新高考數(shù)學(xué)重難點專題突破08 公式法求等差等比數(shù)列和

專題08公式法求等差等比數(shù)列和一、單選題1．已知等差數(shù)列，其前項的和為，，則（）A．24 B．36 C．48 D．64【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行化簡，由此求得的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，則故選：B2．已知等比數(shù)列的前項和為，若，且數(shù)列也為等比數(shù)列，則的表達(dá)式為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時，，該式可以為0，不是等比數(shù)列，當(dāng)時，，若是等比數(shù)列,則，可得，利用，可以求得的值，進(jìn)而可得的表達(dá)式【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，上式為0，所以不是等比數(shù)列.當(dāng)時，，所以，要使數(shù)列為等比數(shù)列，則需，解得.，，故.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是熟記等比數(shù)列的前項和公式，等比數(shù)列通項公式的一般形式，由此若是等比數(shù)列，則，即可求得的值，通項即可求出.3．已知數(shù)列的前n項和，則（）A．350 B．351 C．674 D．675【答案】A【分析】先利用公式求出數(shù)列的通項公式，再利用通項公式求出的值.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，.不適合上式，.因此，；故選：A.【點睛】易錯點睛：利用前項和求通項，一般利用公式，但需要驗證是否滿足.4．等差數(shù)列的首項為，公差不為．若、、成等比數(shù)列，則的前項的和為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)列方程，解方程求得公差，由此求得的前項的和.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由、、成等比數(shù)列可得，即，整理可得，又公差不為0，則，故前項的和為.故選：A5．等差數(shù)列中，，則此數(shù)列的前項和等于（）A．160 B．180 C．200 D．220【答案】B【分析】把已知的兩式相加得到，再求得解.【詳解】由題得，所以.所以.故選：B6．為了參加學(xué)校的長跑比賽，省錫中高二年級小李同學(xué)制定了一個為期15天的訓(xùn)練計劃.已知后一天的跑步距離都是在前一天的基礎(chǔ)上增加相同距離.若小李同學(xué)前三天共跑了米，最后三天共跑了米，則這15天小李同學(xué)總共跑的路程為（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)得到，，再利用等差數(shù)列求和公式得到答案.【詳解】根據(jù)題意：小李同學(xué)每天跑步距離為等差數(shù)列，設(shè)為，則，故，，故，則.故選：B.7．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”你的計算結(jié)果是（）A．80里 B．86里 C．90里 D．96里【答案】D【分析】由題意得每天行走的路程成等比數(shù)列、且公比為，由條件和等比數(shù)列的前項和公式求出，由等比數(shù)列的通項公式求出答案即可．【詳解】由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列，由題意和等比數(shù)列的求和公式可得，解得，此人第二天走里，第二天走了96里，故選：D．8．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A．45 B．50 C．60 D．80【答案】C【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)當(dāng)時及前項和公式得解【詳解】是等差數(shù)列，，，故選：C【點睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)及前項和公式，屬于基礎(chǔ)題9．已知數(shù)列中，其前項和為，且滿足，數(shù)列的前項和為，若對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由利用，得到數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而得到是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項和公式得到，，將恒成立，轉(zhuǎn)化為對恒成立，再分為偶數(shù)和為奇數(shù)討論求解.【詳解】當(dāng)時，，得；當(dāng)時，由，得，兩式相減得，所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列.因為，所以.又，所以是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，，由，得，所以，所以.又，所以，所以，即對恒成立，當(dāng)為偶數(shù)時，，所以，令，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以；當(dāng)為奇數(shù)時，，所以，所以，所以.綜上，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.【點睛】方法點睛：數(shù)列與不等式知識相結(jié)合的考查方式主要有三種：一是判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系；二是以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題；三是考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明．在解決這些問題時，往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.10．等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則（）A．72 B．90 C．36 D．45【答案】B【分析】由題意結(jié)合成等比數(shù)列，有即可得，進(jìn)而得到、，即可求.【詳解】由題意知：，，又成等比數(shù)列，∴，解之得，∴，則，∴，故選：B【點睛】思路點睛：由其中三項成等比數(shù)列，利用等比中項性質(zhì)求項，進(jìn)而得到等差數(shù)列的基本量1、由成等比，即；2、等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用.11．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，則（）A．7 B．12 C．14 D．21【答案】C【分析】判斷出是等差數(shù)列，然后結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得.【詳解】∵，∴，∴數(shù)列為等差數(shù)列.∵，∴，∴.故選：C12．等差數(shù)列中，，公差，則=（）A．200 B．100 C．90 D．80【答案】C【分析】先求得，然后求得.【詳解】依題意，所以.故選：C13．已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝2，且a1，a3，a4成等比數(shù)列，則Sn取最大值時n的值為（）A．4 B．5 C．4或5 D．5或6【答案】C【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的通項公式可得公差，再由等差數(shù)列的前n項和公式即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，成等比數(shù)列，即，則，，所以當(dāng)或時，取得最大值.故選：C.14．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，若，（）A． B． C． D．【答案】C【分析】計算出的值，進(jìn)而利用等差數(shù)列的求和公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，因此，.故選：C.15．記為正項等比數(shù)列的前項和，若，則（）.A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等比數(shù)列前項和公式列出方程組，求出首項和公比，由此能求出這個數(shù)列的前7項和．【詳解】為正項等比數(shù)列的前項和，，，，解得，，．故選：．16．已知數(shù)列是1為首項、2為公差的等差數(shù)列，是1為首項、2為公比的等比數(shù)列.設(shè)，，則當(dāng)Tn>2013時，n的最小值是（）A．7 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式可得，再利用等比數(shù)列的前n項和公式求出即可求解.【詳解】，則.，而，即，代入檢驗知n的最小值是10，故選：C.17．某大學(xué)畢業(yè)生為自主創(chuàng)業(yè)于2019年8月初向銀行貸款240000元，與銀行約定按“等額本金還款法”分10年進(jìn)行還款，從2019年9月初開始，每個月月初還一次款，貸款月利率為0.5%，現(xiàn)因經(jīng)營狀況良好準(zhǔn)備向銀行申請?zhí)崆斑€款計劃于2024年8月初將剩余貸款全部一次還清，則該大學(xué)畢業(yè)生按現(xiàn)計劃的所有還款數(shù)額比按原約定所有還款數(shù)額少（）(注：“等額本金還款法”是將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還，每一期所還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率；1年按12個月計算)A．18000元 B．18300元C．28300元 D．36300元【答案】B【分析】先求得2024年8月還完后剩余本金，然后結(jié)合等差數(shù)列前項和公式，求得還款減少的數(shù)額.【詳解】由題意，可知：該大學(xué)畢業(yè)生兩種還款方式所還的本金最終都是240000元，∴兩種還款方式的本金沒有差額.∵該大學(xué)畢業(yè)生決定2024年8月初將剩余貸款全部一次還清.∴從2019年9月初第一次還款到2024年8月初這5整年即60個月兩種還款方式所還的利息也是一樣的.∴按原約定所有還款數(shù)額－按現(xiàn)計劃的所有還款數(shù)額＝原約定還款方式從2024年9月起到最后還完這整60個月所還的利息.∵每月應(yīng)還本金：240000÷120＝2000(元)2024年8月還完后本金還剩240000－2000×60＝120000(元).∴2024年9月應(yīng)還利息為：120000×0.5%，2024年10月應(yīng)還利息為：(120000－2000)×0.5%，2024年11月應(yīng)還利息為：(120000－2000×2)×0.5%，…最后一次應(yīng)還利息為：(120000－2000×59)×0.5%.后60個月所還的利息為：120000×0.5%＋(120000－2000)×0.5%＋(120000－2000×2)×0.5%＋…＋(120000－2000×59)×0.5%＝0.5%×[120000＋(120000－2000)＋(120000－2000×2)＋…＋(120000－2000×59)]＝0.5%×[120000×60－2000×(1＋2＋…＋59)]＝18300(元).故選：B18．已知數(shù)列的前項和為，，，，則（）A．62 B．63 C．64 D．65【答案】D【分析】由題意可得，，即數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的前項和公式分組求和可得和.【詳解】由，，可知數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列.所以，，所以.故選：D【點睛】本題考查了等比數(shù)列的定義，考查了等比數(shù)列的前項和公式，屬于中檔題.19．等比數(shù)列中，，.則的前9項之和為（）A．18 B．42 C．45 D．18或42【答案】D【分析】利用等比數(shù)列的通項公式求出等比，從而求出，進(jìn)而求出前9項之和.【詳解】解析設(shè)公比為，則，即，所以，所以，所以或18.故選：D20．已知函數(shù)各項均不相等的數(shù)列滿足.令.給出下列三個命題：（1）存在不少于3項的數(shù)列使得；（2）若數(shù)列的通項公式為，則對恒成立；（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，則對恒成立，其中真命題的序號是（）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）【答案】D【分析】由題意，函數(shù)是奇函數(shù)，只需考查函數(shù)在的性質(zhì)，此時，都是增函數(shù)，所以在上也是增函數(shù)，即時，，對于（1），，即可判斷；對于（2），運(yùn)用等比數(shù)列求和公式和和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷；對于（3），運(yùn)用等差數(shù)列求和公式，及不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷；【詳解】由題意得，所以是奇函數(shù)，只需考查函數(shù)在的性質(zhì)，此時，都是增函數(shù)，所以在上也是增函數(shù)，即函數(shù)在上也是增函數(shù)，設(shè)若，則，，即若，則，，即所以時，，對于（1），取，，故（1）正確；對于（2），，又令，則又，知，則，則，，又在上單減，，即，，即，則，由的任意性可知，，又，所以，故（2）正確；對于（3），數(shù)列是等差數(shù)列，若，則；若，即，又是奇函數(shù)也是增函數(shù)有，可得；同理：若，可得；若，可得；相加可得：若，可得，即；同理若，可得，即，故（3）正確；故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查真假命題的判斷，關(guān)鍵是要理解新定義的函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的問題，考查了等差等比數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用，考查了學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題.二、多選題21．已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A．必是遞減數(shù)列 B． C．公比或 D．或【答案】BD【分析】設(shè)設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由已知得，解方程計算即可得答案.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因為，，所以，解得或，當(dāng)，時，，數(shù)列是遞減數(shù)列；當(dāng)，時，，數(shù)列是遞增數(shù)列；綜上，.故選：BD.【點睛】本題考查數(shù)列的等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的基本量計算，考查運(yùn)算能力.解題的關(guān)鍵在于結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而解方程計算.22．記為等差數(shù)列的前n項和.已知，則（）A． B． C． D．【答案】AD【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知得，進(jìn)而得，故，.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為所以根據(jù)等差數(shù)列前項和公式和通項公式得：，解方程組得：，所以，.故選：AD.23．已知數(shù)列均為遞增數(shù)列，的前n項和為的前n項和為且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用數(shù)列單調(diào)性及題干條件，可求出范圍；求出數(shù)列的前2n項和的表達(dá)式，利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明其大小關(guān)系，即可得答案.【詳解】因為數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，所以，即，又，即，所以，即，故A正確；因為為遞增數(shù)列，所以，所以，即，又，即，所以，即，故B正確；的前2n項和為=，因為，則，所以，則的2n項和為=，當(dāng)n=1時，，所以，故D錯誤；當(dāng)時假設(shè)當(dāng)n=k時，，即，則當(dāng)n=k+1時，所以對于任意，都有，即，故C正確故選：ABC【點睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用，數(shù)列前n項和的求法，解題的關(guān)鍵在于，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，得到項之間的大小關(guān)系，再結(jié)合題干條件，即可求出范圍，比較前2n項和大小時，需靈活應(yīng)用等差等比求和公式及性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進(jìn)行分析，考查分析理解，計算求值的能力，屬中檔題.三、填空題24．等差數(shù)列中，為的前項和，若，則_________.【答案】2【分析】直接利用等差數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：2.25．二進(jìn)制數(shù)是用0和1兩個數(shù)碼來表示的數(shù)，它是現(xiàn)代信息技術(shù)中廣泛應(yīng)用的一種數(shù)制，它的基數(shù)為2，進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)二”，它與十進(jìn)制數(shù)可以互相轉(zhuǎn)化，如二進(jìn)制數(shù)1011（記為）表示的十進(jìn)制數(shù)為，即，設(shè)各項均為十進(jìn)制數(shù)的數(shù)列的通項公式為，則______.【答案】【分析】利用等比數(shù)列前項和公式計算即可得到答案.【詳解】26．設(shè)數(shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的前20項和為_________.【答案】210【分析】先根據(jù)等差數(shù)列前項和公式得，進(jìn)而得，再根據(jù)等差數(shù)列前項和公式即可得答案.【詳解】解：因為數(shù)列滿足，所以數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以，所以數(shù)列的前20項和為.故答案為：.【點睛】結(jié)論點睛：若等差數(shù)列的前項和為，則也是等差數(shù)列.27．在數(shù)列中，若，記是數(shù)列的前項和，則__________.【答案】【分析】當(dāng)為奇數(shù)時，可得數(shù)列的奇數(shù)項為公差為2的等差數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時，可得偶數(shù)項的特征，將所求問題轉(zhuǎn)化為奇數(shù)項和偶數(shù)項求和即可.【詳解】∵，∴當(dāng)為奇數(shù)時，，即數(shù)列的奇數(shù)項為公差為2的等差數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時，，∴，，∴，故答案為：2550.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）得到數(shù)列的奇數(shù)項為公差是2的等差數(shù)列；（2）得到數(shù)列的偶數(shù)項滿足.28．位于寧夏青銅峽市的108塔建于西夏時期，塔的排列順序自上而下，第一層1座，第二層3座，第三層3座，第四層5座，第五層5座，從第五層開始塔的數(shù)目構(gòu)成一個首項為5，公差為2的等差數(shù)列，則該塔共有__________層.【答案】【分析】利用已知條件將第五層有的塔的數(shù)目設(shè)為，設(shè)從第五層開始自上而下，每一層的塔的數(shù)目為，利用等差數(shù)列的通項公式以及前項和公式即可得出結(jié)果.【詳解】已知從第五層開始塔的數(shù)目構(gòu)成一個首項為5，公差為2的等差數(shù)列，將第五層有的塔的數(shù)目設(shè)為，設(shè)從第五層開始自上而下，每一層的塔的數(shù)目為，，則，設(shè)前項和為,，前四層共有塔的數(shù)目為：（座），（座），令，即又，解得，所以該塔共有（層）.故答案為：.29．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和．若，，則的最小值是_______．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式與前項和公式求出基本量，再根據(jù)二次函數(shù)求出的最小值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，所以可化為，所以，解得，所以，所以當(dāng)時，取得最小值.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：熟練掌握等差數(shù)列的通項公式與前項和公式是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.30．已知數(shù)列滿足，定義使為整數(shù)的叫做“幸福數(shù)”，則區(qū)間內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和為_____【答案】1349【分析】利用換底公式可得，求出，結(jié)合可得，再利用等比數(shù)列的前項和即可求解.【詳解】當(dāng)時，為幸福數(shù)，符合題意；當(dāng)時，令，則.由.故“幸福數(shù)”的和為故答案為：1349.四、解答題31．?dāng)?shù)列中，，，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.（1）求使成立的的取值范圍；（2）若，求的表達(dá)式；（3）若，求.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，由題中條件，得到，解，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)題中條件，先得到是首項為，公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而可求出；（3）由等比數(shù)列的求和公式，分別討論，，三種情況，由無窮等比數(shù)列的極限，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）是公比為的等比數(shù)列，且由N)，有解得（2），，，，又是首項為，公比為的等比數(shù)列，（3）當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，即.綜上，.【點睛】思路點睛：求無窮等比數(shù)列前項和的極限時，一般需要利用分類討論的方法，討論公比的范圍，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，以及極限的運(yùn)算法則，即可求出結(jié)果.32．設(shè)數(shù)列的前項和為，且.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）令，證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）當(dāng)時，可得，由有兩式相減得從而得證.

(2)由（1）,所以，則，利用等比數(shù)列的求和公式可求和，從而可證.【詳解】（1）∵，∴，兩式相減得，即又，即，所以，∴是1為首項，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1），∴，∴∴.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查根據(jù)數(shù)列前項和與的遞推關(guān)系求通項公式和求等比數(shù)列的前項和,解答本題的關(guān)鍵是由題目條件得出再與原式相減得出，從而得出數(shù)列是等比數(shù)列，從而可得為等比數(shù)列，屬于中檔題.33．已知數(shù)列的前n項和為且滿足．（1）求的通項公式；（2）記，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）將遞推關(guān)系多遞推一項，再相減，可得數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，即可得答案；（2）求出，再放縮成等比數(shù)列求和，即可得答案；【詳解】（1）由得，，兩式相減得，，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以；（2）由（1），所以，所以，當(dāng)時，，又當(dāng)時，