2018-2019學(xué)年山東省泰安市第一中學(xué)高二10月學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2018-2019學(xué)年山東省泰安市第一中學(xué)高二10月學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試題此卷此卷只裝訂不密封班級姓名準(zhǔn)考證號考場號座位號數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后,請將本試題卷和答題卡一并上交。一、單選題1．若數(shù)列的前項(xiàng)分別是，則此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為A．B．C．D．2．已知實(shí)數(shù)，且，,那么下列不等式一定正確的是A．B．C．D．3．關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．B．C．D．4．中國古代數(shù)學(xué)著作《張丘建算經(jīng)》卷上二十三“織女問題”:今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈,問日益幾何，其意思為：有一個(gè)女子很會(huì)織布，一天比一天織得快，而且每天增加的長度都是一樣的，已知第一天織5尺,經(jīng)過一個(gè)月（30天）后，共織布九匹三丈，問每天多織布多少尺？(注：1匹=4丈，1丈=10尺）。A．B．C．D．5．關(guān)于的不等式的解集是空集，則實(shí)數(shù)的范圍為A．B．C．D．6．若且則關(guān)于的不等式的解集為A．B．C．D．7．已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列中，與的一個(gè)等比中項(xiàng)為，則的最小值為A．1B．4C．D．88．若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)A．B．C．D．9．已知數(shù)列為等差數(shù)列,若,且它們的前n項(xiàng)和有最大值，則使得的n的最大值為A．19B．20C．21D．2210．設(shè)是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是A．若,則B．若，則C．若，則D．若,則11．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．B．C．D．12．定義函數(shù)如下表，數(shù)列滿足，。若，則A．7042B．7058C．7063D．7262二、填空題13．函數(shù)的最小值為__________．14．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為__________．15．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，若,，.則__________．16．將等差數(shù)列1，4，7……，按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)陣.根據(jù)這個(gè)排列規(guī)則，數(shù)陣中第20行從左至右的第3個(gè)數(shù)是_______三、解答題17．（本小題滿分10分)解下列關(guān)于的不等式：（1）；(2）。18．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,，.（1）若，求的通項(xiàng)公式；(2）若，求。19．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為。其中，，且時(shí)，有成立.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）若數(shù)列是首項(xiàng)與公比均為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和為。20．（本小題滿分12分）已知數(shù)列中,,.且對，有。設(shè)，求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；求數(shù)列的前項(xiàng)和。21．（本小題滿分12分）一個(gè)生產(chǎn)公司投資A生產(chǎn)線萬元，每萬元可創(chuàng)造利潤萬元.該公司通過引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)，在生產(chǎn)線A投資減少了萬元，且每萬元的利潤提高了；若將少用的萬元全部投入B生產(chǎn)線,每萬元?jiǎng)?chuàng)造的利潤為萬元，其中.（1）若技術(shù)改進(jìn)后A生產(chǎn)線的利潤不低于原來A生產(chǎn)線的利潤，求的取值范圍；（2）若生產(chǎn)線B的利潤始終不高于技術(shù)改進(jìn)后生產(chǎn)線A的利潤，求的最大值。22．（本小題滿分12分）設(shè)公差不為的等差數(shù)列的首項(xiàng)為,且構(gòu)成等比數(shù)列．(1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的前項(xiàng)和為；（2）令,若對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。2018-2019學(xué)年山東省泰安市第一中學(xué)高二10月學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試題數(shù)學(xué)答案參考答案1．A【解析】數(shù)列的前4項(xiàng)分別是,可得奇數(shù)項(xiàng)為正數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù),第n項(xiàng)的絕對值等于,故此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為故選A2．D【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)對選項(xiàng)逐一檢驗(yàn)即可?！驹斀狻窟x項(xiàng)中若時(shí)，不等式不成立.錯(cuò)。選項(xiàng)中滿足條件時(shí)，不等式成立，題設(shè),故錯(cuò)誤.中若時(shí)結(jié)論不成立，故錯(cuò)誤.中由同向不等式的可加性可得，則成立，選?！军c(diǎn)睛】判斷一個(gè)結(jié)論不成立，只需要一個(gè)反例即可，判斷一個(gè)結(jié)論成立必須要有嚴(yán)格的邏輯推理.3．A【解析】【分析】由判別式判斷方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,再由根與系數(shù)的關(guān)系限制兩根均為正實(shí)數(shù)即可?！驹斀狻糠匠逃袃蓚€(gè)不相等正實(shí)根，則，解得。選.【點(diǎn)睛】在的情況下，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，本題即利用了兩根之和兩根之積均為正來限制正實(shí)根這個(gè)條件.4．C【解析】設(shè)每天多織布d尺，由題意得：，解得，每天多織布尺，故選C．5．B【解析】【分析】先將時(shí)的結(jié)果代入不等式檢驗(yàn)是否有解,再將時(shí)不等式的解集為空集轉(zhuǎn)化函數(shù)的圖象始終在軸下方，利用二次函數(shù)知識(shí)求解?！驹斀狻竣佼?dāng)，解得或，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，不符合題意；當(dāng)時(shí)，代入不等式得不成立，故符合題意.②當(dāng)時(shí)，令，解集為空集，則有解得。由①②可得，選.【點(diǎn)睛】一元二次式的二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)時(shí),要討論其系數(shù)為0的情況.這也是本題的易錯(cuò)點(diǎn)，很多考生忽略而導(dǎo)致解題失誤。6．B【解析】【分析】可變成,變?yōu)?利用一元二次不等式解法可求得結(jié)果?！驹斀狻?，則，因?yàn)?，則，的解集為,選?！军c(diǎn)睛】解一元二次不等式要注意不等式中二次項(xiàng)系數(shù)的符號。7．D【解析】【分析】利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到，再利用均值不等式求最值.【詳解】由題意可得等比數(shù)列中，則有.數(shù)列各項(xiàng)均為正，則.選.【點(diǎn)睛】等比數(shù)列中等比中項(xiàng)的性質(zhì)：等比數(shù)列中,,若,則.8．B【解析】【分析】先去絕對值,再對分類討論求不等式解集與已知對照求?！驹斀狻縿t，，若,則，則,解得（舍)若，不等式恒成立.（舍）若，則，則，則,選。【點(diǎn)睛】解題中注意對分類討論。9．B【解析】由題意可得，又由有最大值，可知等差數(shù)列｛an｝的，所以，所以，即Sn＞0的n的最大值為19.選B.10．B【解析】選項(xiàng)中，，分別取即可得錯(cuò)誤;假設(shè)，則，公差，,即正確；C選項(xiàng)中，，分別取即可得C錯(cuò)誤；項(xiàng)中無法判斷公差的正負(fù)，故無法判斷正負(fù)，即錯(cuò)誤,故選B.11．C【解析】【分析】通過換元令，函數(shù)可變?yōu)閷⒑愠闪⒖赊D(zhuǎn)化為在上恒成立。即，大于0恒成立,通過對與區(qū)間之間的關(guān)系討論得出結(jié)果?！驹斀狻亢瘮?shù)，令，函數(shù)可變?yōu)?當(dāng)時(shí)，.故恒成立可轉(zhuǎn)化為在上恒成立。令,①當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，解得，又有，所以.②當(dāng)即時(shí),在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí),解得,又，則.③當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減,則當(dāng)時(shí)，解得，又有，無解.綜上可得。選.【點(diǎn)睛】通過換元法將帶根號的式子轉(zhuǎn)化為二次式求解是本題的基本思路.二次式中涉及到有限制條件的恒成立問題,要注意對稱軸與限制區(qū)間之間的關(guān)系，對參數(shù)進(jìn)行分類討論.12．C【解析】分析：利用題設(shè)條件，結(jié)合函數(shù)定義能夠推導(dǎo)出數(shù)列是周期為6的周期數(shù)列,由此能求出數(shù)列的前2018項(xiàng)的和。詳解：由題設(shè)知,，，，，，∵,，，∴，，，,，，……，∴是周期為6的周期數(shù)列，∵，∴,故選C。點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的定義和數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出數(shù)列是周期為6的周期數(shù)列。13．5【解析】，,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故答案為?！疽族e(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查利用基本不等式求最值,屬于難題.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是,首先要判斷參數(shù)是否為正;二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大,積定和最?。?；三相等是,最后一定要驗(yàn)證等號能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi),二是多次用或時(shí)等號能否同時(shí)成立)。14．16【解析】分析:利用基本不等式將和為定值轉(zhuǎn)化為積的最值，即可得出結(jié)果詳解:∵正數(shù)滿足，∴，可化為，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號，故的最小值為16，故答案為16。點(diǎn)睛：本題考查了基本不等式的性質(zhì)，以及運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．【解析】【分析】根據(jù)遞推得到,判斷數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列中公式求解即可。【詳解】，則，所以,，。當(dāng)時(shí),，，.所以從第二項(xiàng)起，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，。【點(diǎn)睛】由求通項(xiàng)公式一定要注意檢驗(yàn)的情況,本題中很容易錯(cuò)解認(rèn)為數(shù)列是等比數(shù)列.16．577【解析】【分析】由等差數(shù)列的特征得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)三角形數(shù)陣的特點(diǎn)找出第20行3列的數(shù)代入公式計(jì)算即可.【詳解】由題意可得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，由三角形數(shù)陣的特點(diǎn)可知第20行3列的數(shù)為：，過數(shù)陣中第20行3列的數(shù)是數(shù)列的第193項(xiàng)，中.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生的觀察能力以及數(shù)列的簡單知識(shí)。本題解題的關(guān)鍵是找到三角形數(shù)陣中數(shù)排列的規(guī)律.17．（I)（II）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為｛0｝，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，，當(dāng)時(shí)，不等式的解集【解析】試題分析：（1）化為,等價(jià)不等式求解即可；（2）分三種情況討論，分別求解一元二次不等式即可.試題解析：（I）將原不等式化為，即所以原不等式的解集。(II）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為{0｝;當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，因此當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述,當(dāng)時(shí)，不等式的解集為｛0｝，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，，當(dāng)時(shí)，不等式的解集18．（1）;(2）21或?！窘馕觥俊驹斀狻吭囶}分析：（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列公比為,由已知條件求出，再寫出通項(xiàng)公式;（2）由，求出的值，再求出的值，求出。試題解析：設(shè)等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列公比為有,即。(1）∵，結(jié)合得，∴.（2)∵,解得或3，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí).19．（1）（2）【解析】【分析】（1)根據(jù)遞推公式得出,驗(yàn)證，得到數(shù)列是等差數(shù)列,利用公式求通項(xiàng)公式.（2）由題意直接得到，將變?yōu)?，通過分組利用等比數(shù)列求和公式以及裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】解：（1）由遞推得,則，所以，①又時(shí)，，即.又，，則滿足①，則，則數(shù)列是等差數(shù)列，公差。所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。(2)令,數(shù)列是首項(xiàng)與公比均為2的等比數(shù)列,則,又，數(shù)列的前項(xiàng)和為：?！军c(diǎn)睛】(1）通過遞推得到，這里是很多考生容易忽略導(dǎo)致丟分的地方；（2)中求和時(shí)成功裂項(xiàng)是本題解題的關(guān)鍵地方.20．證明見解析;，?！窘馕觥俊痉治觥坑蛇f推關(guān)系直接推導(dǎo)，即可得證數(shù)列為等比數(shù)列;再根據(jù)等比數(shù)列公式求的通項(xiàng)公式.由可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為等比數(shù)列，則可以通過分組求和求.【詳解】證明:,則,,則，，，數(shù)列為公比為的等比數(shù)列.，則.由題意可知，【點(diǎn)睛】證明數(shù)列是等差或者等比數(shù)列,通常都是通過遞推式子先將數(shù)列的第項(xiàng)和第項(xiàng)表示出來后再找其相互之間的關(guān)系.本題解題中要注意數(shù)列是一個(gè)分段數(shù)列，求和時(shí)注意分組求和。21．（1)（2）5.5【解析】【分析】（1）分別列出技術(shù)改造前后利潤根據(jù)題意列出不等關(guān)系求解即可。（2）中不高于可轉(zhuǎn)化為式子之間的恒成立問題,通過參變分離求最值從而得參數(shù)范圍?！驹斀狻?1)由題意得:，整理得：故.（2）由題意知，生產(chǎn)線的利潤為萬元，技術(shù)改進(jìn)后，生產(chǎn)生的利潤為萬元，則恒成立，,且，．又,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,，的最大值為5.5.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，第二問實(shí)際問題中的不高于轉(zhuǎn)化為恒成立問題是本題解題的關(guān)鍵步驟,利用基本不等式求最值要注意變量的取值范圍。22．(1）,（2）【解析】【分析】(1)利用等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差,代入，求出，進(jìn)而求出；可看成是一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的乘積，故可用錯(cuò)位相減法求和。（2）通過分奇偶討論求出，再利用參變分離求的范圍?！驹斀狻?Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)，由題意，則，