人教B版必修第一冊(cè)1.2.1命題與量詞學(xué)案2

1.2常用邏輯用語(yǔ)2.1命題與量詞學(xué)習(xí)目標(biāo).通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境,抽象出命題的概念,學(xué)會(huì)判斷命題的真假,體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)..理解全稱量詞與存在量詞的意義,掌握用量詞符號(hào)表示全稱量詞命題和存在量詞命題,并會(huì)判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的真假..認(rèn)識(shí)兩種命題在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題中的作用，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.L命題的定義與分類(1)命題的定義:在數(shù)學(xué)中,我們把可供真假判斷的陳述語(yǔ)句叫做命題.⑵分類(真命題:判斷為真的語(yǔ)句命題彳一［假命題:判斷為"的語(yǔ)句思考1:命題概念中涉及幾個(gè)要點(diǎn)？答案:命題定義中涉及兩個(gè)要點(diǎn)：“可以判斷真假”和“陳述語(yǔ)句”.思考2:“命題一定是陳述句，但陳述句不一定是命題”這個(gè)說(shuō)法正確嗎？答案:正確.根據(jù)命題的定義，命題一定是陳述句，但陳述句中只有能夠判斷真假的才是命題.2.全稱量詞與全稱量詞命題@3xez,x3<l;②存在一個(gè)四邊形不是平行四邊形；③在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)都對(duì)應(yīng)一點(diǎn)P;@VxeN,x2>0.⑵判斷下列全稱量詞命題的真假.①所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；②Vx￡R,|x|+l，l;③對(duì)任意一個(gè)無(wú)理數(shù)X,X?也是無(wú)理數(shù).⑶判斷下列存在量詞命題的真假.①有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x2+2x+3=0;②平面內(nèi)存在兩條相交直線垂直于同一條直線；③有些平行四邊形是菱形.解：(1)①因?yàn)門￡Z,且所以"3xeZ,是真命題.②真命題，如梯形.③由有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系知，它是真命題.④因?yàn)?￡N,02=0,所以命題"VxEN,x2>0"是假命題.⑵①2是素?cái)?shù)，但2不是奇數(shù)，所以全稱量詞命題“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是假命題.②Vx￡R,總有|x|20,因而|x|+121,所以全稱量詞命題“VxWR,|x|+121”是真命題.③立是無(wú)理數(shù)，但（&）2=2是有理數(shù).所以全稱量詞命題“對(duì)任意一個(gè)無(wú)理數(shù)x,x2也是無(wú)理數(shù)”是假命題.⑶①由于△:22-4乂3=-8<0,因此一元二次方程x2+2x+3=0無(wú)實(shí)根.所以存在量詞命題“有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x?+2x+3=0”是假命題.②由于平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，因此平面內(nèi)不可能存在兩條相交直線垂直于同一條直線.所以,存在量詞命題”平面內(nèi)存在兩條相交直線垂直于同一條直線”是假命題.③由于正方形既是平行四邊形又是菱形,所以存在量詞命題“有些平行四邊形是菱形”是真命題.②好點(diǎn)些_利用全稱量詞命題、存在量詞命題的真假求參數(shù)的取值范圍［例4］已知命題p:3xe［-1,+oo）,2x+2-a=0為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：因?yàn)镻為真命題，即方程2x+2-a=0在［彳,+8）上有實(shí)根，所以a=2x+222X（-?+2=1,即a21,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為［1,+8）.［一題多變］將本例中的條件改為“Vx￡［-a+8），2x+2-a>0”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:由Vx￡[-去+8),2x+2-a>0為真命題,則a<(2x+2)ni=2X(-1)+2=1,得aG,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,1).利用含量詞的命題的真假求參數(shù)取值范圍的技巧⑴含參數(shù)的全稱量詞命題為真時(shí)，常轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問(wèn)題來(lái)處理,最終通過(guò)構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.⑵含參數(shù)的存在量詞命題為真時(shí),常轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解問(wèn)題來(lái)處理.針對(duì)訓(xùn)練：已知命題"VxER,x2+2x+2-a>0"為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：由Vx￡R,x2+2x+2-a>0為真命題，得函數(shù)y=x?+2x+2-a=(x+l)2+l-a的圖像在x軸上方,即l-a>0,得a〈l.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.語(yǔ)句“若a>b,則a-c>b-2c”(C)A.不是命題B.是真命題C.是假命題D.不能判斷真假解析:a-c>b-2c,即a>b-c,當(dāng)c<0時(shí),可能不成立.故選C..下列語(yǔ)句不是全稱量詞命題的是(C)A.任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘零都等于零B.自然數(shù)都是正整數(shù)C.高一⑴班絕大多數(shù)同學(xué)是團(tuán)員D.所有二次函數(shù)的圖像都開(kāi)口向上解析：“高一⑴班絕大多數(shù)同學(xué)是團(tuán)員”，即“高一(1)班有的同學(xué)不是團(tuán)員,是存在量詞命題.故選C.3.下列命題是假命題的是(B)A.VxeR,3x>0B.VxeN,x^lC.3xez,x<lD.3xeQ,解析:當(dāng)x=0時(shí)，OWN,但(KI,故“Vx￡N,x故1”是假命題.故選B..命題”有些負(fù)數(shù)滿足不等式(1+x)式-9x)2>0"用『寫(xiě)成存在量詞命題為.解析:存在量詞命題“存在M中的一個(gè)x,使p(x)成立"可用符號(hào)簡(jiǎn)記為為x￡M,p(x)”，因此命題可改寫(xiě)為"3x<0,(1+x)(1-9x)2>0".答案：也<0,(1+x)(1-9x)2〉0.若VxW(-8,2],xWa恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析:x〈a恒成立是指a大于等于x的最大值,故a22,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是⑵+8).答案：[2,+8)(1)一般地，“任意”“所有”“每一個(gè)”在陳述中表示所述事物的全佳，稱為全稱量詞,用符號(hào)表示.(2)含有全稱量詞的命題,稱為全稱量詞命題.因此全稱量詞命題就是形如“對(duì)集合M中的所有元素x,r(x)”的命題,可用符號(hào)簡(jiǎn)記為中￡M,r(x).思考3:同一個(gè)全稱量詞命題的表述是否是唯一的？答案:不唯一.對(duì)于同一個(gè)全稱量詞命題，由于自然語(yǔ)言不同，可以有不同的表述方法，只要含義正確即可.3.存在量詞與存在量詞命題一般地，“存在”“有”“至少有一個(gè)”在陳述中表示所述事物的個(gè)體或部分,稱為存在量詞,用符號(hào)“3”表示.(2)含有存在量詞的命題,稱為存在量詞命題.因此,存在量詞命題就是形如“存在集合M中的元素x,s(x)"的命題，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為"3x￡M,s(x)”.思考4:全稱量詞命題與存在量詞命題有什么區(qū)別？答案：(1)全稱量詞命題中的全稱量詞表明給定范圍內(nèi)所有對(duì)象都具有某一性質(zhì)，無(wú)一例外，強(qiáng)調(diào)“整體、全部”.(2)存在量詞命題中的存在量詞則表明給定范圍內(nèi)的對(duì)象有例外，強(qiáng)調(diào)“個(gè)別、部分”.思考5:(1)“一元二次方程ax2+2x+l=0有實(shí)數(shù)解”是存在量詞命題還是全稱量詞命題?請(qǐng)改寫(xiě)成相應(yīng)命題的形式.“不等式(m+1)x2-(m-l)x+3(m-1)<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立”是存在量詞命題還是全稱量詞命題?請(qǐng)改寫(xiě)成相應(yīng)命題的形式.答案：(1)是存在量詞命題.可改寫(xiě)為“mx￡R,ax2+2x+l=0”.⑵是全稱量詞命題.可改寫(xiě)成"VxGR,(m+l)x2-(m-l)x+3(m-l)<0v.(1)命題的結(jié)構(gòu)①命題的一般形式為“若P,則q".其中p叫做命題的條件,q叫做命題的結(jié)論.②確定命題的條件和結(jié)論時(shí)，常把命題改寫(xiě)成“若P,則q”的形式.(2)理解全稱量詞命題及存在量詞命題時(shí)應(yīng)關(guān)注的三點(diǎn)①全稱量詞命題就是陳述某集合中所有元素都具有某種性質(zhì)的命題；②有些命題省去了全稱量詞，但仍是全稱量詞命題,如“有理數(shù)是實(shí)數(shù)”，就是“所有的有理數(shù)都是實(shí)數(shù)”；③存在量詞命題就是陳述某集合中存在一個(gè)或部分元素具有某種性質(zhì)的命題,常見(jiàn)的存在量詞還有“有的”“存在”等.(3)常見(jiàn)的全稱量詞命題及存在量詞命題及其表述趁探究點(diǎn)一命題及其真假判斷命題全稱量詞命題VxeM,p(x)存在量詞命題3x^M,p(x)表①所有的x￡M,使p(x)成立①存在x￡M,使p(x)成立②至少有一個(gè)X2M,使p(x)成述方②對(duì)一切xWM,使p(x)成立立③對(duì)母?jìng)€(gè)xEM,使p(x)成乂③某些xWM,使p(x)成立法④對(duì)任意一個(gè)x￡M,使p(x)成④存在某一個(gè)x￡M,使p(x)成立⑤若xeM,則p(x)成立⑤有一個(gè)x￡M,使p(x)成立［例1］判斷下列語(yǔ)句是否為命題，若是，判斷其真假.(1)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？⑵一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；⑶平行四邊形的對(duì)角線相等且互相平分；⑷末位是0的整數(shù)能被5整除；(5)求證遍是無(wú)理數(shù).解：(1)疑問(wèn)句不是命題.(2)是命題,假命題.0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù).⑶是命題,假命題.因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線不一定相等.⑷是命題,真命題.⑸祈使句，不是命題.⑴判斷一個(gè)語(yǔ)句是否是命題關(guān)鍵看它是否符合兩個(gè)條件：“是陳述句”和“可以判斷真假”，而祈使句、疑問(wèn)句、感嘆句等都不是命題.(2)要判斷一個(gè)命題是假命題，只需要舉出一個(gè)反例即可,而要判斷一個(gè)命題是真命題，一般需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理論證.在判斷時(shí),要有推理依據(jù),有時(shí)應(yīng)綜合各種情況作出正確的判斷.針對(duì)訓(xùn)練:判斷下列語(yǔ)句是不是命題,若是,判斷其真假.(1)各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的整數(shù),能被3整除；⑵一個(gè)數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)；(3)2022年6月1日山東某地會(huì)下雨；(4)菱形的對(duì)角線互相垂直；(5)“向抗洪英雄學(xué)習(xí)！”解：(1)是命題,真命題.(2)是命題,假命題.⑶不是命題.(4)是命題，真命題.⑸是感嘆句，不是命題.[備用例1](1)下列命題中是真命題的是()A.若工=三，貝ijx=yxyB.若x2=l,則X=1C.若x=y,貝I)近二后D.若x<y,則x2<y2⑵判斷下列語(yǔ)句是否為命題,若是,判斷其真假.①x'-3x+2=0;②己知x,y為正整數(shù)，當(dāng)y=x+l時(shí)，y=3,x=2;③“大角所對(duì)的邊大于小角所對(duì)的邊”；④“x+y為有理數(shù)，則x,y也都是有理數(shù)”；⑤“△ABCs.B'C'".⑴解析:A正確.若x2=l,則x=±1,B錯(cuò)誤.若x=y<0,則后無(wú)意義,C錯(cuò)誤.若x<y<0,則x2>y2,D錯(cuò)誤.故選A.⑵解:①不能判斷真假,不是命題；②是命題，假命題；③是命題,是假命題.沒(méi)有說(shuō)明在同一個(gè)三角形中；④是命題，是假命題.如x=V3,y=_V3;⑤不能判斷真假，不是命題.至探究點(diǎn)二全稱量詞命題與存在量詞命題的判定［例2］判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題.⑴凸多邊形的外角和等于360°;(2)有些實(shí)數(shù)a,b能使|a-b|=|a|+|b|;⑶不相交的兩條直線是平行直線；⑷銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角；⑸負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)；(6)若x>0,則x+2>2.解：(1)可以改寫(xiě)為“所有的凸多邊形的外角和等于360?！?，是全稱量詞命題.⑵含有存在量詞“有些”，故是存在量詞命題.⑶可以改寫(xiě)為“所有不相交的兩條直線是平行直線”，因此是全稱量詞命題.⑷省略了全稱量詞“所有”，因此是全稱量詞命題.⑸省略了全稱量詞“所有”，是全稱量詞命題.⑹省略了全稱量詞“所有”，可以改寫(xiě)為“對(duì)所有實(shí)數(shù)X,若x>0,則有x+2>2”，是全稱量詞命題.⑴判斷一個(gè)命題是否為全稱量詞命題或存在量詞命題，關(guān)鍵看命題中是否含有全稱量詞或存在量詞.⑵要注意有些全稱量詞命題并不含全稱量詞,這時(shí)要根據(jù)命題涉及的意義去添補(bǔ)量詞再判斷.同一個(gè)全稱量詞命題或存在量詞命題的表述方法可能不同.針對(duì)訓(xùn)練:判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題.⑴有一個(gè)實(shí)數(shù)a不能有平方根；⑵所有不等式的解集A,都滿足ACR；(3)對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,若a>b,則乂士ab(4)有些三角形不是直角三角形；⑸自然數(shù)的平方是正數(shù).解：(1)含有存在量詞“有一個(gè)"，所以命題⑴為存在量詞命題.⑵含有全稱量詞“所有”，所以(2)為全稱量詞命題.⑶含有全稱量詞“任意”，所以⑶是全稱量詞命題.(4)含有存在量詞“有些”，所以⑷是存在量詞命題.(5)因?yàn)椤白匀粩?shù)的平方是正數(shù)”的實(shí)質(zhì)是“任意一個(gè)自然數(shù)的平方都是正數(shù)”，所以⑸為全稱量詞命題.［備用例2］用量詞符號(hào)“V”“于’表述下列命題.(1)所有實(shí)數(shù)x都能使x2+x+l>0成立；⑵對(duì)所有實(shí)數(shù)a,b,方程ax+b=O恰有一個(gè)解；(3)一定有整數(shù)x,y,使得3x-2y=10成立;⑷所有的有理數(shù)x都能使白2+$+1是有理數(shù).解：⑴Vx￡R,x2+x+l>0.Va,bGR,ax+b=O恰有一解.3x,y^Z,3x-2y=10.(4)VxeQ,1x2+|x+l是有理數(shù).⑨探究點(diǎn)三全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷［例3］用符號(hào)“V”與"于'表示下面含有量詞的命題并判斷其真假.(1)自然數(shù)的平方大于零；⑵以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為圓心,半徑為r的圓上任一點(diǎn)到圓心的距離是r;⑶存在一對(duì)整數(shù)x,y,使2x+4y=3;⑷存在一個(gè)無(wú)理數(shù),它的立方是有理數(shù).解：⑴VxWN,x2>0.因?yàn)?也是自然數(shù),0的平方是0,所以全稱量詞命題“自然數(shù)的平方大于零”是假命題.⑵設(shè)P是以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)0為圓心,半徑為r的圓上任一點(diǎn),則V點(diǎn)P,有|OP|二r,是真命題.(3)3x,y^Z,2x+4y=3.由2x+4y=3,得x+2y=1,若x,y￡Z,則x+2y也是整數(shù)，不可能等于/所以存在量詞命題“存在一對(duì)整數(shù)x,y,使2x+4y=3”是假命題.(4)Sxe｛無(wú)理數(shù)｝,x?EQ.北是無(wú)理數(shù)，(那尸二3是有理數(shù)，所以存在量詞命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù),它的立方是有理數(shù)”是真命題.全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法：⑴對(duì)于全稱量詞命題“Vx￡M,p(x)”，要判斷它為真,需要對(duì)集合M中的每個(gè)元素x,證明p(x)成立;要判斷它為假，只需在M中找到一個(gè)X,使p(x)不成立.⑵對(duì)于存在量詞命題“mx￡M,p(x)”，要判斷它為真，只需在M中找到一個(gè)x,