2017版數學知識方法篇專題8概率與統(tǒng)計第36練含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第36練“排列、組合”?？紗栴}［題型分析·高考展望]該部分是高考數學中相對獨特的一個知識板塊，知識點并不多，但解決問題的方法十分靈活,主要內容是分類加法計數原理和分步乘法計數原理、排列與組合、二項式定理等，在高考中占有特殊的位置.高考試題主要以選擇題和填空題的方式呈現，考查排列、組合的應用。體驗高考1。（2015·四川）用數字0，1，2,3,4，5組成沒有重復數字的五位數,其中比40000大的偶數共有（)A.144個B.120個C.96個D。72個答案B解析由題意，首位數字只能是4，5，若萬位是5，則有3×Aeq\o\al(3，4)＝72(個)；若萬位是4，則有2×Aeq\o\al（3，4)＝48（個），故比40000大的偶數共有72＋48＝120（個）.選B。2.（2016·課標全國甲）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為()A.24B.18C。12D.9答案B解析從E點到F點的最短路徑有6種，從F點到G點的最短路徑有3種,所以從E點到G點的最短路徑為6×3＝18（種），故選B.3。(2016·四川）用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中奇數的個數為(）A.24B.48C.60D.72答案D解析由題可知,五位數要為奇數，則個位數只能是1，3，5；分為兩步：先從1,3，5三個數中選一個作為個位數有Ceq\o\al（1，3)，再將剩下的4個數字排列得到Aeq\o\al（4，4),則滿足條件的五位數有Ceq\o\al（1，3）·Aeq\o\al(4,4）＝72（個）.選D.4。（2015·廣東)某高三畢業(yè)班有40人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了________條畢業(yè)留言（用數字作答）.答案1560解析依題意兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言相當于從40人中任選兩人的排列數，所以全班共寫了Aeq\o\al（2，40)＝40×39＝1560(條)畢業(yè)留言。高考必會題型題型一排列問題例1(1）在5×5的棋盤中,放入3顆黑子和2顆白子，它們均不在同一行且不在同一列，則不同的排列方法種數為(）A.150B。200C.600D。1200（2）即將畢業(yè)的6名同學排成一排照相留念,個子較高的明明同學既不能站最左邊，也不能站最右邊，則不同的站法種數為________.答案（1）D(2）480解析(1）由已知，第一顆棋子有5×5＝25(種）放法，由于放入3顆黑子和2顆白子，它們均不在同一行且不在同一列，所以第二顆棋子有4×4＝16(種）放法,第三顆棋子有3×3＝9(種）放法,第四顆棋子有2×2＝4（種）放法，第五顆棋子有1種放法，又由于黑子、白子分別相同,所以不同的排列方法種數為eq\f(25×16×9×4×1,3×2×1×2×1）＝1200，選D.（2）方法一（位置分析法)先從其他5人中安排2人分別站在最左邊和最右邊，再安排余下4人的位置,分為兩步：第1步，從除明明外的5人中選2人分別站在最左邊和最右邊,有Aeq\o\al(2,5)種站法；第2步，余下4人(含明明)站在剩下的4個位置上，有Aeq\o\al（4，4）種站法.由分步乘法計數原理，知共有Aeq\o\al（2,5)Aeq\o\al(4，4)＝480（種)不同的站法.方法二（元素分析法)先安排明明的位置，再安排其他5人的位置，分為兩步：第1步，將明明排在除最左邊、最右邊外的任意位置上,有Aeq\o\al（1,4）種站法；第2步，余下5人站在剩下5個位置上，有Aeq\o\al（5，5）種站法.由分步乘法計數原理，知共有Aeq\o\al（1,4）Aeq\o\al（5，5)＝480(種)不同的站法.方法三(反面求解法)6人沒有限制的排隊有Aeq\o\al（6,6)種站法,明明站在最左邊或最右邊時6人排隊有2Aeq\o\al（5，5）種站法，因此符合條件的不同站法共有Aeq\o\al（6,6）－2Aeq\o\al（5,5）＝480（種）。點評求解排列問題的常用方法(1）特殊元素(特殊位置）優(yōu)先法;（2)相鄰問題捆綁法；(3）不相鄰問題插空法;(4）定序問題縮倍法;（5）多排問題一排法.變式訓練1(1)6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數為（）A。144B。120C。72D。24（2）有甲、乙、丙、丁、戊5位同學,求：①5位同學站成一排，有________種不同的方法；②5位同學站成一排,要求甲乙必須相鄰，丙丁不能相鄰,有________種不同的方法。答案(1)D(2）①120②24解析（1）剩余的3個座位共有4個空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數為Aeq\o\al(3,4）＝4×3×2＝24.（2)①Aeq\o\al(5，5）＝120。②5位同學站成一排,要求甲乙必須相鄰，丙丁不能相鄰,故有Aeq\o\al（2,2)Aeq\o\al（2，2)Aeq\o\al(2,3）＝24種不同的排法.題型二組合問題例2在一次國際抗震救災中，從7名中方搜救隊隊員，4名外籍搜救隊隊員中選5名組成一支特殊搜救隊到某地執(zhí)行任務,按下列要求，分別計算有多少種組隊方法。（1）至少有2名外籍搜救隊隊員;(2）至多有3名外籍搜救隊隊員.解（1)方法一（直接法）由題意,知特殊搜救隊中“至少有2名外籍搜救隊隊員”可分為3類：①有2名外籍隊員，共有Ceq\o\al（3，7）·Ceq\o\al（2，4)種組隊方法；②有3名外籍隊員,共有Ceq\o\al(2，7）·Ceq\o\al(3,4)種組隊方法；③有4名外籍隊員，共有Ceq\o\al(1,7)·Ceq\o\al（4，4)種組隊方法.根據分類加法計數原理，知至少有2名外籍搜救隊隊員共有Ceq\o\al(3,7)·Ceq\o\al(2,4）＋Ceq\o\al(2,7）·Ceq\o\al(3，4）＋Ceq\o\al(1,7)·Ceq\o\al(4,4）＝301(種)不同的組隊方法。方法二(間接法)由題意，知特殊搜救隊中“至少有2名外籍搜救隊隊員”的對立事件為“至多有1名外籍搜救隊隊員"，可分為2類：①只有1名外籍搜救隊隊員，共有Ceq\o\al（4,7)Ceq\o\al（1,4）種組隊方法；②沒有外籍搜救隊隊員，共有Ceq\o\al（5,7）Ceq\o\al（0，4）種組隊方法。所以至少有2名外籍搜救隊隊員共有Ceq\o\al(5,11)－Ceq\o\al(4,7）Ceq\o\al（1,4)－Ceq\o\al(5，7)Ceq\o\al(0,4）＝301(種）不同的組隊方法。(2）方法一(直接法)由題意，知“至多有3名外籍搜救隊隊員”可分為4類:①有3名外籍搜救隊隊員，共有Ceq\o\al(2,7）Ceq\o\al（3，4）種方法；②有2名外籍搜救隊隊員，共有Ceq\o\al（3,7)Ceq\o\al（2,4）種方法；③有1名外籍搜救隊隊員，共有Ceq\o\al(4，7)Ceq\o\al（1，4）種方法；④沒有外籍搜救隊隊員,共有Ceq\o\al（5,7）種方法.由分類加法計數原理，知至多有3名外籍搜救隊隊員共有Ceq\o\al（2，7）Ceq\o\al(3，4）＋Ceq\o\al（3,7)Ceq\o\al（2,4)＋Ceq\o\al(4,7）Ceq\o\al（1，4)＋Ceq\o\al（5,7）＝455(種)不同的組隊方法。方法二(間接法)由題意,知“至多有3名外籍搜救隊隊員”的對立事件為“至少有4名外籍搜救隊隊員”.因為至少有4名外籍搜救隊隊員，共有Ceq\o\al（1,7）Ceq\o\al(4,4)種組隊方法，所以至多有3名外籍搜救隊隊員共有Ceq\o\al(5,11)－Ceq\o\al（1,7)Ceq\o\al（4，4）＝455(種）不同組隊方法.點評（1）先看是否與排列順序有關，從而確定是否為組合問題。（2)看是否需要分類、分步，如何確定分類標準。（3）判斷是否為“分組"問題，避免重復.變式訓練2(1)從不同號碼的三雙靴子中任取4只，其中恰好有一雙的取法種數為（）A.12B.24C。36D。72（2)從3名骨科、4名腦外科和5名內科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災醫(yī)療小組,則骨科、腦外科和內科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數是________.(用數字作答)答案（1）A(2）590解析(1）恰好有一雙的取法種數為Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al（1，2)Ceq\o\al(1，2)＝12。（2）分三類：①選1名骨科醫(yī)生,則有Ceq\o\al(1,3）（Ceq\o\al(1，4)Ceq\o\al（3,5）＋Ceq\o\al(2，4)Ceq\o\al（2，5)＋Ceq\o\al(3，4)Ceq\o\al(1，5))＝360(種）。②選2名骨科醫(yī)生，則有Ceq\o\al(2,3）(Ceq\o\al（1，4)Ceq\o\al(2，5)＋Ceq\o\al（2，4）Ceq\o\al(1,5）)＝210（種）。③選3名骨科醫(yī)生，則有Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,4）Ceq\o\al(1,5)＝20（種）.∴骨科、腦外科和內科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數是360＋210＋20＝590。題型三排列與組合的綜合應用問題例34個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒子內。（1）恰有1個盒子不放球,共有幾種放法?(2)恰有1個盒子內有2個球，共有幾種放法？（3）恰有2個盒子不放球，共有幾種放法?解(1)為保證“恰有1個盒子不放球”，先從4個盒子中任意取出一個，問題轉化為“4個球，3個盒子，每個盒子都要放入球，共有幾種放法?",即把4個球分成2，1，1的三組，然后再從3個盒子中選1個放2個球，其余2個球放在另外2個盒子內，由分步乘法計數原理,共有Ceq\o\al（1，4)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al（1，3)Aeq\o\al（2,2）＝144(種)。(2）“恰有1個盒子內有2個球”，即另外3個盒子放2個球,每個盒子至多放1個球，也即另外3個盒子中恰有一個空盒，因此，“恰有1個盒子內有2個球”與“恰有1個盒子不放球"是同一件事,所以共有144種放法。（3）確定2個空盒有Ceq\o\al(2，4）種方法。4個球放進2個盒子可分成（3，1）、(2，2)兩類，第一類有序不均勻分組有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1，1)Aeq\o\al（2，2）種方法;第二類有序均勻分組有eq\f(C\o\al(2,4）C\o\al（2，2)，A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(2,2)種方法。故共有Ceq\o\al(2，4）（Ceq\o\al（3，4)Ceq\o\al（1,1）Aeq\o\al(2,2）＋eq\f（C\o\al(2,4)C\o\al（2，2），A\o\al(2,2））·Aeq\o\al（2,2))＝84(種)。點評(1）排列、組合混合問題一般“先選后排".（2)對于較復雜的排列、組合問題，應按元素的性質或題意要求進行分類,對事件發(fā)生的過程進行分步,做到分類標準明確,分步層次清楚，才能保證不“重”不“漏”。(3）關于“至少"“至多”等計數問題，一般需要進行分類,若分類比較復雜,可用間接法，找出其對立事件來求解。變式訓練3（1)將A、B、C、D、E、F六個字母排成一排，且A、B均在C的同側，則不同的排法共有________種。（用數字作答）（2）把A、B、C、D四件玩具分給三個小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且A、B兩件玩具不能分給同一個人，則不同的分法有(）A。36種B.30種C。24種D.18種答案（1）480(2)B解析（1)分類討論:A、B都在C的左側，且按C的左側分別有兩個、三個、四個、五個字母這4類計算，再考慮右側情況。所以共有2（Aeq\o\al（2，2)Aeq\o\al(3，3）＋Ceq\o\al(1，3）Aeq\o\al（3,3）Aeq\o\al（2,2）＋Ceq\o\al(2,3）Aeq\o\al（4，4)＋Aeq\o\al(5,5))＝480（種）.（2）由題意A、B兩件玩具不能分給同一個人，因此分法為Ceq\o\al（1，3）(Ceq\o\al（2,4）－1)Aeq\o\al（2，2)＝3×5×2＝30（種).高考題型精練1.A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊(A、B可以不相鄰)，那么不同的排法共有（)A。24種B.60種C.90種D.120種答案B解析五人并排站成一排,有Aeq\o\al（5，5）種情況，而其中B站在A的左邊與B站在A的右邊是等可能的，則B站在A的右邊的排法共有eq\f(1,2)Aeq\o\al(5,5）＝60（種）.2。A，B，C，D，E,F六人圍坐在一張圓桌周圍開會,A是會議的中心發(fā)言人，必須坐在最北面的椅子上,B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（)A。60種B。48種C.30種D。24種答案B解析由題知，不同的座次有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al（4,4)＝48(種).3.將2名教師、4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成,不同的安排方案共有()A。10種B。8種C。9種D。12種答案D解析第一步，為甲地選一名老師，有Ceq\o\al（1，2）＝2（種）選法；第二步,為甲地選兩個學生,有Ceq\o\al(2,4)＝6（種)選法;第三步，為乙地選1名教師和2名學生,有1種選法,故不同的安排方案共有2×6×1＝12（種）。4.某學校食堂早餐只有花卷、包子、面條和蛋炒飯四種主食可供食用，有5名同學前去就餐，每人只選擇其中一種，且每種主食都至少有一名同學選擇。已知花卷數量不足,僅夠一人食用，甲同學腸胃不好不會選擇蛋炒飯，則這5名同學不同的主食選擇方案種數為(）A。144B.132C。96D.48答案B解析分類討論：甲選花卷,其余4人中有2人選同一種主食，方法有Ceq\o\al（2,4）Ceq\o\al（1，3)＝18(種），剩下2人選其余主食，方法有Aeq\o\al（2，2)＝2(種），共有方法18×2＝36（種）；甲不選花卷,其余4人中有1人選花卷，方法有4種，甲選包子或面條,方法有2種，其余3人若有1人選甲選的主食，剩下2人選其余主食，方法有3Aeq\o\al（2，2)＝6（種）,若沒有人選甲選的主食，方法有Ceq\o\al(2,3）Aeq\o\al(2,2)＝6(種)，共有4×2×（6＋6）＝96（種)，故共有36＋96＝132(種），故選B。5.現有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張,不同取法的種數為()A。232B。252C。472D。484答案C解析分兩類：第一類,含有1張紅色卡片，共有不同的取法Ceq\o\al(1,4）Ceq\o\al(2,12)＝264(種)；第二類，不含有紅色卡片，共有不同的取法Ceq\o\al(3,12）－3Ceq\o\al（3,4)＝220－12＝208(種)。由分類加法計數原理知不同的取法有264＋208＝472(種).6。如圖，用6種不同的顏色把圖A,B,C，D，4塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則涂色方法共有________種(用數字作答)。答案480解析從A開始涂色，A有6種涂色方法,B有5種涂色方法,C有4種涂色方法,D有4種涂色方法，由分步乘法計數原理可知，共有6×5×4×4＝480(種)涂色方法。7。某城市的交通道路如圖，從城市的西南角A到城市東北角B，不經過十字道路維修處C，最近的走法種數是________.答案66解析從城市的西南角A到城市的東北角B，最近的走法種數共有Ceq\o\al(4，9)＝126(種）走法，從城市的西南角A經過十字道口維修處C，最近的走法有Ceq\o\al(2，5)＝10(種），從C到城市的東北角B，最近的走法有Ceq\o\al（2,4）＝6(種)，所以從城市西南角A到城市的東北角B,經過十字道路維修處C最近的走法有10×6＝60(種)，所以從城市的西南角A到城市東北角B，不經過十字道路維修處C，最近的走法有126－60＝66(種）。8.如果一個三位正整數如“a1a2a3"滿足a1<a2且a2>a3，則稱這個三位數為凸數（如120,343,275等)，那么所有凸數的個數為________.答案240解析可根據中間數進行分類，中間數依次可為2，3，4，5，6，7，8，9,然后確定百位和個位，共有1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋5×6＋6×7＋7×8＋8×9＝240（個）.9.“霧霾治理"“光盤行動”“網絡反腐"“法治中國”“先看病后付費”成為社會關注的5個熱點。小王想在國慶節(jié)期間調查一下社會對這些熱點的關注度。若小王準備從中選取4個熱點分別進行調查，則“霧霾治理"作為其中的一個調查熱點，但不作為第一個調查熱點的種數為________.答案72解析先從“光盤行動”“網絡反腐”“法治中國”“先看病后付費”這4個熱點中選出3個,有Ceq\o\al（3，4)種不同的選法。在調查時，“霧霾治理”的安排順序有Aeq\o\al（1，3)種可能情況，其余3個熱點的安排順序有Aeq\o\al(3，3)種，故不同調查順序的種數為Ceq\o\al（3，4）Aeq\o\al(1，3)Aeq\o\al(3，3）＝72。10。一個質點從原點出發(fā)，每秒末必須向右、或向左、或向上、或向下跳一個單位長度，則此質點在第8秒末到達點P（4,2）的跳法共有________種。答案448解析分兩類情況討論：第一類：向右跳4次，向上跳3次，