流體力學(xué)第6章流體運(yùn)動(dòng)微分方程

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流體流動(dòng)微分方程

基本內(nèi)容：掌握連續(xù)性方程及其推導(dǎo)※熟悉Navier-Stokes方程了解Euler方程

1控制體分析

最大優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)定常流動(dòng)，當(dāng)已知控制面上流動(dòng)的有關(guān)信息后，就能求出總力的分量和平均速度，而不必深究控制體內(nèi)各處流動(dòng)的詳細(xì)情況，給一些工程問(wèn)題的求解帶來(lái)方便。

缺點(diǎn)不能得到控制體內(nèi)各處流動(dòng)的細(xì)節(jié)，而這對(duì)深入研究流體運(yùn)動(dòng)是非常重要的。

這一章中我們將推導(dǎo)微分形式的守恒方程。2

流體流動(dòng)微分方程包括:連續(xù)性方程運(yùn)動(dòng)方程

連續(xù)性方程是流體質(zhì)量守恒的數(shù)學(xué)描述。

運(yùn)動(dòng)方程是流體動(dòng)量守恒的數(shù)學(xué)描述。二者都是基于流場(chǎng)中的點(diǎn)建立的微分方程。36.1連續(xù)性方程zyxρvzρvyρvx

連續(xù)性方程反映流動(dòng)過(guò)程遵循質(zhì)量守恒?，F(xiàn)取微元體如圖。4輸出微元體的質(zhì)量流量為：輸入微元體的質(zhì)量流量：zyxρvzρvyρvx5則輸出與輸入之差為：微元體內(nèi)質(zhì)量變化率為：6根據(jù)質(zhì)量守恒原理有：或該式即為直角坐標(biāo)系下的連續(xù)性方程。由于未作任何假設(shè)，該方程適用于層流和湍流、牛頓和非牛頓流體。7對(duì)不可壓縮流體，ρ=常數(shù)，有?ρ/?t=0，則連續(xù)性方程為不可壓縮流體的連續(xù)性方程不僅形式簡(jiǎn)單，而且應(yīng)用廣泛，很多可壓縮流體的流動(dòng)也可按常密度流動(dòng)處理。8在直角坐標(biāo)系中可表示為對(duì)平面流動(dòng)(柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)下的連續(xù)性方程自學(xué)。)9例題：不可壓縮流體的二維平面流動(dòng)，y方向的速度分量為試求x方向的速度分量，假定x=0時(shí)，vx=0。10解：不可壓縮流體的平面運(yùn)動(dòng)滿(mǎn)足連續(xù)性方程由已知條件得積分得vy=y2-y-x11根據(jù)邊界條件x=0時(shí)vx=0代入上式得故有所以12例題：不可壓縮流體的速度分布為

u=Ax+By,v=Cx+Dy,w=0若此流場(chǎng)滿(mǎn)足連續(xù)性方程和無(wú)旋條件，試求A，B，C，D所滿(mǎn)足的條件。不計(jì)重力影響。13解：由連續(xù)方程可知?jiǎng)t有又由于流動(dòng)無(wú)旋，則有則有u=Ax+By,v=Cx+Dy,w=014練習(xí)：有一個(gè)三維不可壓流場(chǎng)，已知其x向和y向的分速度為求其z向的分速度的表達(dá)式。當(dāng)x=0，z=0時(shí)，vz=2y。156.2不可壓縮粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程在運(yùn)動(dòng)著的不可壓縮粘性流體中取微元平行六面體流體微團(tuán)，作用在流體微元上的各法向應(yīng)力和切向應(yīng)力如圖所示。16zyxσxxxyxzσyyyxyzzyσzzzxfxfzfy?xyxy+?xdx?xzxz+?xdx?σxxσxx+?xdx?zyzy+?zdz?zxzx+?zdz?σzzσzz+?zdzdzdydx?yxyx+?ydy?yzyz+?ydy?σyyσyy+?ydy17

對(duì)流體微團(tuán)應(yīng)用牛頓第二定律，則沿x軸方向的運(yùn)動(dòng)微分方程為18化簡(jiǎn)后得同理得——以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程19將切應(yīng)力和法向應(yīng)力的關(guān)系式代入上式的第一式并整理得：20同理得——不可壓縮粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程，也叫Navier-Stokes方程，簡(jiǎn)稱(chēng)N-S方程。21

法國(guó)工程師和物理學(xué)家。特別對(duì)力學(xué)理論有很大貢獻(xiàn)。流體力學(xué)中的納維爾.斯托克斯（Navier-Stokes）方程就用他和斯托克斯的名字命名的。他首次建立了可以于工程實(shí)際的彈性理論的數(shù)學(xué)表達(dá)式。1826年，他提出彈性模量概念。納維爾通常被認(rèn)為是現(xiàn)代結(jié)構(gòu)分析的奠基人。納維爾的最大貢獻(xiàn)當(dāng)然還是N-S方程，流體力學(xué)的基本方程?？藙诘?路易.納維爾ClaudeLouisNavier1785~183622喬治.斯托克斯GeorgeGabrielstokes1819~1903英國(guó)力學(xué)家、數(shù)學(xué)家。1845年斯托克斯在《論運(yùn)動(dòng)中流體的內(nèi)摩擦理論和彈性體平衡和運(yùn)動(dòng)的理論》中給出粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本方程組，后稱(chēng)納維-斯托克斯方程，流體力學(xué)中最基本的方程組。

斯托克斯在數(shù)學(xué)方面以場(chǎng)論中關(guān)于線積分和面積分之間的一個(gè)轉(zhuǎn)換公式（斯托克斯公式）而聞名。

納維從分子假設(shè)出發(fā)，將歐拉流體運(yùn)動(dòng)方程推廣，1821年獲得粘性流體運(yùn)動(dòng)方程。1845年斯托克斯從連續(xù)系統(tǒng)的力學(xué)模型和牛頓關(guān)于粘性流體的規(guī)律出發(fā)，給出粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本方程組，后稱(chēng)納維-斯托克斯方程。

23N-S方程理想流體γ=0理想流體歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程定常流動(dòng)歐拉平衡微分方程24萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler）

1707～1783

瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家。他被稱(chēng)為歷史上最偉大的兩位數(shù)學(xué)家之一（另一位是卡爾·弗里德里克·高斯）。歐拉是第一個(gè)使用“函數(shù)”一詞來(lái)描述包含各種參數(shù)的表達(dá)式的人，例如：y=F(x)(函數(shù)的定義由萊布尼茲在1694年給出)。他是把微積分應(yīng)用于物理學(xué)的先驅(qū)者之一。歐拉在微積分、微分方程、幾何、數(shù)論、變分學(xué)等領(lǐng)域均做出了巨大貢獻(xiàn)。

25①②③④⑤各項(xiàng)意義為：①非定常項(xiàng)；②對(duì)流項(xiàng)；③單位質(zhì)量流體的體積力；④單位質(zhì)量流體的壓力差；⑤擴(kuò)散項(xiàng)或粘性力項(xiàng)N-S方程的矢量形式為26

由于引入了廣義牛頓剪切定律，故N-S方程只適用于牛頓流體，處理非牛頓流體問(wèn)題時(shí)可用以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程。

Navier-Stokes方程是不可壓流體理論中最根本的非線性偏微分方程組，是描述不可壓縮粘性流體運(yùn)動(dòng)最完整的方程，是現(xiàn)代流體力學(xué)的主干方程

。276.3基本微分方程組的定解條件

N-S方程有四個(gè)未知數(shù)，vx、vy、vz和p，將N-S方程和不可壓縮流體的連續(xù)性方程聯(lián)立，理論上可通過(guò)積分求解，得到四個(gè)未知量。一般而言，通過(guò)積分得到的是微分方程的通解，再結(jié)合基本微分方程組的定解條件，即初始條件和邊界條件，確定積分常數(shù)，才能得到具體流動(dòng)問(wèn)題的特解。281.初始條件對(duì)非定常流動(dòng)，要求給定變量初始時(shí)刻t=t0的空間分布顯然，對(duì)于定常流動(dòng)，不需要初始條件。292.邊界條件

所謂邊界條件，是包圍流場(chǎng)每一條邊界上的流場(chǎng)數(shù)值。不同種類(lèi)的流動(dòng)，邊界條件也不相同。流體流動(dòng)分析中最常遇到的三類(lèi)邊界條件如下：（1）固體壁面粘性流體與一不滲透的，無(wú)滑移的固體壁面相接觸，在貼壁處，流體速度若流體與物面處于熱平衡態(tài)，則在物面上必須保持溫度連續(xù)30（2）進(jìn)口與出口流動(dòng)的進(jìn)口與出口截面上的速度與壓強(qiáng)的分布通常也是需要知道的，如管流。（3）液體-氣體交界面液體-氣體交界面的邊界條件主要有兩個(gè)：

運(yùn)動(dòng)學(xué)條件，即通過(guò)交界面的法向速度應(yīng)相等。

壓強(qiáng)平衡條件，即液體的壓強(qiáng)必須與大氣壓和表面張力相平衡。31

根據(jù)這些初始條件和邊界條件，我們可對(duì)基本微分方程組積分，并確定積分常數(shù)，得到符合實(shí)際流動(dòng)的求解結(jié)果。但實(shí)際上，只有極少數(shù)的問(wèn)題可求出理論解，通常采用數(shù)值解法。32例題：不可壓縮粘性流體在距離為b的兩個(gè)大水平板間作定常層流流動(dòng)，假定流體沿流動(dòng)方向的壓強(qiáng)降已知，求:（1）兩板固定不動(dòng);（2）下板固定上板以等速U沿流動(dòng)方向運(yùn)動(dòng)；兩板間流體運(yùn)動(dòng)的速度分布。流向yxb33解：由于流體水平運(yùn)動(dòng)，則有由于流動(dòng)是一維的，有vy=vz=0；由于流動(dòng)是定常的，有3435所以N-S方程可簡(jiǎn)化為由連續(xù)方程可得36將式(3)代入式(1