原理》（1768~1770）都是微積分史上里程碑式的著作，在很長時間內(nèi)被當(dāng)作標(biāo)準(zhǔn)教材而廣泛使用。萊昂哈德·

歐拉（LeonhardEuler)(1707-1783）第二十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日

4．微積分中注入嚴(yán)密性

微積分學(xué)創(chuàng)立以后，由于運算的完整性和應(yīng)用的廣泛性，使微積分學(xué)成了研究自然科學(xué)的有力工具。但微積分學(xué)中的許多概念都沒有精確的定義，特別是對微積分的基礎(chǔ)—無窮小概念的解釋不明確，在運算中時而為零，時而非零，出現(xiàn)了邏輯上的困境。正因為如此，這一學(xué)說從一開始就受到多方面的懷疑和批評。

第二十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日

最令人震撼的抨擊是來自英國克羅因的主教貝克萊。

貝克萊集中攻擊了微積分中關(guān)于無限小量的混亂假設(shè)，他說：“這些消失的增量究竟是什么？它們既不是有限量，也不是無限小，又不是零，難道我們不能稱它們?yōu)橄Я康墓砘陠?？”這就是著名的“貝克萊悖論”。貝克萊的許多批評切中要害，客觀上揭露了早期微積分的邏輯缺陷，引起了當(dāng)時不少數(shù)學(xué)家的恐慌。這也就是我們所說的數(shù)學(xué)發(fā)展史上的第二次“危機”。

第二十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日

第二次數(shù)學(xué)危機的實質(zhì)是什么？應(yīng)該說，是極限的概念不清楚，極限的理論基礎(chǔ)不牢固。也就是說，微積分理論缺乏邏輯基礎(chǔ)。

到19世紀(jì)，一批杰出數(shù)學(xué)家辛勤、天才的工作，終于逐步建立了嚴(yán)格的極限理論，并把它作為微積分的基礎(chǔ)。應(yīng)該指出，嚴(yán)格的極限理論的建立是逐步的、漫長的。第三十頁，共四十二頁，2022年，8月28日

達(dá)朗貝爾

(d’Alembert,1717-1783)

在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當(dāng)時使用的粗糙的極限理論。但他本人未能提供這樣的理論。

完善時期的代表人物:

波爾查諾

(B.

Bolzano,1781-1848)

捷克數(shù)學(xué)家,19世紀(jì)初開始將嚴(yán)格的論證引入數(shù)學(xué)分析，他寫的《無窮的悖論》一書中包含許多真知灼見。第三十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日

做出決定性工作、可稱為分析學(xué)的奠基人的是法國數(shù)學(xué)家柯西。他在1821—1823年間出版的《分析教程》和《無窮小計算講義》是數(shù)學(xué)史上劃時代的著作。他對極限給出比較精確的定義，然后用它定義連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分和無窮級數(shù)的收斂性，已與我們現(xiàn)在教科書上的差不太多了。

柯西（A.L.Cauchy,1789—1857）。第三十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日

另一位為微積分的嚴(yán)密性做出卓越貢獻(xiàn)的是德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯(W.

Weierstrass,1815-1897)。魏爾斯特拉斯定量地給出了極限概念的定義。魏爾斯特拉斯用他創(chuàng)造的一套

語言重新定義了微積分中的一系列重要概念，終于使分析學(xué)從完全依靠運動學(xué)、直觀理解和幾何概念中解放出來，消除了“貝克萊悖論”。基于魏爾斯特拉斯在分析嚴(yán)格化方面的貢獻(xiàn)，在數(shù)學(xué)史上，他獲得了“現(xiàn)代分析之父”的稱號。

魏爾斯特拉斯(W.

Weierstrass)1815-1897第三十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日五、為什么學(xué)？學(xué)什么？怎樣學(xué)？1）數(shù)學(xué)的重要性:什么是高技術(shù)？——本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)技術(shù)。什么叫現(xiàn)代化？——在某種意義上說就是數(shù)學(xué)化。三大科學(xué)是什么？——數(shù)學(xué)科學(xué)、自然科學(xué)和社會科學(xué)成為當(dāng)今的三大科學(xué)。尋找自然規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式成為一種時尚，也是該學(xué)科成熟的標(biāo)志。這種時尚發(fā)展到今天，就是非常熱門的話題——數(shù)學(xué)模型。微積分是現(xiàn)實世界的最出色的數(shù)學(xué)模型之一。為什么要學(xué)習(xí)微積分？第三十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日2）素質(zhì)教育：數(shù)學(xué)不僅是一些知識，也是一種素質(zhì)，即“數(shù)學(xué)素質(zhì)”。

著名數(shù)學(xué)家李大潛院士指出：“數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上就是一種素質(zhì)教育”。體現(xiàn)在①具有運用數(shù)學(xué)語言的能力；②具有處理數(shù)據(jù)和圖形的能力，重點是應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)建模的能力；③具有進(jìn)行邏輯推理和選擇計算方法的能力；④具有判斷計算和推理結(jié)果正確性的能力；⑤具有自己主動學(xué)習(xí)、適應(yīng)各種復(fù)雜環(huán)境的能力；⑥養(yǎng)成主動合作的團隊精神、堅韌不拔的科學(xué)態(tài)度；⑦具有高水平的審美觀。第三十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日3）微積分是學(xué)習(xí)專業(yè)技術(shù)課的基礎(chǔ)

微積分全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的內(nèi)容

微積分在研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)中占60%第三十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日怎么學(xué)習(xí)微積分、學(xué)什么？1.認(rèn)識微積分學(xué)的重要性,培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣馬克思恩格斯

要辨證而又唯物地了解自然,

一門科學(xué),只有當(dāng)它成功地運用數(shù)學(xué)時,才能達(dá)到真正完善的地步。就必須熟悉數(shù)學(xué)。第三十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.學(xué)會讀書、注重培養(yǎng)自學(xué)能力

如果書中的內(nèi)容你不能