第五章 頻域分析法

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頻率特性是控制系統(tǒng)在頻域中的一種數(shù)學模型，是研究自動控制系統(tǒng)的一種工程方法。

系統(tǒng)頻率特性能間接地揭示系統(tǒng)的動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性，可簡單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響，指出系統(tǒng)改進方向。

頻率特性可以由實驗確定，這對于難以建立動態(tài)模型的系統(tǒng)來說，很有用處。第五章控制系統(tǒng)的頻域分析2頻率特性的基本概念頻率特性的對數(shù)坐標圖頻率特性的極坐標圖奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定裕度閉環(huán)系統(tǒng)的性能分析本章主要內(nèi)容

3頻率特性的基本概念

頻率特性又稱頻率響應，它是系統(tǒng)或元件對不同頻率正弦輸入信號的響應特性。圖5.1線性時不變系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應

第一節(jié)頻率特性的基本概念4頻率特性的定義

在正弦輸入下，系統(tǒng)的輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入量的復數(shù)之比。一般用表示。即：5

考察一個系統(tǒng)的好壞，通常用階躍輸入下系統(tǒng)的階躍響應來分析系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。有時也用正弦波輸入時系統(tǒng)的響應來分析，但這種響應并不是單看某一個頻率正弦波輸入時的瞬態(tài)響應，而是考察頻率由低到高無數(shù)個正弦波輸入下所對應的每個輸出的穩(wěn)態(tài)響應。因此，這種響應也叫頻率響應。頻率響應盡管不如階躍響應那樣直觀，但同樣間接地表示了系統(tǒng)的特性。頻率響應法是分析和設計系統(tǒng)的一個既方便又有效的工具。6一、頻率特性的定義：

系統(tǒng)的頻率響應定義為系統(tǒng)在正弦作用下穩(wěn)態(tài)響應的振幅、相位與所加正弦作用的頻率之間的依賴關系。

對于一般的線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入和輸出分別為r(t)和c(t)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)。式中，為極點。若：則：7拉氏反變換為：若系統(tǒng)穩(wěn)定，則極點都在s左半平面。當，即穩(wěn)態(tài)時：式中，分別為：8而式中：Rm

、Cm分別為輸入輸出信號的幅值。上述分析表明，對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，加入一個正弦信號，它的穩(wěn)態(tài)響應是一個與輸入同頻率的正弦信號，穩(wěn)態(tài)響應與輸入不同之處僅在于幅值和相位。其幅值放大了倍，相位移動了。

和都是頻率的函數(shù)。9定義穩(wěn)態(tài)響應與正弦輸入信號的相位差為系統(tǒng)的相頻特性，它描述系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應對不同頻率輸入信號的相位移特性；定義穩(wěn)態(tài)響應的幅值與輸入信號的幅值之比為系統(tǒng)的幅頻特性，它描述系統(tǒng)對不同頻率輸入信號在穩(wěn)態(tài)時的放大特性；

幅頻特性和相頻特性可在復平面上構成一個完整的向量 ，它也是的函數(shù)。稱為頻率特性。這里和分別稱為系統(tǒng)的實頻特性和虛頻特性。

還可將寫成復數(shù)形式，即10由于這種簡單關系的存在，頻率響應法和利用傳遞函數(shù)的時域法在數(shù)學上是等價的。

頻率特性與傳遞函數(shù)的關系為：

幅頻特性、相頻特性和實頻特性、虛頻特性之間具有下列關系：11[結(jié)論]：當傳遞函數(shù)中的復變量s用代替時，傳遞函數(shù)就轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性。反之亦然。

到目前為止，我們已學習過的線性系統(tǒng)的數(shù)學模型有以下幾種：微分方程、傳遞函數(shù)和頻率特性。它們之間的關系如下：12[例子]：設傳遞函數(shù)為：微分方程為：頻率特性為：13

頻率響應法的優(yōu)點之一在于它可以通過實驗量測來獲得，而不必推導系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。事實上，當傳遞函數(shù)的解析式難以用推導方法求得時，常用的方法是利用對該系統(tǒng)頻率特性測試曲線的擬合來得出傳遞函數(shù)模型。此外，在驗證推導出的傳遞函數(shù)的正確性時，也往往用它所對應的頻率特性同測試結(jié)果相比較來判斷。頻率響應法的優(yōu)點之二在于它可以用圖來表示，這在控制系統(tǒng)的分析和設計中有非常重要的作用。14

頻率特性的推導是在線性定常系統(tǒng)是穩(wěn)定的假設條件下得出的。如果不穩(wěn)定，則動態(tài)過程c(t)最終不可能趨于穩(wěn)態(tài)響應cs(t)，當然也就無法由實際系統(tǒng)直接觀察到這種穩(wěn)態(tài)響應。但從理論上動態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)分量總是可以分離出來的，而且其規(guī)律性并不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此可以擴展頻率特性的概念，將頻率特性定義為：在正弦輸入下，線性定常系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復數(shù)比。所以對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，盡管無法用實驗方法量測到其頻率特性，但根據(jù)式由傳遞函數(shù)還是可以得到其頻率特性。15工程上常用圖形來表示頻率特性，常用的有：1．極坐標圖，也稱奈奎斯特(Nyquist)圖。是以開環(huán)頻率特性的實部為直角坐標橫坐標，以其虛部為縱坐標，以為參變量的幅值與相位的圖解表示法。2．對數(shù)坐標圖，也稱伯德(Bode)圖。它是由兩張圖組成，以為橫坐標，對數(shù)分度，分別以和作縱坐標的一種圖示法。3．對數(shù)幅相頻率特性圖，也稱尼柯爾斯(Nichols)圖。它是以相位為橫坐標，以為縱坐標，以為參變量的一種圖示法。二、頻率特性的表示方法：16對數(shù)頻率特性曲線（又稱波德圖）

它由兩條曲線組成：幅頻特性曲線和相頻特性曲線。波德圖坐標（橫坐標是頻率，縱坐標是幅值和相角）的分度：

橫坐標分度：它是以頻率的對數(shù)值進行分度的。所以橫坐標（稱為頻率軸）上每一線性單位表示頻率的十倍變化，稱為十倍頻程（或十倍頻），用Dec表示。如下圖所示：由于以對數(shù)分度，所以零頻率線在處。17

縱坐標分度：幅頻特性曲線的縱坐標是以或表示。其單位分別為貝爾（Bl）和分貝（dB）。直接將或 值標注在縱坐標上。

相頻特性曲線的縱坐標以度或弧度為單位進行線性分度。

一般將幅頻特性和相頻特性畫在一張圖上，使用同一個橫坐標（頻率軸）。

當幅制特性值用分貝值表示時，通常將它稱為增益。幅值和增益的關系為：20151086420增益10.05.623.162.512.001.561.261幅值18使用對數(shù)坐標圖的優(yōu)點：可以展寬頻帶；頻率是以10倍頻表示的，因此可以清楚的表示出低頻、中頻和高頻段的幅頻和相頻特性?？梢詫⒊朔ㄟ\算轉(zhuǎn)化為加法運算。所有的典型環(huán)節(jié)的頻率特性都可以用分段直線（漸進線）近似表示。對實驗所得的頻率特性用對數(shù)坐標表示，并用分段直線近似的方法，可以很容易的寫出它的頻率特性表達式。三、對數(shù)幅相特性曲線（又稱尼柯爾斯圖）

尼柯爾斯圖是將對數(shù)幅頻特性和相頻特性兩條曲線合并成一條曲線。橫坐標為相角特性，單位度或弧度。縱坐標為對數(shù)幅頻特性，單位分貝。橫、縱坐標都是線性分度。19小結(jié)頻率特性的定義頻率特性與傳遞函數(shù)之間的關系各種數(shù)學模型之間的關系20

5.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制

5.2.1典型環(huán)節(jié)的幅相特性曲線（極坐標圖）以角頻率ω為參變量，根據(jù)系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性在復平面上繪制出的頻率特性叫做幅相特性曲線或頻率特性的極坐標圖。它是當角頻率ω從0到無窮變化時，矢量的矢端在平面上描繪出的曲線。曲線是關于實軸對稱的。21實頻特性：；虛頻特性：；ReImK⒈比例環(huán)節(jié)：;幅頻特性：；相頻特性：比例環(huán)節(jié)的極坐標圖為實軸上的K點。22頻率特性：ReIm⒉積分環(huán)節(jié)的頻率特性：積分環(huán)節(jié)的極坐標圖為負虛軸。頻率w從0→∞特性曲線由虛軸的－∞趨向原點。23⒊慣性環(huán)節(jié)的頻率特性：24極坐標圖是一個圓，對稱于實軸。證明如下：整理得：下半個圓對應于正頻率部分，而上半個圓對應于負頻率部分。25實頻、虛頻、幅頻和相頻特性分別為：⒋振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性：討論時的情況。當K=1時，頻率特性為：26當時，，曲線在3，4象限；當 時，與之對稱于實軸。實際曲線還與阻尼系數(shù)有關27由圖可見無論是欠阻尼還是過阻尼系統(tǒng)，其圖形的基本形狀是相同的。當過阻尼時，阻尼系數(shù)越大其圖形越接近圓。28⒌微分環(huán)節(jié)的頻率特性：

微分環(huán)節(jié)有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數(shù)分別為：頻率特性分別為：29①純微分環(huán)節(jié)：ReIm微分環(huán)節(jié)的極坐標圖為正虛軸。頻率w從0→∞特性曲線由原點趨向虛軸的+∞。30②一階微分：ReIm一階微分環(huán)節(jié)的極坐標圖為平行于虛軸直線。頻率w從0→∞特性曲線相當于純微分環(huán)節(jié)的特性曲線向右平移一個單位。31③二階微分環(huán)節(jié)：幅頻和相頻特性為：321極坐標圖是一個圓心在原點，半徑為1的圓。⒍延遲環(huán)節(jié)的頻率特性：傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：331.放大環(huán)節(jié)（比例環(huán)節(jié)）

放大環(huán)節(jié)的頻率特性為對數(shù)幅頻特性為圖5-7放大環(huán)節(jié)的Bode圖相頻特性為如圖所示，是一條與角頻率ω無關且與ω軸重合的直線。5.2.2典型環(huán)節(jié)頻率特性的伯德圖34⒉積分環(huán)節(jié)的頻率特性：頻率特性：可見斜率為－20/dec當有兩個積分環(huán)節(jié)時可見斜率為－40/dec35⒊慣性環(huán)節(jié)的頻率特性：①對數(shù)幅頻特性：，為了圖示簡單，采用分段直線近似表示。方法如下：低頻段：當時，，稱為低頻漸近線。高頻段：當時，，稱為高頻漸近線。這是一條斜率為-20dB/Dec的直線（表示每增加10倍頻程下降20分貝）。

當時，對數(shù)幅頻曲線趨近于低頻漸近線，當時，趨近于高頻漸近線。低頻高頻漸近線的交點為：，得： ，稱為轉(zhuǎn)折頻率或交換頻率?？梢杂眠@兩個漸近線近似的表示慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性。36

②相頻特性：

作圖時先用計算器計算幾個特殊點：由圖不難看出相頻特性曲線在半對數(shù)坐標系中對于(w0,-45°)點是斜對稱的，這是對數(shù)相頻特性的一個特點。當時間常數(shù)T變化時，對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性的形狀都不變，僅僅是根據(jù)轉(zhuǎn)折頻率1/T的大小整條曲線向左或向右平移即可。而當增益改變時，相頻特性不變，幅頻特性上下平移。wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.437漸近特性精確特性圖5-9慣性環(huán)節(jié)的Bode圖38⒋振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性：討論時的情況。當K=1時，頻率特性為：幅頻特性為：相頻特性為：對數(shù)幅頻特性為：低頻段漸近線：高頻段漸近線：兩漸進線的交點稱為轉(zhuǎn)折頻率。斜率為-40dB/Dec。39相頻特性：幾個特征點：由圖可見：對數(shù)相頻特性曲線在半對數(shù)坐標系中對于(w0,-90°)點是斜對稱的。對數(shù)幅頻特性曲線有峰值。40對求導并令等于零，可解得的極值對應的頻率。該頻率稱為諧振峰值頻率?？梢?，當時，。當時，無諧振峰值。當時，有諧振峰值。當，，。因此在轉(zhuǎn)折頻率附近的漸近線依不同阻尼系數(shù)與實際曲線可能有很大的誤差。41左圖是不同阻尼系數(shù)情況下的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性圖。上圖是不同阻尼系數(shù)情況下的對數(shù)幅頻特性實際曲線與漸近線之間的誤差曲線。42⒌微分環(huán)節(jié)的頻率特性：

微分環(huán)節(jié)有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數(shù)分別為：頻率特性分別為：43①純微分：44②一階微分：這是斜率為+20dB/Dec的直線。低、高頻漸進線的交點為相頻特性：幾個特殊點如下相角的變化范圍從0到。低頻段漸進線：高頻段漸進線：對數(shù)幅頻特性（用漸近線近似）：45

圖5-10一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖46幅頻和相頻特性為：③二階微分環(huán)節(jié)：低頻漸進線：高頻漸進線：轉(zhuǎn)折頻率為：，高頻段的斜率+40dB/Dec。相角：可見，相角的變化范圍從0~180度。47

圖5-12二階微分環(huán)節(jié)的Bode圖48⒍延遲環(huán)節(jié)的頻率特性：傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：495.3.1繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極坐標圖的步驟將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)分解成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式；典型環(huán)節(jié)幅頻特性相乘得到系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性，典型環(huán)節(jié)相頻特性相加得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性；如幅頻特性有漸近線，則根據(jù)開環(huán)頻率特性表達式的實部和虛部，求出漸近線；最后在G(jω)H(jω)平面上繪制出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標圖。5.3系統(tǒng)開還頻率特性的繪制50將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成典型環(huán)節(jié)乘積（即串聯(lián)）的形式；如果存在轉(zhuǎn)折頻率，在ω軸上標出轉(zhuǎn)折頻率的坐標位置；由各串聯(lián)環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性疊加后得到系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性的漸近線；修正誤差，畫出比較精確的對數(shù)幅頻特性；畫出各串聯(lián)典型環(huán)節(jié)相頻特性，將它們相加后得到系統(tǒng)開環(huán)相頻特性。

5.3.2繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性伯德圖的步驟51例5－1

繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻與相頻特性曲線。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)52例5－1

繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻與相頻特性曲線。解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

開環(huán)由三個典型環(huán)節(jié)組成，每個環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻與相頻特性均是已知的。將各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻與相頻曲線繪出后，分別相加即得系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻及相頻。53例5－254例5－251234五個基本環(huán)節(jié)55繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性的步驟：1.將開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)闀r間常數(shù)形式，即2.求各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，并標在Bode圖的ω軸上。3.過ω=1,L(ω)=20lgK點作一條斜率為-20×υdB/dec的直線，直到第一個轉(zhuǎn)折頻率，或者過，L(ω)=0點作一條斜率為-20×υdB/dec的直線，直到第一個轉(zhuǎn)折頻率，以上直線作為對數(shù)幅頻特性的低頻段。564.L(ω)的低頻段向高頻段延伸，每經(jīng)過一個轉(zhuǎn)折頻率，按環(huán)節(jié)性質(zhì)改變一次漸近線的斜率。5.在各轉(zhuǎn)折頻率附近利用誤差曲線進行修正，得精確曲線。系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性可以由各環(huán)節(jié)相頻特性疊加的方法繪制。57例5-3

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為58例5-3

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為它由一個放大環(huán)節(jié)和兩個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，其對應的頻率特性是幅頻特性和相頻特性分別為591極坐標圖當時，當時，當時，。當ω由零增至無窮大時，幅值由K衰減至零，相角00變至-1800，且均為負相角。頻率特性與負虛軸的交點頻率為，交點坐標是。其極坐標圖如圖5-13所示。圖5-13開環(huán)系統(tǒng)極坐標圖[G]60

由開環(huán)傳遞函數(shù)知，對數(shù)幅頻特性的漸近線有兩個轉(zhuǎn)折頻率和，且，將它們在ω軸上標出（圖5-14）；

在縱坐標上找到20lgK的點A，過A點作平行于橫軸的直線AB，這條平行線對應放大環(huán)節(jié)的幅頻特性；在轉(zhuǎn)折頻率處作ω軸的垂線（虛線）交平行線AB于B點，以B為起點作斜率為-20dB/dec的斜線BC，C點對應轉(zhuǎn)折頻率，折線ABC對應放大環(huán)節(jié)K和慣性環(huán)節(jié)的疊加；

圖5－14開環(huán)系統(tǒng)Bode圖L2伯德圖61

在s右半平面上既無極點，又無零點的傳遞函數(shù)，稱為最小相位傳遞函數(shù)；否則，為非最小相位傳遞函數(shù)，具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)，稱為最小相位系統(tǒng)。當控制系統(tǒng)中包含有純滯后環(huán)節(jié)或存在不穩(wěn)定的小回環(huán)時，都是非最小相位系統(tǒng)。設有兩個系統(tǒng)(a)和(b)，其傳遞函數(shù)

最小相位和非最小相位系統(tǒng)62零、極點分布如圖5-24所示。兩系統(tǒng)的頻率特性分別為

圖5-24(a)和(b)系統(tǒng)零極點分布圖63對數(shù)頻率特性分別為

（a）和（b）系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性相同，而相頻特性不同，且。如圖5-25所示。

64圖5-25(a)和(b)系統(tǒng)對數(shù)頻率特性65

主要內(nèi)容幅角定理奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)奈氏穩(wěn)定判據(jù)在Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)中的應用在波德圖或尼柯爾斯圖上判別系統(tǒng)穩(wěn)定性

奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)是用開環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不僅能判斷系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且可根據(jù)相對穩(wěn)定的概念，討論閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，指出改善系統(tǒng)性能的途徑。第五節(jié)奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)66一、幅角定理：

設負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：，其中： 為前向通道傳遞函數(shù)，為反饋通道傳遞函數(shù)。閉環(huán)傳遞函數(shù)為：，如下圖所示：令：則開環(huán)傳遞函數(shù)為：……………(a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：……………(b)67

顯然，輔助方程即是閉環(huán)特征方程。其階數(shù)為n階，且分子分母同階。則輔助方程可寫成以下形式：。式中，為F(s)的零、極點。由上頁(a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的極點為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點；F(s)的零點為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點；將閉環(huán)特征方程與開環(huán)特征方程之比構成一個輔助方程，得：……………..(c)68F(s)是復變量s的單值有理函數(shù)。如果函數(shù)F(s)在s平面上指定的區(qū)域內(nèi)是解析的，則對于此區(qū)域內(nèi)的任何一點都可以在F(s)平面上找到一個相應的點，稱為在F(s)平面上的映射。

同樣，對于s平面上任意一條不通過F(s)任何奇異點的封閉曲線，也可在F(s)平面上找到一條與之相對應的封閉曲線（為的映射）。[例]輔助方程為：，則s平面上點（-1，j1），映射到F(s)平面上的點為（0，-j1）,見下圖：69同樣我們還可以發(fā)現(xiàn)以下事實：s平面上曲線映射到F(s)平面的曲線為，如下圖：示意圖

曲線是順時針運動的，且包圍了F(s)的一個極點（0），不包圍其零點（-2）；曲線包圍原點，且逆時針運動。再進一步試探，發(fā)現(xiàn)：若順時針包圍F(s)的一個極點（0）和一個零點（-2），則不包圍原點順時針運動；若順時針只包圍F(s)的一個零點（-2），則包圍原點且順時針運動。

這里有一定的規(guī)律，就是下面介紹的柯西幅角定理。70[柯西幅角定理]：s平面上不通過F(s)任何奇異點的封閉曲線包圍s平面上F(s)的z個零點和p個極點。當s以順時針方向沿封閉曲線移動一周時，在F(s)平面上相對應于封閉曲線將以順時針方向繞原點旋轉(zhuǎn)N圈。N，z，p的關系為：N=z-p。若N為正，表示順時針運動，包圍原點；若N為0，表示順時針運動，不包圍原點；若N為負，表示逆時針運動，包圍原點。71二、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)：

對于一個控制系統(tǒng)，若其特征根處于s右半平面，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對于上面討論的輔助方程，其零點恰好是閉環(huán)系統(tǒng)的極點，因此，只要搞清F(s)的的零點在s右半平面的個數(shù)，就可以給出穩(wěn)定性結(jié)論。如果F(s)的右半零點個數(shù)為零，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

我們這里是應用開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此開環(huán)頻率特性是已知的。設想：

如果有一個s平面的封閉曲線能包圍整個s右半平面，則根據(jù)柯西幅角定理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射包圍原點的次數(shù)應為：當已知開環(huán)右半極點數(shù)時，便可由N判斷閉環(huán)右極點數(shù)。72這里需要解決兩個問題：1、如何構造一個能夠包圍整個s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足柯西幅角條件的？2、如何確定相應的映射F(s)對原點的包圍次數(shù)N，并將它和開環(huán)頻率特性相聯(lián)系？它可分為三部分：Ⅰ部分是正虛軸，Ⅱ部分是右半平面上半徑為無窮大的半圓；；Ⅲ部分是負虛軸，。第1個問題：先假設F(s)在虛軸上沒有零、極點。按順時針方向做一條曲線包圍整個s右半平面，這條封閉曲線稱為奈魁斯特路徑。如下圖：ⅠⅡⅢ73F(s)平面上的映射是這樣得到的：以代入F(s)并令從 變化，得第一部分的映射；在F(s)中取使角度由 ，得第二部分的映射；令從，得第三部分的映射。稍后將介紹具體求法。得到映射曲線后，就可由柯西幅角定理計算，式中： 是F(s)在s右半平面的零點數(shù)和極點數(shù)。確定了N，可求出 。當時，系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。第2個問題：輔助方程與開環(huán)頻率特性的關系。我們所構造的的輔助方程為，為開環(huán)頻率特性。因此，有以下三點是明顯的：74②F(s)對原點的包圍，相當于對(-1,j0)的包圍；因此映射曲線F(s)對原點的包圍次數(shù)N與對(-1,j0)點的包圍的次數(shù)一樣。奈魁斯特路徑的第Ⅰ部分的映射是曲線向右移1；第Ⅱ部分的映射對應，即F(s)=1;第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分映射的關于實軸的對稱。③F(s)的極點就是的極點，因此F(s)在右半平面的極點數(shù)就是在右半平面的極點數(shù)。①由可求得，而是開環(huán)頻率特性。一般在中，分母階數(shù)比分子階數(shù)高，所以當時，，即F(s)=1。（對應于映射曲線第Ⅱ部分）75F(s)與的關系圖。ⅠⅡⅢ76

根據(jù)上面的討論，如果將柯西幅角定理中的封閉曲線取奈魁斯特路徑，則可將柯西幅角定理用于判斷閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。就是下面所述的奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)。[奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)]：若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有個極點，且開環(huán)頻率特性曲線對(-1,j0)點包圍的次數(shù)為N，（N>0順時針，N<0逆時針），則閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點數(shù)為：。若，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。[奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)的另一種描述]：設開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點數(shù)為，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：在 平面上的開環(huán)頻率特性曲線極其映射當從變化到時，將以逆時針的方向圍繞(-1,j0)點圈。對于開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的情況，，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是開環(huán)頻率特性曲線極其映射不包圍(-1,j0)點。不穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的極點數(shù)為：。77[例5-6]開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。78[例5-6]開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖如右。在s右半平面的極點數(shù)為0，繞(-1,j0)點的圈數(shù)N=0，則閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的個數(shù)： 。故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。79[例5-7]設開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。80[例5-7]設開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：開環(huán)極點為-1，-1j2，都在s左半平面，所以。奈氏圖如右。從圖中可以看出：奈氏圖順時針圍繞(-1,j2)點2圈。所以閉環(huán)系統(tǒng)在s右半極點數(shù)為： ，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。81[例5-8]系統(tǒng)結(jié)構圖如右：試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性并討論穩(wěn)定性和k的關系。-82[例5-8]系統(tǒng)結(jié)構圖如右：試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性并討論穩(wěn)定性和k的關系。-[解]：開環(huán)系統(tǒng)奈氏圖是一個半徑為，圓心在的圓。顯然，k>=1時，包圍(-1,j0)點，k<1時不包圍(-1,j0)點。由圖中看出：當k>1時，奈氏曲線逆時針包圍(-1,j0)點一圈，N=-1，而，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。83當k=1時，奈氏曲線通過(-1,j0)點，屬臨界穩(wěn)定狀態(tài)。當k<1時，奈氏曲線不包圍(-1,j0)點，N=0，，所以，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

上面討論的奈魁斯特判據(jù)和例子，都是假設虛軸上沒有開環(huán)極點，即開環(huán)系統(tǒng)都是0型的，這是為了滿足柯西幅角定理的條件。但是對于Ⅰ、Ⅱ型的開環(huán)系統(tǒng)，由于在虛軸上（原點）有極點，因此不能使用柯西幅角定理來判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了解決這一問題，需要重構奈魁斯特路徑。84三、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)在Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)中的應用：具有開環(huán)0極點系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：

可見，在原點有重0極點。也就是在s=0點，不解析，若取奈氏路徑同上時（通過虛軸的整個s右半平面），不滿足柯西幅角定理。為了使奈氏路徑不經(jīng)過原點而仍然能包圍整個s右半平面，重構奈氏路徑如下：以原點為圓心，半徑為無窮小做右半圓。這時的奈氏路徑由以下四部分組成：85Ⅰ部分：正虛軸，，Ⅱ部分為半徑為無窮大的右半圓；Ⅲ部分負虛軸，，Ⅳ部分為半徑為無窮小的右半圓，下面討論對于這種奈魁斯特路徑的映射：1、第Ⅰ和第Ⅲ部分：常規(guī)的奈氏圖，關于實軸對稱；2、第Ⅱ部分：，。假設的分母階數(shù)比分子階數(shù)高；3、第Ⅳ部分：(a)對于Ⅰ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點代入中得：ⅠⅡⅢⅣ86(b)對于Ⅱ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點代入中得：所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的整個圓（順時針）。所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的右半圓。87[結(jié)論]用上述形式的奈氏路徑，奈氏判據(jù)仍可應用于Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)。[例5-9]設Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。88[結(jié)論]用上述形式的奈氏路徑，奈氏判據(jù)仍可應用于Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)。[例5-9]設Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。[解]：顯然這是1型系統(tǒng)。先根據(jù)奈氏路徑畫出完整的映射曲線。從圖上看出：映射曲線順時針包圍(-1,j0)一圈，逆時針包圍(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而，故，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。89[例5-10]某Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示，且s右半平面無極點，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。90[例5-10]某Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示，且s右半平面無極點，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。[解]：首先畫出完整的奈氏曲線的映射曲線。如右圖：從圖上可以看出：映射曲線順時針包圍(-1,j0)兩圈。因，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。91[特殊情況]：1、若開環(huán)系統(tǒng)在虛軸上有極點，這時應將奈氏路徑做相應的改變。如下圖：以極點為圓心，做半徑為無窮小的右半圓，使奈氏路徑不通過虛軸上極點（確保滿足柯西幅角定理條件），但仍能包圍整個s右半平面。映射情況，由于較復雜，略。2、如果開環(huán)頻率特性曲線通過(-1,j0)點，說明閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，閉環(huán)系統(tǒng)在虛軸上有極點。92通常，只畫出的開環(huán)奈氏圖，這時閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面上的極點數(shù)為：。式中，為變化時，開環(huán)奈氏圖順時針包圍(-1,j0)點的圈數(shù)。不包圍(-1,j0)點，0型系統(tǒng)包圍(-1,j0)點，Ⅰ型系統(tǒng)和Ⅱ型系統(tǒng)對應的奈魁斯特路徑分別為：93這時奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)可以描述為：設開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半平面的極點為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當從 時，頻率特性曲線在實軸段的正負穿越次數(shù)差為。

頻率特性曲線對(-1,j0)點的包圍情況可用頻率特性的正負穿越情況來表示。當增加時，頻率特性從上半s平面穿過負實軸的段到下半s平面，稱為頻率特性對負實軸的段的正穿越（這時隨著的增加，頻率特性的相角也是增加的）；意味著逆時針包圍(-1,j0)點。反之稱為負穿越。正穿越負穿越94四、在對數(shù)坐標圖上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性：

開環(huán)系統(tǒng)的極坐標圖（奈氏圖）和對數(shù)坐標圖（波德圖）有如下的對應關系：1、奈氏圖上單位圓對應于對數(shù)坐標圖上的零分貝線； 。2、奈氏圖上的負實軸對應于對數(shù)坐標圖上的-180度相位線。

奈氏圖頻率特性曲線在上的正負穿越在對數(shù)坐標圖上的對應關系：在對數(shù)坐標圖上的范圍內(nèi)，當增加時，相頻特性曲線從下向上穿過-180度相位線稱為正穿越。因為相角值增加了。反之稱為負穿越。95對照圖如下：正穿越負穿越正穿越負穿越相角方向為正

增加時，相角增大對數(shù)坐標圖上奈氏穩(wěn)定判據(jù)如下：

設開環(huán)頻率特性在s右半平面的極點數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：對數(shù)坐標圖上幅頻特性的所有頻段內(nèi)，當頻率增加時，對數(shù)相頻特性對-180度線的正負穿越次數(shù)差為P/2。閉環(huán)系統(tǒng)右半s極點數(shù)為：，式中為正負穿越次數(shù)差。若Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若Z>0，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。96五、最小相位系統(tǒng)的奈氏判據(jù)：開環(huán)頻率特性在s右半平面無零點和極點的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件可簡化為：奈氏圖（開環(huán)頻率特性曲線）不包圍(-1,j0)點。因為若N=0，且P=0，所以Z=0。奈氏圖幅值和相角關系為：當時，當時，式中，分別稱為相角、幅值穿越頻率上述關系在對數(shù)坐標圖上的對應關系:當時，當時，97小結(jié)

柯西幅角定理。滿足該定理的條件。N=z-p

輔助方程。其極點為開環(huán)極點，其零點為閉環(huán)極點。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。幾種描述形式；Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)的奈氏路徑極其映射；最小相位系統(tǒng)的奈氏判據(jù)；對數(shù)坐標圖上奈氏判據(jù)的描述。對數(shù)頻率特性圖和奈奎斯特頻率特性圖的關系。98穩(wěn)定裕度的概念使用穩(wěn)定裕度概念綜合系統(tǒng)本節(jié)主要內(nèi)容：第六節(jié)穩(wěn)定裕度相對穩(wěn)定性的概念

在工程應用中，由于環(huán)境溫度的變化、元件的老化以及元件的更換等，會引起系統(tǒng)參數(shù)的改變，從而有可能破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此在選擇元件和確定系統(tǒng)參數(shù)時，不僅要考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還要求系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定程度，這就是所謂自動控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性問題。99

當頻率特性曲線穿過(-1,j0)點時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。這時： 。對于最小相位系統(tǒng)，可以用 和來表示頻率特性曲線接近(-1,j0)點的程度，或稱為穩(wěn)定裕度。穩(wěn)定裕度越大，穩(wěn)定性越好。[定義]：和為幅值穩(wěn)定裕度和相位穩(wěn)定裕度。在對數(shù)坐標圖上，用表示的分貝值。即100顯然，當時，即和時，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則是不穩(wěn)定的。對于最小相位系統(tǒng)，和是同時發(fā)生或同時不發(fā)生的，所以經(jīng)常只用一種穩(wěn)定裕度來表示系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。常用相角裕度。[幅值穩(wěn)定裕度物理意義]：穩(wěn)定系統(tǒng)在相角穿越頻率處將幅值增加倍（奈氏圖）或增加分貝（波德圖），則系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。若增加的倍數(shù)大于倍（或分貝），則系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定。比如，若增加開環(huán)放大系數(shù)K，則對數(shù)幅頻特性曲線將上升，而相角特性曲線不變。可見，開環(huán)放大系數(shù)太大，容易引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。[相位穩(wěn)定裕度的物理意義]：穩(wěn)定系統(tǒng)在幅值穿越頻率處將相角減小度，則系統(tǒng)變?yōu)榕R界穩(wěn)定；再減小，就會變?yōu)椴环€(wěn)定。101[例]設控制系統(tǒng)如下圖所示k=10和k=100時，試求系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度。-102[例]設控制系統(tǒng)如下圖所示k=10和k=100時，試求系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度。-[解]：相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度可以很容易地從波德圖中求得。當k=10時，開環(huán)系統(tǒng)波德圖如右所示。這時系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度大約是8dB和21度。因此系統(tǒng)在不穩(wěn)定之前，增益可以增加8dB.103相位裕度和幅值裕度的計算：

相位裕度：先求穿越頻率在穿越頻率處，，所以，解此方程較困難，可采用近似解法。由于較小（小于2），所以：穿越頻率處的相角為：相角裕度為：104

幅值裕度：先求相角穿越頻率相角穿越頻率處的相角為：由三角函數(shù)關系得：所以，幅值裕度為：105當增益從k=10增大到k=100時，幅值特性曲線上移20dB，相位特性曲線不變。這時系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度和幅值裕度分別是-12dB和-30度。因此系統(tǒng)在k=10時是穩(wěn)定的，在k=100時是不穩(wěn)定的。106[例5-11]某系統(tǒng)結(jié)構圖如下所示。試確定當k=10時閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其使相位穩(wěn)定裕度為30度時的開環(huán)放大系數(shù)k。-107[例5-11]某系統(tǒng)結(jié)構圖如下所示。試確定當k=10時閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其使相位穩(wěn)定裕度為30度時的開環(huán)放大系數(shù)k。-[解]：當k=10時，開環(huán)傳遞函數(shù)為：手工繪制波德圖步驟：1、確定轉(zhuǎn)折頻率：10、40，在(1,20log200)點畫斜率為-20的斜線至；2、在之間畫斜率為-40的斜線；3、后畫斜率為-60的斜線。108上圖藍線為原始波德圖。，顯然閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。為了使相位穩(wěn)定裕度達到30度，可將幅頻曲線向下平移。即將開環(huán)放大系數(shù)減小，這時相頻特性不變。截止頻率左移至，移到哪里？109

，從圖中看出：。所以原始幅頻曲線向下移動的分貝數(shù)為:所以當開環(huán)放大系數(shù)下降到15時，閉環(huán)系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度是30度，這時的幅頻穩(wěn)定裕度為：由圖中看出，所以設新的開環(huán)放大系數(shù)為，原始的開環(huán)放大系數(shù)為k=200，則有 （討論時較明顯）。解得：110[穩(wěn)定裕度概念使用時的局限性]：1、在高階系統(tǒng)中，奈氏圖中幅值為的點或相角為-180度的點可能不止一個，這時使用幅值和相位穩(wěn)定裕度可能會出現(xiàn)歧義；2、非最小相位系統(tǒng)不能使用該定義；3、有時幅值和相位穩(wěn)定裕度都滿足，但仍有部分曲線很靠近(-1,j0)點，這時閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性依然不好