中緯度大尺度運(yùn)動的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)理論

Chp.11中緯度大尺度運(yùn)動

的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)理論1§11.1準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動的分類●由前幾節(jié)可知，大氣中風(fēng)－壓場間是近于地轉(zhuǎn)關(guān)系的，這與實(shí)況一致，當(dāng)然，這種地轉(zhuǎn)氣流又不停做緩慢的演變，也正因如此，才有系統(tǒng)的發(fā)生和發(fā)展。●從本節(jié)起，將對這種大氣中的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動的變化加以分析與討論?；貞洠罕菊碌谝还?jié)曾指出：地轉(zhuǎn)適應(yīng)中位勢運(yùn)動重要，而達(dá)準(zhǔn)地轉(zhuǎn)緩慢演變后，渦旋運(yùn)動為主，故以下討論將從天氣尺度出發(fā)：2由此得一個(gè)重要關(guān)系：尺度分析

～～，故有：其中，是散度項(xiàng)大小，是渦度項(xiàng)大小。這樣，按Rossby數(shù)與S之相對大小，可將準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動分為兩類：3⒈第一類準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動（）（11.7）表明：第一類準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動中，垂直速度量級甚小于從連續(xù)方程中估計(jì)出的量級。再看（11.6），左邊實(shí)為水平散度的量級，右邊實(shí)為的量級，即

～表明：這類準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動具有渦旋運(yùn)動為主的特點(diǎn)?！裼桑?1.6）可知：～，若認(rèn)為它與絕熱方程分析出的～大小相當(dāng)，即：～～——（11.9）天氣尺度運(yùn)動，水平運(yùn)動尺度小于地球半徑（11.3）中S相對于可以略去：～——（11.6）而上式中，，故有——（11.7）●●4表明：運(yùn)動的水平尺度L及垂直尺度H還與靜力穩(wěn)定度有關(guān)?！窆剩?1.9）還是兩端平方去掉根號：～，故有：～1～1——（11.11）表明：必與同時(shí)成立，即層結(jié)高度穩(wěn)定必與準(zhǔn)地轉(zhuǎn)相呼應(yīng)。第一類準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動實(shí)際上指中緯度天氣尺度運(yùn)動或水平尺度小于地球半徑的大氣長波，又稱為天氣尺度準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動。⒉第二類準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動（～1）超長波尺度的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動S～1運(yùn)動的水平尺度L與地球半徑a相當(dāng)，故可稱行星尺度準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動。（11.3）中可略去，得：～，即～——（11.13）●5表明：渦度方程（11.1）中，主要由散度項(xiàng)與項(xiàng)平衡，而渦度的水平方向

個(gè)別變化不重要，因而運(yùn)動是準(zhǔn)定常的；而且W與U成正比，而與L無關(guān)。●而～～S～1,表明：水平散度與渦度量級相當(dāng)。●進(jìn)一步，還可得出由渦度方程尺度分析估計(jì)出的垂直速度量級：W～，若認(rèn)為它與由絕熱方程估計(jì)出的W～量級相當(dāng)，則有：表明：與L無關(guān)，但與U有關(guān)?？紤]，考（11.15）：～～～1—（11.16）或?yàn)楸阌诒容^：寫出與(11.11)類似的式子：表明：（11.17）與（11.11）相比，兩者具有不同。教材對這兩類準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動各自的條件及特征作了很好的歸納。請同學(xué)看書寫出總結(jié)。6§11.2準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動方程組·攝動法§11.2.1攝動方法與多尺度方法在自然科學(xué)的許多領(lǐng)域內(nèi)，因?yàn)榭刂品匠痰姆蔷€性、變系數(shù)、邊界條件的復(fù)雜性等等，很多問題難以求得解析解，為了尋求方程解的一些信息，只得求助一些大家熟知的近似解法（小擾動方法、級數(shù)解法）和數(shù)值解法，或者而發(fā)的結(jié)合使用。近似方法中有一種重要的攝動方法，在頻散波能量傳播和Rossby波共振相互作用等方面已有廣泛應(yīng)用，取得了不少成果。奇異攝動理論實(shí)為一龐雜體系，這里僅簡述其思路步驟，再由實(shí)例加以運(yùn)用：（1）對方程和定解條件進(jìn)行無量綱化；（2）選取一個(gè)合適的攝動量，它是一個(gè)無量綱的小的（或大的）參數(shù)ε；（3）將方程的解按此ε展開為冪級數(shù)，如u=u0+εu1+ε2u2+……;(4)將該級數(shù)代入到無量綱方程，可得關(guān)于小參數(shù)ε的各級近似方程，繼而可確定出冪級數(shù)的各個(gè)系數(shù)u0、u1、u2、……；（5）若是正規(guī)（則）攝動問題，就可對級數(shù)進(jìn)行截?cái)?，便得到原方程之漸近解u≈u0+εu1+ε2u2789§11.2.3第一類斜壓準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動方程組為實(shí)際應(yīng)用方便，用p坐標(biāo)系（即靜力平衡，亦即大尺度運(yùn)動），其基本方程組為（當(dāng)然，實(shí)為絕熱無摩擦下）：——（11.28）其中，已取下面：先做無量綱化，同時(shí)應(yīng)用上節(jié)得出的第一類準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動條件，再用攝動法展開，得零級近似（地轉(zhuǎn)風(fēng)方程組）和高一級近似（一類準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程組）。10①.首先用*量表無量綱量，取：—（11.29）（11.29）代入基本方程組（11.28）進(jìn)行無量綱化前，還要對（11.28）的和f進(jìn)行處理：●由（4.36）知，——（11.30）將代入上式，有：即有：——（11.31）指一個(gè)等壓面上的平均值,故不同等壓面上不同,即是p的函數(shù).11●另一方面，對第一類準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動，有，故可有平面近似：——（11.34）將（11.31）、（11.34）隨（11.29）一道，代入基本方程組（11.28），可得無量綱方程組：——（11.35）無量綱化的方法已多次講了，故不再細(xì)推，其實(shí)前兩式就是p.255（11.20）的前兩式，只不過項(xiàng)。12②用WKB方法對（11.35）進(jìn)行展開，這就需要選取合適的攝動量（無量綱小參數(shù)）。在（11.35）中，一共出現(xiàn)了4個(gè)無量綱參數(shù)：——（11.37）現(xiàn)討論的是第一類準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動，，可以選取為攝動量（小參數(shù)）。13③故有WKB法展開（已細(xì)推過，故不再詳講）：將（11.35）中各未知量按展開：

——（11.38）④代入（11.35），并按的各同次冪分別合并，若取零級近似（不含的各項(xiàng)），得：——（11.39）14的項(xiàng)，略去經(jīng)WKB法展開后的零級近似簡化方程組：水平無輻散，且滿足地轉(zhuǎn)風(fēng)關(guān)系，這與p.270所討論的情況一致，故（11.39）稱為地轉(zhuǎn)風(fēng)方程組。零級近似反映了大尺度運(yùn)動的主要特征，不過它表征的是不隨時(shí)間變化的平衡運(yùn)動，要反映運(yùn)動變化本質(zhì)，還需考慮一級甚至二級近似。一級近似（保留及更高階項(xiàng)）簡化方程組為：——（11.40）不過，實(shí)際運(yùn)用時(shí)，常用其變形表達(dá)式（渦度方程），下面考慮之：15渦度方程：——（5）

上式建立起零級近似與一級近似之間的聯(lián)系。主要表現(xiàn)為：除水平輻散項(xiàng)外，局地變化、平流變化及包含替。這種除散度項(xiàng)外其他項(xiàng)中水平運(yùn)動均可取地轉(zhuǎn)風(fēng)近似,就是人們稱的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動（quasi-geostrophicflow）。的項(xiàng)中，水平運(yùn)動都可以用地轉(zhuǎn)關(guān)系代（4）與（5）聯(lián)立，即構(gòu)成了關(guān)于與的閉合方程組，寫回到有量綱式：零級渦度它實(shí)際上可表為地轉(zhuǎn)風(fēng)渦度。,由(11.39)知,

—（11.45）16這就是準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程組，水平散度項(xiàng)前f取，且其中不取地轉(zhuǎn)風(fēng)近似，取，垂直方向上滿足靜力平衡（這里體現(xiàn)為取了p坐標(biāo)），。其余各項(xiàng)中且絕熱方程中靜力穩(wěn)定度取前面已推得的平均值準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程組（11.45）有兩個(gè)重要性質(zhì)：（?。┙^熱無摩擦下，有位渦守恒；（ⅱ）閉合系統(tǒng)中能量守恒。下面分別予以說明：（?。┯杉从校哼@表明：絕熱無摩擦下，準(zhǔn)地轉(zhuǎn)位渦守恒。令為q~準(zhǔn)地轉(zhuǎn)位勢渦度17（ⅱ）證明閉系統(tǒng)內(nèi)[動能＋有效位能]～守恒量：在這里閉系統(tǒng)指：在（地面）及（大氣項(xiàng)）處，，且（系統(tǒng)邊界面A，實(shí)，再對閉系統(tǒng)積分，有：指氣柱上下截面）。作運(yùn)算—（11.51）即故有：故有②＝018，故有將①、②、③代回到（11.51）

動能平衡方程（11.52）——（11.52）與Chp.7類同，靜力平衡（p坐標(biāo)）下，若取質(zhì)量元

—（11.54），則上式改寫為：——（11.53）類似地，可得有效位能平衡方程（同學(xué)自己看書，時(shí)間關(guān)系從略）：——（11.56）（11.53）＋（11.56）閉合系統(tǒng)中動能與有效位能之和守恒（11.57）19§11.2.4第二類準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動方程組（超長波尺度的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動）從實(shí)際結(jié)果看，用準(zhǔn)地轉(zhuǎn)渦度方程描述天氣形勢及定性定量預(yù)報(bào)，均比較滿意。但天氣系統(tǒng)得波長非常長與一類有不同：二類；由前已知，這時(shí)S～1L～a平面近似已不成立故須用球坐標(biāo)。超長波時(shí)，分析結(jié)果不理想，故其特點(diǎn)不過，水平尺度越大準(zhǔn)地轉(zhuǎn)關(guān)系越成立越小。實(shí)際上，由（11.16）故水平運(yùn)動方程完全可以簡化為地轉(zhuǎn)風(fēng)方程，即：——（11.58）~南北方向上，~東西方向上。擬作渦度運(yùn)算：20兩式相加且兩端乘以：則有伯格方程：——（11.59）其實(shí)，這是渦度方程在第二類準(zhǔn)地轉(zhuǎn)條件下的簡化形式，考渦度方程（11.11）對于第二類準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動，具體為

第二類準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程組中，絕熱方程和連續(xù)方程不再簡化，核心是Burger方程故有：在第二類準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動中，的局地變化項(xiàng)及平流變化項(xiàng)相對于Burger方程！效應(yīng)項(xiàng)可以忽略→21§11.3準(zhǔn)地轉(zhuǎn)位勢傾向方程與方程對于準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程組（11.45）：故上述準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程組可以改寫為關(guān)于（重力位勢傾向）及（垂直速度）的二聯(lián)方程組：以上二式，消去，即得位勢傾向方程；消去，即得方程。22§11.3.1準(zhǔn)地轉(zhuǎn)位勢傾向方程——（11.65）●對于重力位勢而言（11.65）是預(yù)報(bào)方程，因右邊的可由表出

（見11.46），故由觀測到的初始位勢場（而勿

需速度場的直接觀測),就可以計(jì)算預(yù)報(bào)出位勢場的變化，故（11.65）是數(shù)值預(yù)報(bào)中準(zhǔn)地轉(zhuǎn)模式之基礎(chǔ)方程?！竦珜ξ粍輧A向（11.65）是一個(gè)診斷方程，因左端只是的二階空間

（x，y，p）導(dǎo)數(shù)但無時(shí)間導(dǎo)數(shù)。右邊不含項(xiàng)，故是引起空間分布之

原因，稱（外源）強(qiáng)迫項(xiàng)。作運(yùn)算，即可消去，得準(zhǔn)地轉(zhuǎn)位勢傾向方程：23對于波狀運(yùn)動，可設(shè)或

在空間上沿x，y方向?yàn)橹C波變化，例如對于

，有：其中，k，l分別為x，y方向的波數(shù)，～地面氣壓。則當(dāng)時(shí)，位勢差為；當(dāng)時(shí)，位勢差為0?！?〉〈3〉~溫度平流隨高度p的變化率項(xiàng)（因?yàn)椤?〉~絕對渦度的地轉(zhuǎn)平流項(xiàng)。（絕對渦度＝相對渦度＋地球自轉(zhuǎn)渦度）p坐標(biāo)下，與T成正比）。24故（11.65）可以定性地表示為（兩端已共同消去一個(gè)負(fù)號）：可見:

絕對渦度平流，〈2〉0負(fù)正大于小于大于小于0.暖平流隨高度減弱(即隨p增加而增加,)將使當(dāng)然，實(shí)際情況要更復(fù)雜一點(diǎn)，例如，絕對渦度地轉(zhuǎn)平流項(xiàng)〈2〉實(shí)可分為作用相反的兩項(xiàng)：總結(jié):正負(fù)變高-+絕對渦度平流+低層暖平流,高層冷平流低層冷平流,高層暖平流25流場形勢究竟是東移還是西退，決定于這兩種平流何者占主導(dǎo)地位。

如圖，考一個(gè)西風(fēng)帶中典型的諧波流型。反氣旋式→負(fù)渦度，氣旋式→正渦度.故：Ⅰ區(qū)有負(fù)的渦度平流

Ⅱ區(qū)有正的渦度平流

(指的是相對渦度)則Ⅰ區(qū)

Ⅱ區(qū)大于小于0,→正負(fù)變高→系統(tǒng)流型東移再看效應(yīng)項(xiàng),由于恒為正而Ⅰ區(qū)

Ⅱ區(qū)故,小于大于0→0,系統(tǒng)西移小于大于26§11.3.2準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程作運(yùn)算得作運(yùn)算得兩式相減，可消去位勢傾向，所得結(jié)果兩端再除以常數(shù)，終有——（11.69）稱為準(zhǔn)地轉(zhuǎn)方程，它表明：在準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動的條件下，由瞬時(shí)的位勢場就可以確定出場，注意：由于方程中沒有時(shí)間變化項(xiàng)(項(xiàng))，故是由位勢場可以診斷出同時(shí)刻的場，因此說（11.69）是準(zhǔn)地轉(zhuǎn)條件下的診斷方程。不難看出，當(dāng)場具有（9.113）’式的空間分布特征時(shí)，則有：27[1][2]～絕對渦度平流隨高度的變化率，若絕對渦度平流

隨高度增加，則[2]有上升運(yùn)動。[3]故[3]實(shí)為溫度平流的作用，若有暖平流，則有上升運(yùn)動。

總之，有：上升下沉運(yùn)動正負(fù)渦度平流隨高度增加率+暖冷平流28地面G、D中心區(qū)域，相對渦度之地轉(zhuǎn)平流很小。但在G中心以上500hPa為負(fù)的渦度平流區(qū)D;中心以上500hPa為負(fù)的渦度平流區(qū)