線段的垂直平分線

關(guān)于線段的垂直平分線第一頁，共三十二頁，2022年，8月28日AB線段的垂直平分線PA=PBP1P1A=P1B……命題：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。PMNC動手操作：作線段AB的中垂線MN，垂足為C；在MN上任取一點P，連結(jié)PA、PB；量一量：PA、PB的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？由此你能得到什么規(guī)律？第二頁，共三十二頁，2022年，8月28日證明:∵M(jìn)NAB（已知）∴PCA=PCB(垂直的定義)在PCA和PCB中,AC=CB(已知),PCA=PCB(已證)PC=PC(公共邊)∴PCA≌PCB(SAS)∴PA=PB(全等三角形的對應(yīng)邊相等)ABPMNC命題：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。PA=PB直線MN⊥AB,垂足為C,且AC=CB.

已知：如圖，點P在MN上.求證：第三頁，共三十二頁，2022年，8月28日性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。線段的垂直平分線ABPMNCPA=PB點P在線段AB的垂直平分線上線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等第四頁，共三十二頁，2022年，8月28日ABCMNP當(dāng)點P與點C重合時,上述證明有什么缺陷?PCA與PCB將不存在.PA與PB還相等嗎?相等!此時,PA=CA,PB=CB已知AC=CB∴PA=PB第五頁，共三十二頁，2022年，8月28日

線段的垂直平分線ABPC性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。PA=PB點P在線段AB的垂直平分線上?逆命題：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。第六頁，共三十二頁，2022年，8月28日ABPC已知:線段AB,且PA=PB求證:點P在線段AB的垂直平分線MN上.

過點P作PCAB垂足為C.在RtPCA和RtPCB中PA=PB，PC=PC∴PCA≌PCB(HL)∴ＡＣ＝ＢＣ∴PC是線段AB的垂直平分線.即點P在線段AB的垂直平分線MN上.證明:第七頁，共三十二頁，2022年，8月28日和一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.逆定理第八頁，共三十二頁，2022年，8月28日ABCMN第九頁，共三十二頁，2022年，8月28日CABMN第十頁，共三十二頁，2022年，8月28日和線段兩個端點距離相等的所有點的集合.線段的垂直平分線可以看作是第十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日如圖，△ABC中，邊AB、BC的垂直平分線交于點O。（1）求證：OA=OB=OC。（2）點O是否也在邊AC的垂直平分線上呢？由此你能得出什么結(jié)論？A0CB證明：∵點O在線段AB的垂直平分線上∴OA=OB∵點O在線段BC的垂直平分線上∴OB=OC∴OA=OB∴點O在線段AC的垂直平分線上結(jié)論：三角形三邊垂直平分線交于一點，這一點到三角形三個頂點的距離相等。第十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日

泰安市政府為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個購物中心，試問，該購物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個小區(qū)的距離相等。ABC實際問題1第十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日BAC線段的垂直平分線1、求作一點P，使它和△ABC的三個頂點距離相等.實際問題數(shù)學(xué)化pPA=PB=PC實際問題1第十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日

高速公路AB

在某高速公路L的同側(cè)，有兩個工廠A、B，為了便于兩廠的工人看病，市政府計劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個工廠的工人都沒意見，問醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處？你的方案是什么?生活中的數(shù)學(xué)L第十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日1.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，BC的垂直平分線DE交AB于D點,則CD=____

4cm

2、在△ABC,PM,QN分別垂直平分AB,AC，則:(1)若BC=10cm則△APQ的周長=_____cm;(2)若∠BAC=100°則∠PAQ=______.10200第十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日

3、在△ABC中，AB=AC，AB的中垂線與AC所在的直線相交所得的銳角為50°，則∠B=______.

700或200第十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日證明:連結(jié)BC.∵AB＝AC(已知)，∴A點在線段BC的垂直平分線上(垂直平分線性質(zhì)定理)同理，D點也在線段BC的垂直平分線上.∵兩點確定一條直線，∴直線AD是線段BC的垂直平分線.∵E是AD延長線上一點(已知)，∴BE＝CE(垂直平分線性質(zhì)定理)例1

已知：如圖，AB＝AC，DB＝DC，

E是AD延長線上一點.

求證：BE＝CE.DCEBA第十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日證明：連結(jié)MA.∵M(jìn)N垂直平分線AB(已知)，∴BM＝AM(垂直平分線性質(zhì)定理)∴∠B＝∠MAB(等角對等邊).∵AB＝AC(已知)，∴∠B＝∠C(等邊對等角).∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°(三角形內(nèi)角和定理).∴∠CAM＝∠CAB—∠MAB＝90°.∴AM＝CM(直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半).∴CM＝2BM.例2已知：如圖，在△ABC中，∠A＝120°，

AB＝AC，MN垂直平分AB分別交BC、

AB于M、N.

求證：CM＝2BM.ABCMN第十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日例3已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，

DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

求證：AD垂直平分EF.證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F(已知)，∴∠AED＝∠AFD=90。，

DE＝DF(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).∴D點在線段EF的垂直平分線上(垂直平分線性質(zhì)定理).在Rt⊿AFD和Rt⊿AED中AD=AD(公共邊）DE=DF（已證）∴AFD≌AED(HL)∴AF=AE∴A點在線段EF的垂直平分線上(垂直平分線性質(zhì)定理).∴AD垂直平分EF.ABCDEF第二十頁，共三十二頁，2022年，8月28日4。如圖,CD、EF分別是AB、BC的垂直平分線.請你指出圖中相等的線段有哪些?AD=BDCF=BFAC=BCCE=BE123CF=DF即:BF=CF=DFACEBFD第二十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日證明題:5.已知:如圖,線段CD垂直平分AB,AB平分CAD.求證:AD∥BC.ABCDO123證明:∵線段CD垂直平分AB(已知)∴CA=CB(線段垂直平分線的性質(zhì)定理)∴1=3(等邊對等角)又∵AB平分CAD(已知)∴1=2(角平分線的定義)∴2=3(等量代換)∴AD∥BC(內(nèi)錯角相等,兩直線平行)第二十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日挑戰(zhàn)自我駛向勝利的彼岸1.如圖,已知AB是線段CD的垂直平分線,E是AB上的一點,如果EC=7cm,那么ED=

cm;如果∠ECD=600,那么∠EDC=

0,.EDABC760第二十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線交斜邊AB于D，交BC于E，AB＝7.8，

AC＝3.9，圖中角度等于60°的角有()(A)2個(B)3個(C)4個(D)5個(一)選擇題：

練習(xí)D3．若一個三角形兩邊的垂直平分線的交點在第三邊上，則這個三角形是()(A)銳角三角形(B)鈍角三角形

(C)直角三角形(D)任意三角形C第二十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日4．已知：如圖，AB＝AC，DB＝DC.

求證：AD所在直線是BC的垂直平分線.(二)解答題：

練習(xí)

B

C

A

D

先證明△ABD≌△ACD，再導(dǎo)出∠BAD＝∠CAD，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)定理推論1即可證出.第二十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日5.如圖,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分線交AB于點D,交AC于點E,△BCE的周長等于50,求BC的長.老師期望:做完題目后,一定要“悟”到點東西,納入到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去.BAEDC∵AD=BD,DE⊥AB∴EA=EB(線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等).∵AC=27∴EA+EC=27∴EB+EC=27

∵

EB+EC+BC=50∴BC=23第二十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日例1已知：如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，

ED垂直平分AC交AC于D，交BC于E，∠BAE︰∠BAC＝2︰5.求：∠C的度數(shù).AEDBC【分析】由于ED垂直平分AC，則有EA＝EC，從而∠EAC＝∠C.根據(jù)∠BAE︰∠BAC＝2︰5，可設(shè)∠BAE＝2k，∠BAC＝5k，則∠EAC＝∠C＝3k.由直角三角形兩銳角互余，∠C＋∠BAC＝90°，得3k＋5k＝90°，求出k值即可.【點評】有比例條件的，一般用到設(shè)比例系數(shù).第二十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日例2.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD平分ABC交AC于D.求證:D點在AB的垂直平分線上.ABCD證明:30o∵C=90o,A=30o(已知)∴ABC=60o(三角形內(nèi)角和定理)∴A=ABD(等量代換)∴D點在AB的垂直平分線上.(和一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.)∵BD平分ABC(已知)∴ABD=30o(角平分線的定義)30o∴AD=BD(等角對等邊)第二十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日3．已知：