附錄一截面的幾何性質

附錄Ⅰ截面幾何性質§1-1截面的靜矩和形心一、靜矩OyzdAyz截面對y,z

軸的靜矩為靜矩可正,可負,也可能等于零.yzO

dAyz二、截面的形心C(2)截面對形心軸的靜矩等于零.(1)若截面對某一軸的靜矩等于零,則該軸必過形心.

例：計算由拋物線、y軸和z軸所圍成的平面圖形對y軸和z軸的靜矩，并確定圖形的形心坐標。解：例：求圖示陰影部分的面積對y軸的靜矩。解：三、組合截面的靜矩和形心

由幾個簡單圖形組成的截面稱為組合截面

截面各組成部分對于某一軸的靜矩之代數和,就等于該截面對于同一軸的靜矩.其中Ai——第i個簡單截面面積1、組合截面靜矩2、組合截面形心——第i個簡單截面的形心坐標解例1試確定圖示截面形心C的位置.建立坐標軸101012012Ozy90矩形1矩形21010120O12zy90所以

法2用負面積法求解,圖形分割及坐標如圖(b)圖(b)C1（0,0）C2（5,5）C2負面積C1yz一、慣性矩

§1-2

極慣性矩、慣性矩、慣性積

二、極慣性矩

工程中常把慣性矩表示為平面圖形的面積與某一長度平方的乘積，即分別稱為平面圖形對y軸和z軸的慣性半徑例：求圖示矩形對對稱軸y、z的慣性矩。 解：例：求圖示圓平面對y、z軸的慣性矩。三、慣性積

如果所選的正交坐標軸中，有一個坐標軸是對稱軸，則平面圖形對該對坐標軸的慣性積必等于零。二、組合截面的慣性矩、慣性積組合截面的慣性矩,慣性積

——第i個簡單截面對y,z軸的慣性矩,慣性積.

§1-3

平行移軸公式

平行移軸公式：例4求梯形截面對其形心軸yC

的慣性矩.解將截面分成兩個矩形截面.201401002021zCyC所以截面的形心坐標為y2014010020y21zcyC例：求圖示平面圖形對y軸的慣性矩IyCL6TU11解：CL6TU11

§1-2

極慣性矩、慣性矩、慣性積

yzOdAyz二、極慣性矩一、慣性矩所以yzOdAyz三、慣性積

(1)慣性矩的數值恒為正,慣性積則可能為正值,負值,也可能等于零.(2)若y,z兩坐標軸中有一個為截面的對稱軸,則截面對y,z軸的慣性積一定等于零.yzdydyzdAdA四、慣性半徑解bhyzCzdz例2求矩形截面對其對稱軸y,z軸的慣性矩.

zyd解因為截面對其圓心O的極慣性矩為

例3求圓形截面對其對稱軸的慣性矩.所以yzOC(a,b)ba一、平行移軸公式(a,b)_____

形心C在yoz坐標系下的坐標.

§1-3

平行移軸公式

y,z——任意一對坐標軸C——截面形心yzOC(a,b)bazCyCyC

,zC——過截面的形心C

且與y,z軸平行的坐標軸(形心軸）

Iy

,Iz

,Iyz

_____截面對y,z

軸的慣性矩和慣性積.已知截面對形心軸yC,zC

的慣性矩和慣性積求截面對與形心軸平行的y,z軸慣性矩和慣性積則平行移軸公式

——截面對形心軸yC

,zC的慣性矩和慣性積.一、轉軸公式§1-4

轉軸公式

yoz為過截面上的任一點建立的坐標系Oyzy1z1y1oz1

為yoz

轉過

角后形成的新坐標系順時針轉取為–號逆時針轉取為+號已知截面對坐標軸軸y,z

軸的慣性矩和慣性積求截面對y1,z1

軸慣性矩和慣性積轉軸公式為Oyzy1z1顯然二、截面的主慣性軸和主慣性矩

主慣性軸(Principalaxes)——總可以找到一個特定的角0

,使截面對新坐標軸y0,z0的慣性積等于0,則稱y0,z0

為主慣性軸.主慣性矩——截面對主慣性軸的慣性矩.形心主慣性軸——當一對主慣性軸的交點與截面的形心重合時,則稱為形心主慣性軸.形心主慣性矩

——截面對形心主慣性軸的慣性矩

求出后,就確定了主慣性軸的位置.(1)主慣性軸的位置設為主慣性軸與原坐標軸之間的夾角則有由此(2)主慣性矩的計算公式(3)截面的對稱軸一定是形心主慣性軸過截面上的任一點可以作無數對坐標軸,其中必有一對是主慣性軸.截面的主慣性矩是所有慣性矩中的極值.即求形心主慣性矩的方法(1)確定形心的位置(2)選擇一對通過形心且便于計算慣性矩（積）的坐標軸y,z,計算Iy

,Iz

,Iyz(3)確定形心主慣性軸的方位(4)計算形心主慣性矩101012025例5計算所示圖形的形心主慣性矩.解該圖形形心C的位置已確定,如圖所示.過形心C選一對座標軸y,z

軸,計算其慣性矩(積).C4020yz20158035101012025C4020yz20158035在第三象限分別由

y軸和z軸繞C點逆時針轉113.8o

得出.

形心主慣性軸

y0,z0101012070形心主慣形矩為C4020yzy00=113.80z0例6在矩形內挖去一與上邊內切的圓,求圖形的形心主軸.(b=1.5d)解(1)建立坐標系如圖.(2)求形心位置.db2dyzO(3)建立形心坐標系,求yCzCCdb2dyzOyCzCC便是形心主軸便是形心主慣性軸所以附錄結束第六章平面圖形的幾何性質CL6TU1§6-1靜矩和形心形心坐標：CL6TU3靜矩和形心坐標之間的關系：

例：確定圖示圖形形心C的位置。CL6TU5解：§6-4轉軸公式主慣性軸和主慣性矩CL6TU12轉軸公式：主慣性軸方位：或簡寫成：主慣性矩公式：

求形心主慣性軸的位置及形心主慣性矩大小的步驟：1）找出形心位置；