運(yùn)動(dòng)的守恒量和守恒定律

關(guān)于運(yùn)動(dòng)的守恒量和守恒定律第一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日§2-1質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力和外力質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理一、質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力與外力（1）系統(tǒng)內(nèi)，內(nèi)力是成對(duì)出現(xiàn)的。每對(duì)內(nèi)力大小相等、

方向相反，沿兩質(zhì)點(diǎn)連線方向。內(nèi)力:質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用。外力:質(zhì)點(diǎn)系外物體對(duì)系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所施加的力。質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的特點(diǎn)：（2）質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)所有內(nèi)力之和為0。第二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日§2-1質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力和外力質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理二、質(zhì)心質(zhì)心:與質(zhì)量分布有關(guān)的一個(gè)代表點(diǎn)，它的位置在平均意義上代表著質(zhì)量分布的中心。第三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日如拋擲的物體、跳水的運(yùn)動(dòng)員、爆炸的焰火等，其質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)都是拋物線。第四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系：直角坐標(biāo)系中的分量式：質(zhì)心的位矢：第五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的物體:分量式：面分布體分布線分布質(zhì)心的位矢：第六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日（2）質(zhì)量均勻分布的規(guī)則物體，質(zhì)心在幾何中心。（1）質(zhì)心是諸質(zhì)點(diǎn)位置的加權(quán)平均，質(zhì)量相當(dāng)于權(quán)重。質(zhì)心處不一定有質(zhì)量。說(shuō)明（3）質(zhì)心與重心是兩個(gè)不同的概念。重心是地球?qū)ξ矬w各部分引力的合力(即重力)的作用點(diǎn)，質(zhì)心與重心的位置不一定重合。第七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日例題2-1

求腰長(zhǎng)為a的等腰直角三角形均勻薄板的質(zhì)心位置。取寬度為dx的面積元，設(shè)薄板每單位面積的質(zhì)量為，則此面積元的質(zhì)量為解：取坐標(biāo)軸如圖，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性分析可知第八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日例題2-2

求一段質(zhì)量為m的均勻鐵絲，彎成如圖所示120?

弧形的質(zhì)心坐標(biāo)。(其中鐵絲每單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為)。解：建立坐標(biāo)系，將d所對(duì)弧旋作為為積分的微元，由對(duì)稱(chēng)性可知，mxyO第九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日三、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理由質(zhì)心位矢公式：質(zhì)心的速度為質(zhì)心的加速度為第十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日由牛頓第二定律得對(duì)于系統(tǒng)內(nèi)成對(duì)的內(nèi)力

質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)等同于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，它受到的外力為質(zhì)點(diǎn)系所受的所有外力的矢量和。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：第十一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日（1）質(zhì)心處的質(zhì)點(diǎn)（質(zhì)點(diǎn)系總質(zhì)量）代替質(zhì)點(diǎn)系整體的平動(dòng)。（2）若，不變。（3）只要外力確定，不管作用點(diǎn)怎樣，質(zhì)量如何分布，質(zhì)心的加速度就確定，質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡就確定，即質(zhì)點(diǎn)系的平動(dòng)就確定。（4）系統(tǒng)內(nèi)力不會(huì)影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，這對(duì)解決比較復(fù)雜的機(jī)械運(yùn)動(dòng)問(wèn)題會(huì)很便利。說(shuō)明第十二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日§2-2動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律一、動(dòng)量定理由牛頓運(yùn)動(dòng)定律：

表示力對(duì)時(shí)間的累積量，叫沖量。其中，

質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，所受合外力的沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量。動(dòng)量定理：第十三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日說(shuō)明(1)沖量的方向一般不是某一瞬時(shí)力的方向，而是所有元沖量的合矢量的方向，即物體始末動(dòng)量的矢量差。動(dòng)量定理反映了力在時(shí)間上的累積作用對(duì)質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的效果。逆風(fēng)行舟的分析：第十四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日(2)

動(dòng)量定理中的動(dòng)量和沖量都是矢量，符合矢量疊加原理，或以分量形式進(jìn)行計(jì)算：第十五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日(3)

在

沖擊、

碰撞問(wèn)題中估算平均沖力。(4)動(dòng)量定理是牛頓第二定律的積分形式，只適用于慣性系。F(t)Ft(5)動(dòng)量定理在處理變質(zhì)量問(wèn)題時(shí)很方便。第十六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

研究錘對(duì)工件的作用過(guò)程，在豎直方向利用動(dòng)量定理，取豎直向上為正。例題2-3

質(zhì)量m=0.3t的重錘，從高度h=1.5m處自由落到受鍛壓的工件上，工件發(fā)生形變。如果作用的時(shí)間(1)=0.1s，(2)=0.01s。試求錘對(duì)工件的平均沖力。以重錘為研究對(duì)象，分析受力，作受力圖。解：解法一：第十七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日解法二：研究錘從自由下落到靜止的整個(gè)過(guò)程，其動(dòng)量變化為零。重力作用時(shí)間為支持力的作用時(shí)間為由動(dòng)量定理：第十八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日例題2-4

一繩跨過(guò)一定滑輪，兩端分別拴有質(zhì)量為m及m'的物體A和B，m'大于m。B靜止在地面上，當(dāng)A自由下落距離h后，繩子才被拉緊。求繩子剛被拉緊時(shí)兩物體的速度，以及能上升的最大高度。

作繩拉緊時(shí)的受力圖。繩子剛好拉緊前的瞬間，物體A的速度為解：經(jīng)過(guò)短暫的沖擊過(guò)程，兩物體速率相等，對(duì)兩物體分別應(yīng)用動(dòng)量定理（取向上為正）：第十九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日考慮到繩不可伸長(zhǎng)，有：繩子拉緊后，A、B系統(tǒng)的加速度為即為繩子剛被拉緊時(shí)兩物體的速度。速度為零時(shí)，物體B達(dá)到最大高度H：平均沖力、>>重力，因而忽略重力。（P35,例題1-9）第二十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

如圖所示兩塊并排的木塊A和B，質(zhì)量分別為m1和m2，靜止放置在光滑的水平面上，一子彈水平穿過(guò)木塊，設(shè)子彈穿過(guò)兩木塊所用的時(shí)間分別為和，木塊對(duì)子彈的阻力為恒力F，試求子彈穿出后，木塊AB的速率。[作業(yè)1]P1032-3[作業(yè)2]P1032-7水力采煤是高壓水槍噴出的強(qiáng)力水柱沖擊煤層。設(shè)水柱直徑D=30mm,水速v=56m/s,水柱垂直射在煤層表面上，沖擊煤層后的速度為零。求水柱對(duì)煤的平均沖力。第二十一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日=常矢量=常矢量根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：若三、動(dòng)量守恒定律即動(dòng)量守恒定律：則

如果系統(tǒng)所受的外力之和為零，則系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變，質(zhì)心保持勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。第二十二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日（2）當(dāng)外力遠(yuǎn)小于內(nèi)力時(shí)，可近似認(rèn)為系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒。（如：爆炸、碰撞、打擊過(guò)程等）（1）內(nèi)力的存在只改變系統(tǒng)內(nèi)動(dòng)量的分配，而不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量。說(shuō)明（3）分量式（4）定律不僅適合宏觀物體，同樣也適合微觀領(lǐng)域。（5）動(dòng)量定理及動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系。外力在某方向的分量之和為零，則動(dòng)量在該方向的分量守恒。第二十三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日例題2-5

如圖所示,設(shè)炮車(chē)以仰角發(fā)射一炮彈，炮車(chē)和炮彈的質(zhì)量分別為m'

和m，炮彈的出口速度為v，求炮車(chē)的反沖速度v'。炮車(chē)與地面間的摩擦力不計(jì)。解：選炮車(chē)和炮彈組成系統(tǒng)，外力分析如圖。炮車(chē)與地面間的摩擦力不計(jì)，系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒。思考：豎直方向動(dòng)量守恒嗎？第二十四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日得炮車(chē)的反沖速度為由水平方向動(dòng)量守恒定律，得：第二十五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

炸裂時(shí)爆炸力是物體內(nèi)力，內(nèi)力遠(yuǎn)大于重力，故在爆炸中，可認(rèn)為動(dòng)量守恒。例題2-6

一個(gè)靜止物體炸成三塊，其中兩塊質(zhì)量相等，且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飛開(kāi)，第三塊的質(zhì)量恰好等于這兩塊質(zhì)量的總和。試求第三塊的速度（大小和方向）。解：第二十六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日即和及都成，且三者都在同一平面內(nèi)第二十七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日一、功的概念

物體在力的作用下發(fā)生一無(wú)限小的位移(元位移)時(shí)，此力對(duì)它做的功定義為力在位移方向的投影和元位移大小的乘積，即：可以寫(xiě)成兩個(gè)矢量的標(biāo)積：功是標(biāo)量，沒(méi)有方向，但有正負(fù)。單位：Nm=J(焦耳)功率：?jiǎn)挝唬篔/s(W)§2-3功動(dòng)能動(dòng)能定理（為力與位移的夾角）第二十八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日（1）能量是反映各種運(yùn)動(dòng)形式共性的物理量，各種運(yùn)動(dòng)形式的相互轉(zhuǎn)化可以用能量來(lái)量度。各種運(yùn)動(dòng)形式的相互轉(zhuǎn)化遵守能量守恒定律。（3）與機(jī)械運(yùn)動(dòng)直接相關(guān)的能量是機(jī)械能，它是物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（即位置和速度）的單值函數(shù)，包括動(dòng)能和勢(shì)能。二、能量（2）能量是物體狀態(tài)的單值函數(shù)。物體狀態(tài)發(fā)生變化，它的能量也隨之變化。第二十九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日三、動(dòng)能定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)在變力的作用下沿曲線從a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)，變力所做的功為：由牛頓第二定律：第三十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能：則有

合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。（4）功是一個(gè)過(guò)程量，而動(dòng)能是一個(gè)狀態(tài)量。(2)

與參考系有關(guān)，動(dòng)能定理只在慣性系中成立。（3）(5)微分形式：說(shuō)明(6)

內(nèi)力的功可改變系統(tǒng)的動(dòng)能，如炮彈爆炸。(1)功是物體在某過(guò)程中能量改變的量度。動(dòng)能定理：第三十一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日例題2-7

利用動(dòng)能定理重做P40例題1-13。

解：如圖所示，細(xì)棒下落過(guò)程中，合外力對(duì)它作的功為應(yīng)用動(dòng)能定理，因初速度為0，末速度v可求得如下第三十二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日Lv0OxLs

解：由于物體是柔軟勻質(zhì)的，在物體完全滑上臺(tái)面之前，對(duì)臺(tái)面的正壓力與滑上臺(tái)面的質(zhì)量成正比，所受臺(tái)面的摩擦力Ff是變化的，可表示為例題2-8

傳送機(jī)通過(guò)滑道將長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為m的柔軟勻質(zhì)物體以初速向右送上水平臺(tái)面，物體前端在臺(tái)面上滑動(dòng)s距離后停下來(lái)（如圖）。已知滑道上的磨擦可不計(jì)，物體與臺(tái)面的摩擦系數(shù)為μ，而且s>L，試計(jì)算物體的初速度。第三十三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)物體前端在s處停止時(shí)，摩擦力做的功為由動(dòng)能定理得即得第三十四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日一、保守力

根據(jù)各種力做功的特點(diǎn)，可將力分為保守力和非保守力。保守力：如：重力、萬(wàn)有引力、彈性力以及靜電力等。非保守力：如：摩擦力、回旋力等。做功與路徑無(wú)關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力。做功不僅與始末位置有關(guān)，還與路徑有關(guān)的力?！?-4保守力成對(duì)力的功勢(shì)能第三十五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日重力的功

重力做功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，而與所經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān)，重力是保守力！設(shè)物體m從a點(diǎn)沿任一曲線移動(dòng)到b點(diǎn)。在元位移中，重力所做的元功為第三十六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日如果物體沿閉合路徑adbca運(yùn)動(dòng)一周，容易計(jì)算重力所做的功為：討論

表明保守力沿任何閉合路徑做功等于零。（L為任意閉合路徑）或第三十七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日彈性力的功

彈性力做功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)，彈性力是保守力！設(shè)光滑水平桌面一端固定的輕彈簧(k)，另一端連接質(zhì)點(diǎn)

m，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的過(guò)程中：第三十八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日萬(wàn)有引力的功設(shè)質(zhì)量為m'的質(zhì)點(diǎn)固定，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在m'

的引力場(chǎng)中從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)。

萬(wàn)有引力的功僅由物體的始末位置決定，與路徑無(wú)關(guān)，萬(wàn)有引力是保守力！第三十九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日摩擦力的功

摩擦力做功與路徑有關(guān)，摩擦力是非保守力！質(zhì)量為m的物體在桌面上沿曲線路徑從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，設(shè)物體與桌面的摩擦因數(shù)為，其中sab為物體經(jīng)過(guò)的路程，與物體的運(yùn)動(dòng)路徑有關(guān)。第四十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日三、勢(shì)能保守力作功與路徑無(wú)關(guān)重力勢(shì)能彈性勢(shì)能引力勢(shì)能重力作功彈性力作功萬(wàn)有引力作功——引入與物體的位置相聯(lián)系的系統(tǒng)能量稱(chēng)為勢(shì)能Ep第四十一頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日保守力的功是勢(shì)能變化的量度：物體在保守力場(chǎng)中a、b兩點(diǎn)的勢(shì)能Epa、Epb之差等于質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)過(guò)程中保守力做的功Aab：說(shuō)明（1）勢(shì)能是屬于物體系統(tǒng)的。（2）勢(shì)能差有絕對(duì)意義，勢(shì)能的量值只有相對(duì)意義。（3）引入勢(shì)能的一個(gè)重要目的是為了簡(jiǎn)化保守力功的計(jì)算。這點(diǎn)將在系統(tǒng)功能原理中得到體現(xiàn)。（4）對(duì)于非保守力不能引入勢(shì)能的概念。第四十二頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日四、勢(shì)能曲線（1）根據(jù)勢(shì)能曲線可以討論物體的運(yùn)動(dòng)。保守力沿坐標(biāo)軸的分量等于勢(shì)能對(duì)此坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值。（2）利用勢(shì)能曲線可以判斷物體在各個(gè)位置所受保守力的大小和方向。第四十三頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日一、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理設(shè)系統(tǒng)由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)m1

和m2組成，對(duì)質(zhì)點(diǎn)1和2分別應(yīng)用動(dòng)能定理：相加，得系統(tǒng)外力的功Ae系統(tǒng)內(nèi)力的功Ai§2-5質(zhì)點(diǎn)系的功能原理機(jī)械能守恒定律

系統(tǒng)的外力和內(nèi)力做功的總和等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：第四十四頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日二、質(zhì)點(diǎn)系的功能原理內(nèi)力的功可分為保守內(nèi)力的功和非保守內(nèi)力的功：

當(dāng)系統(tǒng)從狀態(tài)1變化到狀態(tài)2時(shí)，它的機(jī)械能的增量等于外力的功與非保守內(nèi)力的功的總和。與動(dòng)能定理比較，運(yùn)用功能原理時(shí)由于保守力所做的功已為系統(tǒng)勢(shì)能的變化所代替，因此不必再計(jì)算保守內(nèi)力的功。質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：第四十五頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日

解法一：用功能原理，把物體和地球作為研究系統(tǒng)。例題2-8

如圖所示，一質(zhì)量m=2kg的物體從靜止開(kāi)始，沿四分之一的圓周從A滑到B，已知圓的半徑R=4m，設(shè)物體在B處的速度v=6m/s，求在下滑過(guò)程中，摩擦力所作的功。解：摩擦力和正壓力都是變力。正壓力不做功。解法二：用動(dòng)能定理，把物體作為研究對(duì)象。第四十六頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日三、機(jī)械能守恒定律若由質(zhì)點(diǎn)系的功能原理：則

如果一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)只有保守力做功，非保守內(nèi)力與一切外力做的功都為零，則系統(tǒng)內(nèi)各物體的動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總值保持不變。機(jī)械能守恒定律：第四十七頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日◆功是能量傳遞或轉(zhuǎn)換的一種量度！即：能量只能傳遞或轉(zhuǎn)換，而不能創(chuàng)生。四、能量守恒定律

內(nèi)力的功的作用：保守內(nèi)力作功：相應(yīng)勢(shì)能和系統(tǒng)動(dòng)能間轉(zhuǎn)換；非保守內(nèi)力作功：系統(tǒng)機(jī)械能與系統(tǒng)其他形式能量間轉(zhuǎn)換。

外力的功的作用：系統(tǒng)機(jī)械能與外界能量的轉(zhuǎn)換。◆機(jī)械能守恒定律是能量守恒定律在機(jī)械運(yùn)動(dòng)中的體現(xiàn)。能量守恒定律：一個(gè)孤立系統(tǒng)經(jīng)歷任何變化時(shí)，該系統(tǒng)所有能量的總和是不變的，能量只能從一種形式變化為另外一種形式，或從系統(tǒng)內(nèi)一個(gè)物體傳給另一個(gè)物體。第四十八頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日例題2-9

有一輕彈簧，一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點(diǎn)P,另一端系一質(zhì)量為m的小球,小球穿過(guò)圓環(huán)并在圓環(huán)上運(yùn)動(dòng)(不計(jì)摩擦)。開(kāi)始小球靜止于點(diǎn)A,彈簧處于自然狀態(tài),其長(zhǎng)度為圓環(huán)半徑R；當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)的底端點(diǎn)B時(shí),小球?qū)A環(huán)沒(méi)有壓力，求彈簧的彈性系數(shù)。只有保守內(nèi)力做功系統(tǒng)機(jī)械能守恒取圖中點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)解：以彈簧、圓環(huán)、小球和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，第四十九頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日又所以即第五十頁(yè)，共五十七頁(yè)，2022年，8月28日引入質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)O的角動(dòng)量：大?。?/p>