大學(xué)物理剛體力學(xué)

第5章剛體力學(xué)初步前4章給出了質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的有關(guān)規(guī)律.本章介紹具有一定形狀和大小物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律.既然任何物體都可看成是由大量質(zhì)點(diǎn)組成的,那么前面的理論在本章中依然有效.§5.1

剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)§5.2

剛體平動(dòng)動(dòng)力學(xué)§5.3

質(zhì)心與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律§5.4

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)§5.5角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒定律

§5.6定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒定律1.剛體物理模型:

物體在運(yùn)動(dòng)和相互作用過(guò)程中,其大小和形狀均不發(fā)生變化.推論:

剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離不變.2.剛體的運(yùn)動(dòng)§5.1剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體的一般運(yùn)動(dòng)=平動(dòng)+定軸轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng):

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,通過(guò)剛體內(nèi)任一條直線的方位始終保持不變.特點(diǎn):剛體平動(dòng)時(shí),內(nèi)部各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況完全相同.因此,描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量(如位移、速度和加速度)均可用來(lái)描述剛體的運(yùn)動(dòng).剛體內(nèi)任意一點(diǎn)的平動(dòng)可代表整個(gè)剛體的平動(dòng).轉(zhuǎn)動(dòng):剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),各個(gè)質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線(轉(zhuǎn)動(dòng)軸)作同角速度的圓周運(yùn)動(dòng).定軸轉(zhuǎn)動(dòng):

轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng).質(zhì)心軸:通過(guò)質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸.特點(diǎn):定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),剛體轉(zhuǎn)軸上各點(diǎn)保持不動(dòng).軸外各點(diǎn)在同一時(shí)間間隔

dt

內(nèi),移動(dòng)的弧長(zhǎng)雖然不同,但其角位移

d

卻完全一樣.因此,

描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可引入新的物理量,

如角位移、角速度和角加速度.3.

描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量角位移:在時(shí)間間隔

t

內(nèi),剛體上任一點(diǎn)相對(duì)于某一特定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度為.zxo特征:

(1)角位移

是相對(duì)于某一特定轉(zhuǎn)軸而言的.

(2)角位移

不是矢量,它的合成與轉(zhuǎn)動(dòng)的先后次序有關(guān),不符合矢量的加法交換律.

xyzxyzxyzxyzxyzxyz角位移不是矢量(3)

瞬時(shí)角位移

d

符合矢量運(yùn)算法則,為矢量.dxyzo角速度:大小為在某一時(shí)刻

t

附近的單位時(shí)間間隔內(nèi),剛體上任一點(diǎn)角位移的大小;其方向在轉(zhuǎn)軸方位,可用右手螺旋法則確定.特征:

(1)

角速度是矢量,它反映了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)瞬時(shí)角位移隨時(shí)間變化的規(guī)律.

(2)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),轉(zhuǎn)軸的方向已經(jīng)給定,角速度的方向可用正負(fù)表示,即滿足標(biāo)量運(yùn)算法則.角加速度:在任意時(shí)刻

t

附近的單位時(shí)間間隔內(nèi),剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的變化量,其方向由矢量運(yùn)算法則確定.對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)有:速度和角速度的關(guān)系:以轉(zhuǎn)軸上某點(diǎn)O為參考點(diǎn)加速度和角速度、角加速度的關(guān)系:對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)有

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)

角位移φ

位移

x

角速度ω

速度v角加速度

加速度

a

=常數(shù)

a

=常數(shù)勻加速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

勻加速直線運(yùn)動(dòng)§5.2

剛體平動(dòng)動(dòng)力學(xué)剛體:質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的質(zhì)點(diǎn)系.質(zhì)量元mi

:在剛體上任取一質(zhì)量元

mi

視為質(zhì)點(diǎn).質(zhì)量元外力F

i:

其它物體施于質(zhì)量元

mi

的作用力.質(zhì)量元內(nèi)力f

i:剛體內(nèi)其它部分施于質(zhì)量元

mi

的作用力.由牛頓力學(xué)有對(duì)所有質(zhì)量元求和有且平動(dòng)時(shí)有考慮到所以平動(dòng)運(yùn)動(dòng)定律:剛體平動(dòng)時(shí),其運(yùn)動(dòng)規(guī)律與同質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)相同,受力等于剛體所受外力的矢量和.§5.3

質(zhì)心與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律對(duì)剛體的任意運(yùn)動(dòng),

由牛頓第二定律有:剛體任意運(yùn)動(dòng)時(shí),

作用在剛體上的合外力等于各個(gè)質(zhì)量元的加速度與質(zhì)量元乘積的矢量和.剛體任意運(yùn)動(dòng)時(shí),

每一質(zhì)量元的加速度不一定相同,故上式無(wú)法確定每一質(zhì)量元的加速度.

但它可以確定剛體中一特殊點(diǎn)——質(zhì)心的加速度.1.剛體的質(zhì)心與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律將上式寫成直角坐標(biāo)分量形式這三個(gè)量可確定剛體上某點(diǎn)

c

(xc,yc,zc),

稱為剛體的質(zhì)量中心,

簡(jiǎn)稱質(zhì)心.若令若質(zhì)量連續(xù)分布,

則有其中

dV

為質(zhì)量元

dm

的體積.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律:剛體任意運(yùn)動(dòng)時(shí),作用在剛體上的合外力等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積.代入分量式可得2.剛體的重力勢(shì)能hc為剛體質(zhì)心的高度,剛體的重力勢(shì)能取決于其質(zhì)心的高度.對(duì)任一質(zhì)量元對(duì)整個(gè)剛體§5.4剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)1.轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體繞過(guò)O點(diǎn)且與投影面垂直的固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)僅考慮所受的力與轉(zhuǎn)軸垂直的情形.剛體中任一質(zhì)量元該質(zhì)量元所受合外力該質(zhì)量元所受合內(nèi)力由牛頓第二定律:寫成分量形式:對(duì)(2)式乘以ri

:對(duì)

i

求和:由內(nèi)力的特性知故有稱為外力Fi

對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩稱為剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量所以定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律:剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),作用在剛體上的合外力矩等于剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積.以表示合外力矩,

則有

以矢量形式表示其中合外力矩轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力矩指向在轉(zhuǎn)軸方位2.力矩定義:

力對(duì)某轉(zhuǎn)軸的力矩,

等于轉(zhuǎn)軸到力作用點(diǎn)的矢徑與作用力的叉乘.特性:

力矩是矢量;力矩的和不恒等于合力的力矩;

每個(gè)分力的力矩與力的作用點(diǎn)有關(guān).大小方向:由和的右手螺旋法則確定.3.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義:特性:

(1)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是標(biāo)量,它是反映剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的物理量.(2)

它是相對(duì)于某一特定轉(zhuǎn)軸而言的.轉(zhuǎn)軸不同,同一物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則不同.(3)

它與剛體的質(zhì)量和質(zhì)量分布有關(guān).(4)

它符合加法結(jié)合律和交換律——和的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的和.(5)

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定律:(6)

規(guī)則形狀剛體相對(duì)于對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可直接計(jì)算求得,

其它不規(guī)則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般由實(shí)驗(yàn)測(cè)定.dmIIc4.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算xdxxo(1)垂直于細(xì)棒且通過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.已知:

棒長(zhǎng)

l

,

總質(zhì)量

m

.設(shè)棒的線密度為則有(2)均勻細(xì)圓環(huán)繞其對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.已知:半徑R,總質(zhì)量m

.dmR(3)

空心圓柱繞其對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.已知:內(nèi)半徑

R1,外半徑

R2

,高

l

,總質(zhì)量

m

.rdrR1R2ol該式同樣適用于薄圓盤設(shè)其密度為在半徑為

r

處,取厚度為

dr的薄層為質(zhì)量元(4)均勻球體繞其對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.已知:球的半徑為

R

,質(zhì)量

m

.方法1:取距球心為

x

處,

厚度為dx、半徑為

r

的薄圓盤為質(zhì)量元設(shè)其質(zhì)量密度為圓盤半徑體積元質(zhì)量元此圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dxxRr薄圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量那么,

球體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為方法2:

在球坐標(biāo)系中取體體積元質(zhì)量元故球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算的一般步驟質(zhì)量密度為取體積元?jiǎng)t質(zhì)量元直角坐標(biāo)系球坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)慣量常見規(guī)則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄圓盤R1R2l圓柱細(xì)棒細(xì)棒球體例1.

求半經(jīng)為

R

、質(zhì)量為

m

的均勻圓環(huán),對(duì)于沿直徑轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解:圓環(huán)的線密度為在環(huán)上取長(zhǎng)度元

dS,相應(yīng)的質(zhì)量元

dm

,dm

距轉(zhuǎn)軸

r,

則例4.

在半徑分別為

R1

和

R2

的階梯形滑輪上反向繞有兩根輕繩,分別懸掛質(zhì)量為m1、m2的物體.如滑輪與軸間摩擦不計(jì),滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I.求滑輪的角加速度β

及兩繩中的張力T1與T2.y解:取向下為坐標(biāo)軸的正方向,相應(yīng)地順時(shí)針轉(zhuǎn)向亦為正方向.隔離體受力分析如圖.由牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程如下且線量與角量之間的關(guān)系式為y聯(lián)立求解得例5.

物體

A、B

的質(zhì)量分別為

m1和

m2

,用一輕繩相連,繩子跨過(guò)質(zhì)量為

M、半徑為

R

的勻質(zhì)定滑輪

C.如A下降,B

與水平桌面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為

μ

,且繩與滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng),求系統(tǒng)的加速度及繩中的張力

T1

和

T2

.yx解:建立如圖坐標(biāo)系,并取順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎较?隔離物體受力分析如下圖.由牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律列出動(dòng)力學(xué)方程:整理以上方程有:又由運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系可得:聯(lián)立解得:§5.5

角動(dòng)量定理與

角動(dòng)量守恒定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有:令

,

稱為剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量或動(dòng)量矩.角動(dòng)量定理:

剛體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),角動(dòng)量的增量等于外力矩作用在剛體上的沖量矩.一般地,有稱為力矩對(duì)轉(zhuǎn)軸的沖量矩沖量矩:

外力矩對(duì)時(shí)間的累積.由角動(dòng)量定理:角動(dòng)量守恒定律:

剛體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),若受到的合外力矩為零,則其角動(dòng)量保持不變.I11F1I22F2I1+I2若恒矢量作用前角動(dòng)量作用后角動(dòng)量例8.

在質(zhì)量為

M、半徑為

R

的水平圓盤轉(zhuǎn)臺(tái)上,兩質(zhì)量均為

m

的電動(dòng)汽車分別沿半徑為

R

和

r

(R＞r)

的圓形軌道轉(zhuǎn)動(dòng).最初,小車和轉(zhuǎn)臺(tái)都靜止不動(dòng).若外軌道上的小車沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng),內(nèi)軌道小車順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),相對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)的速率均為v.求轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)地面的角速度.解:

設(shè)順時(shí)針方向?yàn)檎较?轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)地面的角速度為.由于運(yùn)動(dòng)過(guò)程中無(wú)外力矩作用,所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒.汽車A相對(duì)于地面的角速度汽車B相對(duì)于地面的角速度由角動(dòng)量守恒其中代入可得所以,轉(zhuǎn)臺(tái)順時(shí)針旋轉(zhuǎn).§5.6

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理與機(jī)械能守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),

距轉(zhuǎn)軸為

r

的質(zhì)量元

dm

的線速度為

v

,

其動(dòng)能為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的總動(dòng)能為1.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能2.剛體的重力勢(shì)能3.剛體的平動(dòng)動(dòng)能4.剛體的總機(jī)械能5.剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)外力矩所做的功剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的微角位移為d,相應(yīng)地力矩做功為某一力

Fi

的元功為所有外力的元功為剛體由角

1轉(zhuǎn)到角

2

過(guò)程中,外力矩所做的功為6.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有動(dòng)能定理:剛體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中,合外力矩所做的功等于轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量(力矩的空間累積效應(yīng)).7.剛體機(jī)械能守恒定律由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理有:當(dāng)時(shí)若存在重力,且,

則一般情況下若則有

為平動(dòng)動(dòng)能

為轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能例1.

質(zhì)量為

m1

的小球,運(yùn)動(dòng)速度為u,

與質(zhì)量為

m2

、長(zhǎng)為

2l

的細(xì)棒作完全彈性碰撞,棒繞通過(guò)其質(zhì)心的水平轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)(如圖).求:小球的反彈速度v

和棒的角速度

.解：小球的重力與沖擊力相比可忽略,且選順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎较?設(shè)小球反彈速度為v

,

棒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為

.碰撞前后系統(tǒng)角動(dòng)量守恒:又彈性碰撞時(shí)機(jī)械能守恒其中解得例2.

長(zhǎng)為

l

、質(zhì)量為

m

的均勻細(xì)桿OA,繞通過(guò)其端點(diǎn)O的水平軸在豎垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng).已知另一端A過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速率為v0.求桿擺動(dòng)時(shí)A點(diǎn)上升的最大高度(不計(jì)空氣阻力和軸的摩擦力)解:選地球與細(xì)桿為系統(tǒng)，則合外力矩為0,故機(jī)械能守恒.

最低點(diǎn)處動(dòng)能最高點(diǎn)處動(dòng)能勢(shì)能勢(shì)能h由有可求得運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)的表征動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)的原因及規(guī)律靜力學(xué)運(yùn)