2017-2018版高中數(shù)學第1章導數(shù)及其應(yīng)用1.1.2瞬時變化率-導數(shù)（一）學案版2-2VIP

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1．1。2瞬時變化率-—導數(shù)(一)學習目標1.結(jié)合實際背景理解函數(shù)的瞬時變化率——導數(shù)的概念及其幾何意義.2。會求簡單函數(shù)在某點處的導數(shù)及切線方程.3。理解導數(shù)與平均變化率的區(qū)別與聯(lián)系．知識點一曲線上一點處的切線思考1曲線的切線與曲線只有一個公共點嗎？思考2曲線上在某一點處的切線的含義是什么?設(shè)Q為曲線C上不同于P的一點，這時,直線PQ稱為曲線的割線，隨著點Q沿曲線C向點P運動，割線PQ在點P附近越來越逼近曲線C.當點Q無限逼近點P時，直線PQ最終就成為在點P處最逼近曲線的直線l，這條直線l稱為曲線在點P處的切線．知識點二瞬時速度與瞬時加速度思考運動物體在某一時刻的瞬時加速度為0，那么該時刻物體是否一定停止了運動？1．如果Δt無限趨近于0時，運動物體位移S（t）的平均變化率eq\f(St0＋Δt－St0,Δt）無限趨近于一個常數(shù)，那么這個常數(shù)稱為物體在t＝t0時的瞬時速度，即位移對于時間的瞬時變化率．2．如果當Δt無限趨近于0時，運動物體速度v（t）的平均變化率eq\f（vt0＋Δt－vt0,Δt）無限趨近于一個常數(shù)，那么這個常數(shù)稱為物體在t＝t0時的瞬時加速度，即速度對于時間的瞬時變化率．知識點三導數(shù)及其幾何意義1．導數(shù)設(shè)函數(shù)y＝f（x)在區(qū)間（a,b）上有定義，x0∈(a,b)，若Δx無限趨近于0時，比值eq\f(Δy，Δx）＝eq\f（fx0＋Δx－fx0，Δx）無限趨近于一個常數(shù)A，則稱f(x)在x＝x0處可導，并稱該常數(shù)A為函數(shù)f(x）在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)．2．導數(shù)的幾何意義導數(shù)f′（x0）的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點P(x0,f（x0）)處的切線的斜率，切線PT的方程是y－f（x0）＝f′（x0）(x－x0）.類型一求瞬時速度、瞬時加速度例1已知質(zhì)點M的運動速度與運動時間的關(guān)系為v＝3t2＋2（速度單位：cm/s，時間單位：s）．(1)當t＝2,Δt＝0。01時,求eq\f(Δv,Δt)；(2）求質(zhì)點M在t＝2時的瞬時加速度．反思與感悟（1)求瞬時速度的關(guān)鍵在于正確表示“位移的增量與時間增量的比值”,求瞬時加速度的關(guān)鍵在于正確表示“速度的增量與時間增量的比值”，注意二者的區(qū)別．(2)求瞬時加速度：①求平均加速度eq\f（Δv，Δt)；②令Δt→0，求出瞬時加速度．跟蹤訓練1質(zhì)點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m,時間單位：s），若質(zhì)點M在t＝2s時的瞬時速度為8m/s，求常數(shù)a的值．類型二求曲線在某點處的切線方程例2已知曲線C：y＝eq\f（1，3）x3＋eq\f(4,3)。（1)求曲線C在橫坐標為2的點處的切線方程；（2）第（1)小題中的切線與曲線C是否還有其他公共點?反思與感悟（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義知函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)就是曲線在該點處切線的斜率，再由直線方程的點斜式便可求出曲線在該點處的切線方程．注意若在點（x0，y0)處切線的傾斜角為eq\f(π，2)，此時所求的切線平行于y軸，所以直線的切線方程為x＝x0.(2）曲線的切線與曲線的交點可能不止一個．跟蹤訓練2曲線y＝x3＋11在點P（1，12）處的切線與y軸交點的縱坐標是________．類型三求切點的坐標例3已知拋物線y＝2x2＋1分別滿足下列條件，求出切點的坐標．(1)切線的傾斜角為45°；(2）切線平行于直線4x－y－2＝0；(3）切線垂直于直線x＋8y－3＝0.反思與感悟根據(jù)切線斜率求切點坐標的步驟：（1）設(shè)切點坐標（x0，y0）；(2)求導函數(shù)f′(x)；(3）求切線的斜率f′(x0)；（4)由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于x0的方程,解方程求x0；(5)點(x0，y0）在曲線f（x)上，將x0代入求y0得切點坐標．跟蹤訓練3已知直線l：y＝4x＋a與曲線C：y＝2x2相切，求a的值及切點坐標．1．若做直線運動的物體的速度（單位：m/s）與時間（單位：s)的關(guān)系為v（t)＝t2－2，則在前4s內(nèi)的平均速度是________m/s，在t＝4s時的瞬時速度是________m/s。2．已知曲線y＝2x2上一點A（1，2）,則A處的切線斜率為________．3．若曲線y＝x2＋ax＋b在點(0,b）處的切線方程是x－y＋1＝0,則a＝________，b＝________.4．如圖，函數(shù)y＝f（x）的圖象在點P處的切線方程是y＝－x＋8，則f(5)＋f′（5）＝________.1．平均變化率和瞬時變化率的關(guān)系平均變化率eq\f(Δy,Δx）＝eq\f（fx0＋Δx－fx0,Δx），當Δx趨于0時，它所趨于的一個常數(shù)就是函數(shù)在x0點的瞬時變化率．即有:Δx趨于0是指自變量間隔Δx越來越小,能達到任意小的間隔，但始終不能為0，即對于瞬時變化率，我們通過減小自變量的改變量以致趨于零的方式，實現(xiàn)用割線斜率“逼近”切線斜率，用平均速度“逼近"瞬時速度．一般地，可以用平均變化率“逼近”瞬時變化率．2．不管是求切線的斜率、瞬時速度和瞬時加速度，還是求實際問題中的瞬時變化率，它們的解題步驟是一樣的：(1）計算Δy；(2）求eq\f(Δy，Δx);(3)看Δx→0時，eq\f（Δy，Δx)無限趨近于哪個常數(shù)．提醒：完成作業(yè)1.1.2(一)

答案精析問題導學知識點一思考1切線與曲線不一定只有一個公共點,如圖，曲線C在點P處的切線l與曲線C還有一個公共點Q.思考2曲線上某一點處的切線,其含義是以該點為切點的切線．知識點二思考不是．瞬時加速度刻畫的是速度在某一時刻的變化快慢，瞬時加速度為0,并不是速度為0.題型探究例1解eq\f(Δv，Δt)＝eq\f(vt＋Δt－vt,Δt)＝eq\f(3t＋Δt2＋2－3t2＋2,Δt)＝6t＋3Δt.（1)當t＝2，Δt＝0.01時，eq\f（Δv，Δt）＝6×2＋3×0.01＝12.03（cm/s2）．（2）當Δt無限趨近于0時，6t＋3Δt無限趨近于6t，則質(zhì)點M在t＝2時的瞬時加速度為12cm/s2。跟蹤訓練1解質(zhì)點M在t＝2時的瞬時速度即為函數(shù)在t＝2處的瞬時變化率．∵質(zhì)點M在t＝2附近的平均變化率eq\f（Δs，Δt)＝eq\f(s2＋Δt－s2,Δt）＝eq\f(a2＋Δt2－4a，Δt)＝4a＋aΔt，從而當Δt→0時，4a＋aΔt→4a，∴4a＝8，即a＝2。例2解(1）eq\f（Δy,Δx)＝eq\f（［\f(1,3）2＋Δx3＋\f(4,3）］－\f(1，3）×23＋\f（4,3），Δx）＝4＋2Δx＋eq\f(Δx2，3），當Δx→0時，eq\f(Δy，Δx)→4?！嗲€C在橫坐標為2的點處切線的斜率為4,又切點的縱坐標為y＝eq\f（1，3）×23＋eq\f(4,3)＝4，∴所求切線方程為y－4＝4（x－2），即4x－y－4＝0.（2)由題意得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－y－4＝0，,y＝\f(1,3)x3＋\f（4,3)，))得：x3－12x＋16＝0。可化為（x－2)2（x＋4）＝0，可得x＝2或x＝－4，當x＝－4時，y＝－20。故切線與曲線C還有一個公共點(－4，－20）．跟蹤訓練29例3解設(shè)切點坐標為（x0，y0）,則Δy＝2(x0＋Δx）2＋1－2xeq\o\al(2,0)－1＝4x0·Δx＋2（Δx)2，∴eq\f(Δy，Δx)＝4x0＋2Δx,當Δx→0時,eq\f(Δy,Δx）→4x0，即f′(x0)＝4x0.（1)∵拋物線的切線的傾斜角為45°，∴斜率為tan45°＝1，即f′（x0)＝4x0＝1，解得x0＝eq\f(1,4)，∴切點坐標為(eq\f(1，4)，eq\f(9，8））．（2）∵拋物線的切線平行于直線4x－y－2＝0，∴k＝4，即f′（x0）＝4x0＝4,解得x0＝1,∴切點坐標為(1，3）．(3)∵拋物線的切線與直線x＋8y－3＝0垂直,∴k·(－eq\f(1,8))＝－1，即k＝8，∴f′（x0）＝4x0＝8，解得x0＝2，∴切點坐標為(2，9)．跟蹤訓練3解設(shè)直線l與曲線C相切于點（x0,y0)，∵eq\f（Δy，Δx)＝eq\f(2x0＋Δx2－2x\o\al（2,0）,Δx）＝4x0＋2Δx，當Δx→0時，eq\f（Δy,Δx)→4x0。