2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 空間向量求空間角（精講）（解析版）

7.5空間向量求空間角（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考點一線線角【例1】（2021·陜西西安市·西安中學(xué)高三其他模擬（理））已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，的中點為，底面，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)三棱柱的棱長為，，為的中點，則，平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：則點、、，所以，，.因此，異面直線與所成角的余弦值為.故選：D.【一隅三反】1．（2021·陜西寶雞市·高三三模（理））已知圓錐的頂點為，高和底面的半徑之比為，設(shè)是底面的一條直徑，為底面圓周上一點，且，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓錐底面圓的圓心為，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，以圓錐底面圓的圓心為原點，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：則、、、，，，所以，，，所以，，因此，異面直線與所成的角為.故選：A.2．（2021·全國高三月考（理））底面為正三角形的直棱柱中，，，，分別為，的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，，，∴，故選：C3．（2021·漠河市高級中學(xué)高三月考（理））如圖所示，正方體中，點分別在上，，，則與所成角的余弦值為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】以D為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，設(shè)正方體邊長為3，則，設(shè)EF與所成的角為，則故選：C考點二線面角【例2-1】（2021·福建三明市·三明一中高三其他模擬）如圖，在四棱錐中，平面平面，平面平面，四邊形為直角梯形，其中，，，E是的中點．（1）求證：（2）若，求直線與平面所成的角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）連接，由己知，E為中點，又，故四邊形為正方形，所以知∵面面又面面，，平面∴平面，故．同理可證又，故平面連接，可知又，∴可知平面又平面∴由已知，故四邊形為平行四邊形故∴可知（2）以A為坐標原點，分別以的正方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，由，知，不妨設(shè)則可知，，∴），設(shè)平面的法向量為則令，則∴又故設(shè)與平面所成的角為θ，則.【例2-2】（2021·山東高三其他模擬）如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點，平面平面，中，，，E，F(xiàn)分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）記平面與平面的交線為直線l，點Q為直線l上動點，求直線與平面所成的角的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：因為C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點，，又平面平面，且平面平面，平面，平面.（2）由E，F(xiàn)分別是，的中點，，又平面，平面，平面，又平面，平面平面，.以C為坐標原點，，所在直線分別為x軸，y軸，過C且垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，∴可設(shè)，平面的一個法向量為，則，取，得，又，則.∴直線與平面所成角的取值范圍為.【一隅三反】1．（2021·全國高三其他模擬）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，，為線段PD的中點．（1）求證：（2）求直線PB與平面CFB所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）在中，因為，所以，所以，因為，所以平面，因為平面PAD，所以．（2）由（1）知，以所在直線分別為軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示：在中，因為，所以，所以；因為平面，平面，所以.因為，所以平面可得因為，所以，所以，，.設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，令，則4，所以設(shè)直線與平面所成的角為，則2．（2021·全國高三二模）如圖，在三棱柱中，，，四邊形是菱形，，，點是中點，點是上靠近點的三等分點.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】證明：（1）取中點，連結(jié)，在中，，，∴，在菱形中，由可知為等邊三角形，∴，又∵，，，∴，，∴.（2）∵，，由（1）可知，∴，，兩兩垂直，如圖，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標，不妨設(shè)，則，，，，，.由，得，則的中點，從而，.設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨取，得，即.則，所以直線與平面所成角的正弦值為3．（2021·沈陽市·遼寧實驗中學(xué)高三二模）已知四棱錐的底面是菱形，對角線、交于點，，，底面，設(shè)點滿足．（1）若三棱錐體積是，求的值；（2）若直線與平面所成角的正弦值是，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為四邊形是菱形，所以，因為底面，所以、，所以、、兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，，，因為，所以，于是，所以，過作于，過作于，所以，解得．（2）由（1）知，，，設(shè)平面的一個法向量為，，令，，設(shè)直線與平面所成的角為，所以，解得或（舍去）．考點三二面角【例3-1】（2021·北京育英中學(xué)高三月考）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）連接，，分別為，中點為的中位線且又為中點，且且四邊形為平行四邊形，又平面，平面平面（2）設(shè)，由直四棱柱性質(zhì)可知：平面四邊形為菱形則以為原點，可建立如下圖所示的空間直角坐標系：則：，，，D（0，-1,0）取中點，連接，則四邊形為菱形且為等邊三角形又平面，平面平面，即平面為平面的一個法向量，且設(shè)平面的法向量，又，，令，則，二面角的正弦值為：【例3-2】．（2021·北京高考真題）已知正方體，點為中點，直線交平面于點．（1）證明：點為的中點；（2）若點為棱上一點，且二面角的余弦值為，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】(1)如圖所示，取的中點，連結(jié)，由于為正方體，為中點，故，從而四點共面，即平面CDE即平面，據(jù)此可得：直線交平面于點，當直線與平面相交時只有唯一的交點，故點與點重合，即點為中點.(2)以點為坐標原點，方向分別為軸，軸，軸正方形，建立空間直角坐標系，不妨設(shè)正方體的棱長為2，設(shè)，則：，從而：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，從而：，則：，整理可得：，故（舍去）.【一隅三反】1．（2021·四川省綿陽南山中學(xué)高三其他模擬（理））如圖，四邊形ABEF為正方形，，AD⊥DC，AD=2DC=2BC，（1）求證：點D不在平面CEF內(nèi)；（2）若平面ABCD⊥平面ABEF，求二面角A﹣CF﹣D的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：(反證法)假設(shè)點D在平面內(nèi)．返四點確定的平面為．因為四邊形為正方形，所以因為平面與平面不重合，所以EF平面，又AB平面，所以EF//平面；因為平面平面，所以，所以，這與不平行矛盾，所以假設(shè)不成立，即點D不在平面內(nèi)．（2）沒，連接，在直角梯形中，過點作于點因為，所以為的中點，所以，又，所以．因為四邊形為正方形，所以，又平面平面，平面平面所以平面，所以．以點B為坐標原點，射線BA，BD，BE分別為x，y，z軸的非負半軸建立空間直角坐標系，取，則設(shè)平面的法向量為，則由．可得令，得，，即平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量，則由．可得取，得，即平面的一個法向量為．所以．二面角的余弦值2．（2021·全國高三其他模擬（理））如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面平面，，為棱的中點．（1）證明：；（2）若，，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接AC,BD交于O，取AD的中點F，連接EF，∵PA=PD,∴PF⊥AD，又∵面PAD⊥面ABCD，AD面ABCD，∴PF⊥面ABCD，∴PF⊥AC，又∵EF為△ABD中BD邊的中位線∴平行且等于又菱形的對角線相互垂直平分，則BD⊥AC,∵PF,EF面EFP，PFEF=F，∴AC⊥面EFP，又PE面EFP，∴（2）連接BF，∵，則△ABD為正三角形，∵F為AD的中點，則BF⊥AD又∵面PAD⊥面ABCD，AD平面PAD,∴BF⊥平面PAD，又DF平面PAD，∴BF⊥DF以F為原點如圖所示建立空間直角坐標系F-，設(shè)AD=2，則PA=AD=BP=2則，∴,∴,,設(shè)平面EPC的法向量為，∴,即，令，得，同理，設(shè)平面PCB的法向量為，∴,即，令，得，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為銳角，，故二面角的余弦值為.3．（2021·全國高三其他模擬（理））如圖，在三棱臺中，側(cè)棱平面點在棱上，且（1）證明：平面；（2）當二面角的余弦值為，求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）因為，所以，又因為平面，平面，所以，又，所以平面，所以，又因為，，所以，所以，又，所以平面；（2）以為坐標原點，分別為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：因為，所以，因為，所以，設(shè)平面一個法向量為，設(shè)平面一個法向量為，且，因為，所以，令，所以，又因為，所以，令，所以，所以，又因為二面角的余弦值為，所以，所以解得（舍去），綜上可知：.4．（2021·全國高考真題（理））已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，D為棱上的點．（1）證明：；（2）當為