概率論第二章

第二章隨機(jī)變量及其分布

一、隨機(jī)變量

二、離散型隨機(jī)變量及其分布

三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布

五、隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第一節(jié)為了全面研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，數(shù)學(xué)處理上的方便，

第二章要將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化。隨機(jī)變量

對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)而言，它的結(jié)果未必是數(shù)量化的。例1、擲一枚硬幣，X=X(e)=1,e=H0,e=T例3.測(cè)量某燈泡的壽命,令例2、在n張已編號(hào)的考簽中任抽一張，觀察號(hào)碼，X=“抽到考簽的號(hào)碼”定義：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間為則稱(chēng)實(shí)值單值函數(shù)

X=X(e)為隨機(jī)變量。由于X的取值根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果而定，而試驗(yàn)各結(jié)果出現(xiàn)有一定的概率，所以X取各值也有一定的概率。隨機(jī)變量定義在樣本空間上,定義域可以是數(shù)也可以不是數(shù)；而普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)域上的。2.

隨機(jī)變量函數(shù)的取值在試驗(yàn)之前無(wú)法確定,有一定的概率；而普通函數(shù)卻沒(méi)有。

隨機(jī)變量的分類(lèi)：隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量其它

隨機(jī)變量函數(shù)和普通函數(shù)的區(qū)別：1.定義域不同離散型隨機(jī)變量及其分布

第二章一、離散型隨機(jī)變量的定義二、常用的離散型隨機(jī)變量第二、三節(jié)定義1.若隨機(jī)變量X的全部可能取值是有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè),則稱(chēng)X是離散型隨機(jī)變量。定義2.設(shè)離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為,其中事件的概率：一、離散型隨機(jī)變量的定義eg:拋骰子，X={1,2,3,4,5,6};火車(chē)站候車(chē)人數(shù)，X={0,1,2,…}稱(chēng)為X的概率分布或分布律。分布律也可用如下表格的形式表示：性質(zhì)：例1、袋中有2個(gè)白球和3個(gè)黑球,每次從中任取1個(gè),直到取到白球?yàn)橹梗琗—取球次數(shù)，求(1)無(wú)放回，(2)有放回情況下X的分布律。解:(1)1234解:(2)123n……注：對(duì)于有放回選取是一個(gè)獨(dú)立性的現(xiàn)象。例2.設(shè)一汽車(chē)在開(kāi)往目的地的道路上需經(jīng)過(guò)三盞信號(hào)燈，每盞信號(hào)燈以概率允許汽車(chē)通過(guò),變量表示汽車(chē)停車(chē)次數(shù)(設(shè)各信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的）,求的分布律。解由題意可知的分布律為，則Ⅰ.(0—1)分布定義1.如果隨機(jī)變量的分布律為則稱(chēng)服從參數(shù)為的(0—1)分布。二、常用的離散型隨機(jī)變量及其分布（重點(diǎn)）（0—1）分布的分布律也可寫(xiě)成注：如果隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果，總能定義一個(gè)服從(0—1)分布的隨機(jī)變量。

1.伯努利概型①n重獨(dú)立試驗(yàn)在相同的條件下對(duì)試驗(yàn)E重復(fù)做n次，若n次試驗(yàn)中各結(jié)果是相互獨(dú)立的，則稱(chēng)這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。②伯努利概型設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E只有兩種可能結(jié)果，設(shè),將試驗(yàn)E獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次，則稱(chēng)這n次試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)，或稱(chēng)n重伯努利概型。Ⅱ.二項(xiàng)分布n重伯努利試驗(yàn)中,X—事件A發(fā)生的次數(shù)則注：定義2.如果隨機(jī)變量的分布律為則稱(chēng)服從參數(shù)為其中記為2、二項(xiàng)分布的二項(xiàng)分布,特別,當(dāng)時(shí),二項(xiàng)分布為這就是（0—1）分布，常記為某班有30名同學(xué)參加外語(yǔ)考試，每人及格的概率解：X012……30例1、例2、設(shè)100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件次品，先從中隨機(jī)抽取10件，每次取一件，X—10件產(chǎn)品中的次品數(shù)，(1)有放回的抽取，求X的分布律；(2)無(wú)放回的抽取，求X的分布律；(3)有放回的情況，求10件產(chǎn)品中至少有2件次品的概率。解：(1)A—一次中取得次品，P(A)=0.05,k=0,1,2,3,4,5“無(wú)放回”，各次試驗(yàn)條件不同，不是伯努利概型。(3)注：明確告知有放回抽樣時(shí)，是n重貝努利試驗(yàn)；若沒(méi)有告知，當(dāng)總數(shù)很大，且抽查元件的數(shù)量相對(duì)于總數(shù)很小，可以當(dāng)作放回抽樣。3.二項(xiàng)分布的分布形態(tài)若，則由此可知，二項(xiàng)分布的分布律(右圖)先是隨著到其最大值后再隨著的增大而減小.這個(gè)使得達(dá)到其最大值的稱(chēng)為該二項(xiàng)分布的最可能次數(shù)。的增大而增大，達(dá)可以證明：例3.某人購(gòu)買(mǎi)彩票,設(shè)每次買(mǎi)一張,

中獎(jiǎng)的概率為0.01，共買(mǎi)800次，求他至少中獎(jiǎng)兩次的概率。解:

把每次購(gòu)買(mǎi)彩票看成一次隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)中獎(jiǎng)的次數(shù)為

，則即定理1（泊松Poisson定理)

設(shè)是一常數(shù)，n是正整數(shù)，若，則對(duì)任一固定的非負(fù)整數(shù)注

(1)不可忽略小概率事件。很小，若中獎(jiǎng)不到2次故懷疑“中獎(jiǎng)率0.01”是否為真，即中獎(jiǎng)率不到0.01。(2)此例中例4、設(shè)有80臺(tái)同類(lèi)型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理?？紤]兩種配備維修工人的辦法：1、有四人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)；2、三人共同維護(hù)80臺(tái)。比較這兩種方法哪種較好。解：1、

設(shè)表示“第一個(gè)人維護(hù)的20臺(tái)中同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)”所以，4個(gè)人維護(hù)80臺(tái)，發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率：=0.0169.表示“第i個(gè)人維護(hù)的20臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修”，2、設(shè)Y—80臺(tái)同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，則Y~b(80，0.01)=0.0087所以,1、2兩種方案，選取第二種。Ⅲ.泊松分布定義：若隨機(jī)變量X的分布律稱(chēng)服從參數(shù)為的泊松分布,記為其中是常數(shù),注：①②泊松分布的圖形特點(diǎn)：當(dāng)n

很大，p很小時(shí)，泊松定理表明：泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，參數(shù)=np

的泊松分布二項(xiàng)分布就可近似看成是例1

一交通路口一段時(shí)間內(nèi)汽車(chē)發(fā)生交通事故的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，求至少發(fā)生兩次事故的概率。解

隨機(jī)變量則解由已知得：所以分布律為例2

隨機(jī)變量,已知求λ的值，并寫(xiě)出的分布律。

近數(shù)十年來(lái)，泊松分布日益顯示其重要性,成為概率論中最重要的幾個(gè)分布之一。泊松分布在管理科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及自然科學(xué)的某些問(wèn)題中都占有重要的地位。泊松分布的應(yīng)用①排隊(duì)問(wèn)題：在一段時(shí)間內(nèi)窗口等待服務(wù)的顧客數(shù)②生物存活的個(gè)數(shù)③放射的粒子數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)教師：金花分布律常用表格形式表示：性質(zhì)：回顧：離散型隨機(jī)變量思考：若X不是離散的，怎么討論分布？目的：找一個(gè)適用于離散又不限于離散的描述分布的工具隨機(jī)變量的分布函數(shù)一、分布函數(shù)的概念二、分布函數(shù)的性質(zhì)三、離散型分布函數(shù)的求法為X的分布函數(shù)。設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，定義1的函數(shù)值的含義：內(nèi)的概率.分布函數(shù)一、分布函數(shù)的概念是任意實(shí)數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)表示X落在∴可以使用分布函數(shù)值描述隨機(jī)變量落在區(qū)間里的概率。(1)(2)同理，還可以寫(xiě)出二、分布函數(shù)的性質(zhì)(2)

單調(diào)不減：(3)右連續(xù)性：(1)，且，則上述三條性質(zhì)，也可以理解為判別函數(shù)是否是分布函數(shù)的充要條件。注：解:例1.

已知隨機(jī)變量X的分布律為求分布函數(shù)當(dāng)時(shí),

當(dāng)

時(shí),

當(dāng)時(shí),

所以，一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為由概率的可列可加性得的分布函數(shù)為12離散型的分布函數(shù)為階梯函數(shù)；xk為間斷點(diǎn)；例2

已知離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求X的分布律。解

X的可能取值為3，4，5。所以X的分布律為解例3

已知分布函數(shù)，求

A、B。所以例4、

向[0,1]區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點(diǎn)，以X表示質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo).又解：長(zhǎng)度成正比，求

X的分布函數(shù).假定質(zhì)點(diǎn)落在[0,1]區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間當(dāng)時(shí),當(dāng)

時(shí),當(dāng)時(shí),例：人們對(duì)產(chǎn)品的了解是，壽命不超過(guò)500小時(shí)的概率為0.71，壽命在500到800小時(shí)之間的概率是0.22，在800到1000小時(shí)之間的概率為0.07.可畫(huà)圖示意，用矩形的面積表示相應(yīng)的概率。o0.710.220.075008001000O2004006008001000為了更精確，無(wú)限細(xì)分下去，…，得到一條曲線f(x)x圖中“曲邊梯形”（陰影區(qū)域）的面積即為X

落在區(qū)間[a,b]上的概率.f(x)完全描述了X

的規(guī)律.可求X

落于任何區(qū)間的概率.如謝謝大家！分布律常用表格形式表示：性質(zhì)：回顧：離散型隨機(jī)變量思考：若X不是離散的，怎么討論分布？目的：找一個(gè)適用于離散又不限于離散的描述分布的工具隨機(jī)變量的分布函數(shù)

第二章一、分布函數(shù)的概念二、分布函數(shù)的性質(zhì)第四節(jié)三、離散型分布函數(shù)的求法為X的分布函數(shù)。設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，定義1的函數(shù)值的含義：上的概率.分布函數(shù)一、分布函數(shù)的概念是任意實(shí)數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)表示X落在∴可以使用分布函數(shù)值描述隨機(jī)變量落在區(qū)間里的概率。(1)(2)同理，還可以寫(xiě)出二、分布函數(shù)的性質(zhì)⑴

單調(diào)不減性：⑶右連續(xù)性：⑵，且，則上述三條性質(zhì)，也可以理解為判別函數(shù)是否是分布函數(shù)的充要條件。解:例1.

已知隨機(jī)變量X的分布律為求分布函數(shù)當(dāng)時(shí),

當(dāng)

時(shí),

當(dāng)時(shí),

所以，12離散型的分布函數(shù)為階梯函數(shù)；xk為間斷點(diǎn)；一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為由概率的可列可加性得的分布函數(shù)為例2

已知離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求X的分布律。解

X的可能取值為3，4，5。所以X的分布律為解例3

已知，求A、B。所以例4、

向[0,1]區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點(diǎn)，以X表示質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo).特別,當(dāng)解：長(zhǎng)度成正比，求

X的分布函數(shù).假定質(zhì)點(diǎn)落在[0,1]區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間當(dāng)時(shí),當(dāng)

時(shí),當(dāng)時(shí),例5：人們對(duì)產(chǎn)品的了解是，壽命不超過(guò)500小時(shí)的概率為0.71，壽命在500到800小時(shí)之間的概率是0.22，在800到1000小時(shí)之間的概率為0.07.可畫(huà)圖示意，用矩形的面積表示相應(yīng)的概率。o0.710.220.075008001000O2004006008001000為了更精確，無(wú)限細(xì)分下去，…，得到一條曲線f(x)x圖中“曲邊梯形”（陰影區(qū)域）的面積即為X

落在區(qū)間[a,b]上的概率.f(x)完全描述了X

的規(guī)律.可求X

落于任何區(qū)間的概率.如連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布

第二章一、連續(xù)型隨機(jī)變量的定義二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量第五、六節(jié)一、連續(xù)型隨機(jī)變量的定義定義1.

設(shè)F(x)是隨機(jī)變量

X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)，使對(duì)任意實(shí)數(shù)則稱(chēng)

X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱(chēng)為

X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度或密度函數(shù)。函數(shù)1.概率密度f(wàn)(x)的意義：隨機(jī)變量X在點(diǎn)x處分布的密集程度。注：連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)連續(xù)。概率密度的性質(zhì)⑴

非負(fù)性⑵

由于(3)

f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)，則3、連續(xù)性隨機(jī)變量的特點(diǎn)(1)(2)f(x)x設(shè)r.v

X

的密度函數(shù)為f(x)求F(x).解：例1.合并即可例2、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為求A的值，解：例3、求常數(shù)a,b,及概率密度函數(shù)f(x)。例4、，求A,B及f(x)。解：例3、，求A,B及f(x)。解：

二、常用的連續(xù)型隨機(jī)變量定義、若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為：則稱(chēng)X服從[a,b]上的均勻分布，X

～U[a,b]1、均勻分布記作：分布函數(shù)為:因?yàn)橛纱丝傻?，如果隨機(jī)變量X服從區(qū)間上的均勻分布，則隨機(jī)變量X在區(qū)間上的任一子區(qū)間上取值的概率與該子區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與該子區(qū)間的位置無(wú)關(guān)。均勻分布的概率背景

某公共汽車(chē)站從上午7時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車(chē)，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時(shí)刻，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間X

是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,試求他候車(chē)時(shí)間少于5分鐘的概率.解：依題意，例1.X

～U(0,30)即為使候車(chē)時(shí)間少于5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達(dá)車(chē)站例2、

設(shè)隨機(jī)變量X服從[1，6]上的均勻分布，求一元二次方程有實(shí)根的概率。解因?yàn)楫?dāng)時(shí)，方程有實(shí)根，故所求概率為從而2、指數(shù)分布定義：若隨機(jī)變量X的概率密度為：指數(shù)分布。為常數(shù)，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為其中的指數(shù)分布的分布函數(shù)為例3

假設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間(單位:分鐘)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。若等待時(shí)間超過(guò)10分鐘，則他離開(kāi)。假設(shè)他一個(gè)月內(nèi)要來(lái)銀行5次，以Y表示一個(gè)月內(nèi)他沒(méi)有等到服務(wù)而離開(kāi)窗口的次數(shù)，求Y的分布律及至少有一次沒(méi)有等到服務(wù)的概率解Y是離散型，，其中現(xiàn)在X的概率密度為解(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用2.電子元件的壽命X(年）服從λ＝3的指數(shù)分布例4(1)求該電子元件壽命超過(guò)2年的概率。年的概率為多少？由已知得X的概率密度為指數(shù)分布具有無(wú)記憶性，即3、正態(tài)分布定義1：若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為則稱(chēng)X服從參數(shù)為的正態(tài)分布或高斯分布，f(x)的圖形：高斯應(yīng)用最廣的分布十八世紀(jì)由高斯推廣高爾頓釘板試驗(yàn)這條曲線就近似我們將要介紹的正態(tài)分布的密度曲線.特點(diǎn)：(48頁(yè)）(1)

f(x)關(guān)于(2)

f(x)在(3)定義2、稱(chēng)X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，性質(zhì)：思考：怎樣證明定理：

若，則證明：求的分布函數(shù)例1、解：=0.8413.=0.0668.若結(jié)論：例2.某電子元件的壽命服從求:1)電子元件壽命在250個(gè)小時(shí)以上的概率2)求k,使元件壽命在之間的概率為0.9解:設(shè)X=“電子元件的壽命”2)由題意,查表，例3.解:求:及查表得

公共汽車(chē)車(chē)門(mén)的高度是按男子與車(chē)門(mén)頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X～N(170,62),問(wèn)車(chē)門(mén)高度應(yīng)如何確定?

解

設(shè)車(chē)門(mén)高度為hcm,按設(shè)計(jì)要求即0.99故查表得例4、因?yàn)榉植己瘮?shù)非減例5.在電壓不超過(guò)200伏,在200-240伏和超過(guò)240伏三種情況下,某種元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2.假設(shè)電壓求:1)該元件損壞的概率2)該元件損壞時(shí),電壓在200-240伏的概率解:設(shè)分別表示電壓不超過(guò)200伏,在200-240伏,超過(guò)240伏＝“元件損壞”由題意由全概公式由題意由全概公式2)由貝葉斯公式例5.0此時(shí)由圖可知所以查表可得故則稱(chēng)點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α分位點(diǎn)。定義

設(shè)，若滿(mǎn)足條件4、上α分位點(diǎn)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

第二章第七節(jié)回顧：隨機(jī)變量的分布(1)離散型的分布律(2)由分布函數(shù)進(jìn)而給出了連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)隨機(jī)變量的函數(shù)設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，Y是X的函數(shù)，Y=g(X),則Y也是一個(gè)隨機(jī)變量,本節(jié)的任務(wù)：已知X的分布，求隨機(jī)變量Y的分布(分布律或分布密度)一、離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布如例1.

已知X的分布律為求Y=2X－1，Z=X2＋1的分布律。解⑴Y的分布律為一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布…⑵故Z的分布律為Z=X2＋1總結(jié)⒈設(shè)互不相等時(shí)，則由可得⒉當(dāng)，則把那些相等的值合并，并根據(jù)概率的可加性把對(duì)應(yīng)的概率相加得到Y(jié)的分布律。Ⅰ.分布函數(shù)法（一般的函數(shù)都適用）⑴先求的分布函數(shù)⑵

再利用分布函數(shù)與概率密度之間的關(guān)系求的概率密度為二、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布區(qū)域找對(duì)至關(guān)重要解⑴先求Y=2X+8

的分布函數(shù)設(shè)隨機(jī)變量X

具有概率密度：例2試求Y=2X+8

的概率密度

得Y=2X+8

的概率密度為分布函數(shù)法求解中結(jié)合作圖法會(huì)更簡(jiǎn)單清晰如何討論y的取值。

例3：解:

由題意可知的取值范圍為設(shè)隨機(jī)變量X

具有概率密度求

Y=X2

的概率密度.解：(1)分布函數(shù)例4(2)關(guān)于y復(fù)合求導(dǎo)，Ⅱ.公式法（只適用于單調(diào)函數(shù)）定理設(shè)⑴隨機(jī)變量X具有概率密度處處可導(dǎo),且是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)則Y=g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為其中h(y)是g(x)的反函數(shù)，α與β具體題中再定。注：