廣東省東莞市第五高級中學2022-2023學年高二數(shù)學文期末試卷含解析

廣東省東莞市第五高級中學2022-2023學年高二數(shù)學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在區(qū)間上隨機地取一個數(shù),則事件“”發(fā)生的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A考點：幾何概型及其概率的計算．2.如圖甲是某條公共汽車線路收支差額與乘客量的圖象（收支差額=車票收入—支出費用），由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩條建議：建議（Ⅰ）是不改變車票價格，減少支出費用；建議（Ⅱ）是不改變支出費用，提高車票價格.下面給出四個圖象：在這些圖象中A．①反映了建議（Ⅱ），③反映了建議（Ⅰ）B．①反映了建議（Ⅰ），③反映了建議（Ⅱ）C．②反映了建議（Ⅰ），④反映了建議（Ⅱ）D．④反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）參考答案：B3.已知兩直線x﹣ky﹣k=0與y=k（x﹣1）平行，則k的值為（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2參考答案：B【考點】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【分析】直線x﹣ky﹣k=0即y=x﹣1，k≠0，再根據(jù)兩直線的斜率相等，但在y軸上的截距不相等，求出k的值．【解答】解：由于直線x﹣ky﹣k=0與直線y=k（x﹣1）的斜率都存在，直線x﹣ky﹣k=0即y=x﹣1，k≠0，由兩直線平行的性質(zhì)可得，∴k2=1，且k≠1．解得k=﹣1，故選B．4.與拋物線x2＝4y關(guān)于直線x＋y＝0對稱的拋物線的焦點坐標是()A．(1,0)

B．(，0)

C．(－1,0)

D．(0，－)參考答案：C略5.若雙曲線經(jīng)過點，且漸近線方程是，則雙曲線的方程是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D6.雙曲線-=1的兩條漸近線互相垂直，那么它的離心率為(

)A．

B．

C．2

D．參考答案：A略7.如圖，下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形序號是（） A．①② B．③④ C．②③ D．①④參考答案：D【考點】直線與平面平行的判定． 【專題】空間位置關(guān)系與距離． 【分析】根據(jù)直線與平面平行的判定方法，得出圖①④中AB∥平面MNP． 【解答】解：對于①，該正方體的對角面ADBC∥平面MNP，得出直線AB∥平面MNP； 對于②，直線AB和平面MNP不平行，因此直線AB與平面MNP相交； 對于③，易知平面PMN與正方體的側(cè)面AB相交，得出AB與平面MNP相交； 對于④，直線AB與平面MNP內(nèi)的一條直線NP平行，且直線AB?平面MNP，∴直線AB∥平面MNP； 綜上，能得出直線AB∥平面MNP的圖形的序號是①④． 故選：D． 【點評】本題考查了空間中的直線與平面平行的判斷問題，解題時應(yīng)結(jié)合圖形進行分析，是基礎(chǔ)題目． 8.已知是各條棱長均等于的正三棱柱，是側(cè)棱的中點．點到平面的距離（

）A．

B．

C． D．參考答案：B略9.在正四棱柱中，，E為AB上一個動點，則的最小值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略10.已知拋物線上一點A的縱坐標為4，則點A到拋物線焦點的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：D【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】先根據(jù)拋物線的方程求得準線的方程，進而利用點A的縱坐標求得點A到準線的距離，進而根據(jù)拋物線的定義求得答案．【解答】解：依題意可知拋物線的準線方程為y=﹣1，∴點A到準線的距離為4+1=5，根據(jù)拋物線的定義可知點A與拋物線焦點的距離就是點A與拋物線準線的距離，∴點A與拋物線焦點的距離為5，故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知正實數(shù)x，y滿足xy=9，則x+9y取得最小值時x=，y=

．參考答案：9,1.【考點】基本不等式．【分析】由條件，運用基本不等式：a+b≥2（a，b＞0，a=b取得等號），即可得到所求最小值時x，y的值．【解答】解：由正實數(shù)x，y滿足xy=9，可得x+9y≥2=6=6×3=18，當且僅當x=9y，即x=9，y=1時，取得最小值18．故答案為：9，1．12.為等差數(shù)列的前項和，，則

.參考答案：2113.已知拋物線y2＝2px(p>0)的準線與圓(x－3)2＋y2＝16相切，則p的值為__________．參考答案：略14.在中，,則_____________.參考答案：15.命題“”的否定是

．參考答案：16.展開式中，的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）參考答案：90【分析】寫出二項展開式的通項公式，令的指數(shù)為2，可求得項是第幾項，從而求得系數(shù)．【詳解】展開式通項為，令，則，∴的系數(shù)為．故答案為90．【點睛】本題考查二項式定理，考查二項展開式通項公式．解題時二項展開式的通項公式，然后令x的指數(shù)為所求項的指數(shù)，從而可求得，得出結(jié)論．17.若滿足，則的最大值

.參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)．（a為常數(shù)，a＞0） （Ⅰ）若是函數(shù)f（x）的一個極值點，求a的值； （Ⅱ）求證：當0＜a≤2時，f（x）在上是增函數(shù)； （Ⅲ）若對任意的a∈（1，2），總存在，使不等式f（x0）＞m（1﹣a2）成立，求實數(shù)m的取值范圍． 參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用． 【專題】計算題；壓軸題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想． 【分析】（Ⅰ）先求出其導(dǎo)函數(shù)：，利用是函數(shù)f（x）的一個極值點對應(yīng)的結(jié)論f'（）=0即可求a的值； （Ⅱ）利用：，在0＜a≤2時，分析出因式中的每一項都大于等于0即可證明結(jié)論； （Ⅲ）先由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值為，把問題轉(zhuǎn)化為對任意的a∈（1，2），不等式恒成立；然后再利用導(dǎo)函數(shù)研究不等式左邊的最小值看是否符合要求即可求實數(shù)m的取值范圍． 【解答】解：由題得：． （Ⅰ）由已知，得且，∴a2﹣a﹣2=0，∵a＞0，∴a=2．（2分） （Ⅱ）當0＜a≤2時，∵，∴， ∴當時，．又， ∴f'（x）≥0，故f（x）在上是增函數(shù)．（5分） （Ⅲ）a∈（1，2）時，由（Ⅱ）知，f（x）在上的最大值為， 于是問題等價于：對任意的a∈（1，2），不等式恒成立． 記，（1＜a＜2） 則， 當m=0時，，∴g（a）在區(qū)間（1，2）上遞減，此時，g（a）＜g（1）=0， 由于a2﹣1＞0，∴m≤0時不可能使g（a）＞0恒成立， 故必有m＞0，∴． 若，可知g（a）在區(qū)間上遞減，在此區(qū)間上，有g(shù)（a）＜g（1）=0，與g（a）＞0恒成立矛盾，故， 這時，g'（a）＞0，g（a）在（1，2）上遞增，恒有g(shù)（a）＞g（1）=0，滿足題設(shè)要求， ∴，即， 所以，實數(shù)m的取值范圍為．（14分） 【點評】本題第一問主要考查利用極值求對應(yīng)變量的值．可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是導(dǎo)數(shù)為0的點，但導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點． 19.假設(shè)某班級教室共有4扇窗戶，在每天上午第三節(jié)課上課預(yù)備鈴聲響起時，每扇窗戶或被敞開或被關(guān)閉，且概率均為0.5，記此時教室里敞開的窗戶個數(shù)為X．

(1)求X的分布列；

(2)若此時教室里有兩扇或兩扇以上的窗戶被關(guān)閉，班長就會將關(guān)閉的窗戶全部敞開，否則維持原狀不變．記每天上午第三節(jié)課上課時該教室里敞開的窗戶個數(shù)為y，求y的數(shù)學期望．參考答案：（1）∵的所有可能取值為0，1，2，3，4，，

∴，，，，，

的分布列為01234

（2）的所有可能取值為3，4，則，，的期望值.略20.已知圓的方程為,點是坐標原點.直線與圓交于兩點.(Ⅰ)求的取值范圍;(Ⅱ)設(shè)是線段上的點,且.請將表示為的函數(shù).參考答案：(Ⅰ)將代入得則,(*)由得.所以的取值范圍是...........................4分(Ⅱ)因為M、N在直線l上,可設(shè)點M、N的坐標分別為,,則,,又,由得,,所以由(*)知,,所以,因為點Q在直線l上,所以,代入可得,由及得,即.依題意,點Q在圓C內(nèi),則,所以,于是,n與m的函數(shù)關(guān)系為()...........................8分21.在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)）．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=2sin（θ+）．（Ⅰ）求曲線C的平面直角坐標方程；（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C交于點M，N，若點P的坐標為（1，0），求點P與MN中點的距離．參考答案：考點：參數(shù)方程化成普通方程．專題：坐標系和參數(shù)方程．分析：（Ⅰ）由曲線C的極坐標方程為ρ=2sin（θ+），展開得（ρsinθ+ρcosθ），利用即可得出；（II）把直線l的標準參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程可得﹣1=0，由t的幾何意義，可得點P與MN中點的距離為．解答： 解：（Ⅰ）由曲線C的極坐標方程為ρ=2sin（θ+），展開得（ρsinθ+ρcosθ），可得直角坐標方程為：x2+y2=2y+2x，配方為（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）把直線l的標準參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程，得=2，即﹣1=0，由于△=6＞0，可設(shè)t1，t2是上述方程的兩實根，則．∵直線l過點P（1，0），∴由t的幾何意義，可得點P與MN中點的距離為．點評：本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、中點坐標公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．22.設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）是拋物線y2=2px（p＞0）上相異兩點，Q、P到y(tǒng)軸的距離的積為4且．（1）求該拋物線的標準方程．（2）過Q的直線與拋物線的另一交點為R，與x軸交點為T，且Q為線段RT的中點，試求弦PR長度的最小值．參考答案：【考點】KG：直線與圓錐曲線的關(guān)系；K7：拋物線的標準方程．【分析】（1）由?=0，結(jié)合點P，Q在拋物線上，代入坐標后得到y(tǒng)1y2=﹣4p2，把縱坐標轉(zhuǎn)化為橫坐標后利用|x1x2|=4可求得p的值，則拋物線方程可求；（2）連接PQ，PR分別叫x軸與點E，M，設(shè)出E和M的坐標，同時設(shè)出PQ，PR所在的直線方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出P，Q，R三點縱坐標的關(guān)系，再根據(jù)Q是T和R的中點找到E和M的坐標的關(guān)系，最終求出P和R縱坐標的乘積，用含有縱坐標的弦長公式寫出弦PR長度，代入縱坐標的乘積后利用單調(diào)性求最小值．【解答】解：（1）∵?=0，則x1x2+y1y2=0，又P、Q在拋物線上，故y12=2px1，y22=2px2，故得+y1y2=0，∴y1y2=﹣4p2，∴，又|x1x2|=4，故得4p2=4，p=1．所以拋物線的方程為y2=2x；（2）如圖，設(shè)直線PQ過點E（a，0）且方程為x=my+a聯(lián)立方程組，消去x得y2﹣2my﹣2a=0∴①設(shè)直線PR與x軸交于點M（b，0），則可設(shè)直線PR方程為x=ny+b，并設(shè)R（x3，y3），聯(lián)立方程組，