數(shù)據(jù)包絡分析概述

數(shù)據(jù)包絡分析概述數(shù)據(jù)包絡分析是線性規(guī)劃模型的應用之一，常被用來衡量擁有相同目標的運營單位的相對效率。數(shù)據(jù)包絡分析是一種基于線性規(guī)劃的用于評價同類型組織（或項目）工作績效相對有效性的特殊工具手段。這類組織例如學校、醫(yī)院、銀行的分支機構、超市的各個營業(yè)部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的產出。衡量這類組織之間的績效高低，通常采用投入產出比這個指標，當各自的投入產出均可折算成同一單位計量時，容易計算出各自的投入產出比并按其大小進行績效排序。但當被衡量的同類型組織有多項投入和多項產出，且不能折算成統(tǒng)一單位時，就無法算出投入產出比的數(shù)值。例如，大部分機構的運營單位有多種投入要素，如員工規(guī)模、工資數(shù)目、運作時間和廣告投入，同時也有多種產出要素，如利潤、市場份額和成長率。在這些情況下，很難讓經理或董事會知道，當輸入量轉換為輸出量時，哪個運營單位效率高，哪個單位效率低。因而，需采用一種全新的方法進行績效比較。這種方法就是二十世紀七十年代末產生的數(shù)據(jù)包絡分析（DEA）。DEA方法處理多輸入，特別是多輸出的問題的能力是具有絕對優(yōu)勢的。數(shù)據(jù)包絡分析（?！耆耄┰雌?978年，著名運籌學家、美國德克薩斯大學教授A.Charnes及W.W.Cooper和E.Rhodes發(fā)表了一篇重要論文：“MeasuringtheefficiencyofdecisionmakingunitsM（決策單元的有效性度量），刊登在權威的“歐洲運籌學雜志”上。正式提出了運籌學的一個新領域：數(shù)據(jù)包絡分析，其模型簡稱C2R模型。該模型用以評價部門間的相對有效性（因此被稱為DEA有效）。數(shù)據(jù)包絡分析應用現(xiàn)狀DEA的優(yōu)點吸引了眾多的應用者，應用范圍已擴展到美國軍用飛機的飛行、基地維修與保養(yǎng)，以及陸軍征兵、城市、銀行等方面.目前，這一方法應用的領域正在不斷地擴大。它也可以用來研究多種方案之間的相對有效性（例如投資項目評價）；研究在做決策之前去預測一旦做出決策后它的相對效果如何（例如建立新廠后，新廠相對于已有的一些工廠是否為有效）。DEA模型甚至可以用來進行政策評價。最引人注目的研究是把DEA與其它評價方法進行比較。例如將DEA應用于北卡羅來納州各醫(yī)院的有效性評價。已有的按計量經濟學方式給出的回歸生產函數(shù)認為，此例中不存在規(guī)模收益°DEA的研究發(fā)現(xiàn)，盡管使用同樣的數(shù)據(jù)，回歸生產函數(shù)不能象DEA那樣正確測定規(guī)模收益.其關鍵在于：-DEA和回歸方法雖然都使用給定的同樣數(shù)據(jù)，但使用方式不一樣；-DEA致力于每個單個醫(yī)院的優(yōu)化，而不是對整個集合的統(tǒng)計回歸優(yōu)化。在其它的研究中，例如在評價醫(yī)院經營有效性時，將DEA與馬薩諸塞州有效性評定委員會使用的比例方法進行了比較，當使用模擬方法對DEA進行檢驗后認為，盡管由回歸函數(shù)產生的數(shù)據(jù)有利于回歸方法的使用，但是DEA方法顯得更有效.DEA法另一侗輿其他多屬性決策分析模式不同之虔，在於DEA不^ffi^H性之相封罹重，乃是由*m?料中推辱走生，每侗受言平方案的效率衡量乃是分別探取封言亥受言平方案最有利的罹重鮑合。數(shù)據(jù)包絡分析（DEA）模型簡介DEA是使用數(shù)學規(guī)劃（包括線性規(guī)劃、多目標規(guī)劃、具有錐形結構的廣義最優(yōu)化、半無限規(guī)劃、隨機規(guī)劃等）模型，評價具有多個輸入、特別是多個輸出的“部門”或“單位”（稱為“決策單元”，簡記DMU）間的相對有效性（稱為DEA有效）。實際上"效率”或"相對有效性”的概念也是指產出與投入之比，不過是加權意義之下的產出投入比。根據(jù)對各DMU觀察的數(shù)據(jù)判斷DMU是否為DEA有效，本質上是判斷DMU是否位于可能集的“生產前沿面”上。早期的孥者以^W^?M*KW效率，提出以生走遑界（productionfrontier）舄衡量效率之基磋，估言十主要有雨豐重方法?參數(shù)法（parameterapproach）利用理言命建情或^^推辱的方式予頁先哉定生走函數(shù)之形式。?照母數(shù)法（non-parametricapproach）恰好相反，DEA法即^一8M母數(shù)的生走函數(shù)分析法不予頁哉投入輿走出屬性之相封罹重，藉由^隙投入走出的資料形成包名各面（envelopmentsurface），推測出生走遑界。DEA使用步驟（1） 決策罩位之邀?。唬?） 投入^出項之邀?。唬?） DEA模式之＜??；（4） 平估各吉果之分析。雁用DEA於多屬性平估冏題畤，必硝先定羲冏題瞭解冏題本^，釐清相封^效平估的目的經由目

檬之建立哉定言平估率則。取DEA模式橫建效率遑界，業(yè)將決策罩位的**^效率遑界比段以衡量其效率，再將平估之各吉果加以分析，檢視決策罩位是否有效率。相封照效率的決策罩位，則分析其未建最佳效率的原因，提出努力方向和璃正行勤以改善其效率。數(shù)據(jù)包絡分析基本概念在DEA中一般稱被衡量績效的組織為決策單元(decisionmakingunit DMU)。設：n個決策單元(j=1，2，…，n)每個決策單元有相同的m項投入(輸入)(i=1，2，…，m)每個決策單元有相同的s項產出(輸出)(r=1，2，…，s)X.——第j決策單元的第i項投入yrj——第j決策單元的第r項產出衡量第j0決策單元是否DEA有效決策單元12???n投1X11X12???X1n入2X21X22???X2n項???■■■???■■■■■■目mXm1Xm2■■■Xmn12■■■n決策單元y11y12???y1n1產y21y22■■■y2n2出?????????■■■???項ys1ys2■■■ysns目輸入型與輸出型的DEA模型-Input-DEA模型：基于投入的技術效率，即在一定產出下，以最小投入與實際投入之比來估計?；蛘哒f，決策者追求的傾向是輸入的減少，即求0的最小。-Output-DEA模型：基于產出的技術效率，即在一定的投入組合下，以實際產出與最大產出之比來估計?；蛘哒f，決策者追求的傾向是輸出的增大，即求z的最大。CCR模式假哉固定規(guī)模幸艮酬(constantreturntoscale)，也就是每一罩位投入可得走出量是固定的，不曹因規(guī)模大小而改燮Banker等人將CCR模式修正舄燮勒規(guī)模幸幸酬(VariableReturnstoScale,VRS)的假哉下衡量訣策罩位之相封效率，稠之舄BCC模式(Bankeretal.,1984)。此模式將決策罩位是否建到有效的生走規(guī)模也納入平估，故可同畤衡量規(guī)模效率(scaleefficiency)輿技徘亍效率(technicalefficiency)。C2R模型C2RC2R模型C2R的對偶輸入模型模型min0utYmax 9-VTX0s.tutY——a<1,j=1,…，n,vtX0u>0,v>0s.t ￡x人<0X,j=1ILy^人.>y,j=1尤>0,j=1,…,njC2R的對偶輸出模型模型maxzs.tExX<X,j=1'^YX.>zY,j=1X.>0,j=1,…,nBC2的對偶輸入模型模型Banker,CharnesandCooper(1984)min9s.t￡x人展X,j=11LyX>Y,j=1￡x=ijj=1">0,j=1,…,n個決策單元它的各項投構建DEA模型的思路個決策單元它的各項投衡量某一決策單元j0是否DEA有效一一是否處于由包絡線組成的生產前沿面上，先構造一個由n組成（線性組合成）的假想決策單元。如果該假想單元的各項產出均不低于j0決策單元的各項產出，入均低于j0決策單元的各項的各項投入。即有：(j=1…n)^yrj>Vrjo(r=1，2，…，s）(j=1...n)趴xij，Exij0(i=1，2，…，m，E<1)(j=1.?.n)Aj=1，人j>0(j=1，2，...，n)這說明j0決策單元不處于生產前沿面上?；谏鲜鍪聦?，可以寫出如下線性規(guī)劃的數(shù)學模型：（把cita變成E）min9s.t￡XX<9X,j=i￡yX>Y,j=i￡x=ijj=1X.>0,j=1,…,n結果分析：1、 當求解結果有E<1時，則j0決策單元非DEA有效；2、 否則，則j0決策單元DEA有效。具有非阿基米德無窮小量的C2R對偶輸入模型C ATmin[9-8（eS-+eTS+）]s.t￡XX+S-=9X,j=1ILy^X.—S+=Y,j=1Xj>0,j=1,…,nS->0,S+>0例1：考慮具有4個決策單元，2個輸入和1個輸出，相應的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)由下表給出:12341——1334輸入2—31321121—1輸出考察DMU/取￡=10kmin[9-8(s-+s-+s+)]s.t人+3人+3人+M+s-=93人+人+3人+2人+s-=39人+人+2人+人一s+=1TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 4 1人，人，人，人s-,s-,s+>01 2 3 4,1 2 1最優(yōu)解為M=(1,0,0,0)Ts-0=s-0=s+0=01 2 190=1所以，DMU1為DEA有效。DEA有效性的判斷-對具有非阿基米德無窮小量的C2R對偶輸入模型，可以根據(jù)以下規(guī)則判斷DEA有效性：?若0<1,則DMUj0不為弱DEA有效；?若0=1,。tS-+eTS+>0則DMUj0僅為弱DEA有效；?若0=1,etS-+eTS+=0則DMUj0為DEA有效；關于DEA模型的基本定理?存在性定理：至少存在一個決策單元，它是DEA有效的。?有效性與量綱選取無關定理：決策單元的DEA有效性與輸入和輸出量綱的選取無關。?有效性與DMU同倍“增長”無關定理:決策單元的DEA有效性與決策單元對應的輸入和輸出同倍“增長”無關。生產前沿面生產前沿面實際上是指由觀察到的決策單元的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)的包絡面的有效部分，這也是稱謂"數(shù)據(jù)包絡分析”的原因所在。決策單元為DEA有效，也即相應于生產可能集而言，以投入最小、產出最大為目標的Pareto最優(yōu)。因此，生產前沿面即為Pareto面(Pareto最優(yōu)點構成的面)。技術有效與規(guī)模有效?技術有效：輸出相對輸入而言已達最大，即該決策單元位于生產函數(shù)的曲線上。(其實這就是前面一直提到的相對有效性，注意，技術有效于純技術有效是不同的，有文獻指出，技術效率等于純技術效率與規(guī)模效率的乘積)?規(guī)模有效：指投入量既不偏大，也不過小，是介于規(guī)模收入收益由遞增到遞減之間的狀態(tài)，即處于規(guī)模收益不變的狀態(tài)。DMU1、DMU2、DMU3都處于技術有效狀態(tài)；DMU1不為規(guī)模有效，實際上它處于規(guī)模收益遞增狀態(tài)；DMU3不為規(guī)模有效，實際上它處于規(guī)模收益遞減狀態(tài)；DMU2是規(guī)模有效的。如果用DEA模型來判斷DEA有效性，只有DMU2對應的最優(yōu)值00=1。可見，在C2R模型下的DEA有效，其經濟含義是：既為“技術有效”，也為“規(guī)模有效”。相對有效性評價問題舉例例2：碩士點教育質量評價某系統(tǒng)工程研究所對我國金屬熱處理專業(yè)的26個碩士點的教育質量，進行了有效性評價。評價采用的指標體系為：輸入：導師人數(shù)；實驗設備；圖書資料；學生入學情況。輸出：科研成果；論文篇數(shù)；學生畢業(yè)時的情況。例3：行風（行業(yè)作風）建設有效性評價本項目研究人員選定江蘇省S市交通客運系統(tǒng)作為對象，包括7家交通客運汽車公司。選定了輸入指標4項，輸出指標4項。分別是：輸入指標：1、年末職工總數(shù)（單位：人）；2、 單位成本（單位：元/千人公里）；3、 燃料單位消耗（單位：升/千人公里）；4、 行車責任事故率（單位：次/千人公里）。輸出指標：1、勞動生產率（單位：元/人）；2、 行車準點率（%）；3、 群眾滿意率（按問卷調查）（%）4、 車輛服務合格率（包括：服務態(tài)度、服務措施、車輛設施等）（%）例4：銀行分理處相對有效性評價振華銀行的4個分理處的投入產出如下表。求各個分理處的運行是否DEA有效。 （產出單位：處理筆數(shù)/月）分理處投入產出職員數(shù)營業(yè)面積（m2）儲蓄存取貸款中間業(yè)務分理處11514018002001600分理處22013010003501000分理處3211208004501300分理處4201359004201500解：若先確定分理處1的運行是否DEA有效。建立線性規(guī)劃模型:minE1800人］+1000X2+800X3+900X4>1800200人］+350X2+450X3+420X4>2001600X］+1000X2+1300X3+1500X4>1600S.t. 15X1+ 20X2+21X3+20X4<15E140X1+130X2+120X3+135X4<140EX1+ X2+X3+ X4=1Xj>0 （j=1，2，3，4）求解結果分析：對分理處1，E=1，說明分理處1的運行DEA有效。對分理處2，E=0.996,說明分理處2的運行非DEA有效。對分理處3，E=1，說明分理處3的運行DEA有效。對分理處4，E=1，說明分理處4的運行DEA有效。例5：醫(yī)院相對效率評價-利用DEA模型分析4類醫(yī)院（普通醫(yī)院、校醫(yī)院、鎮(zhèn)醫(yī)院和國家醫(yī)院）的相對效率。這些醫(yī)院具有相同（或相似）的投入（輸入量）和產出（輸出量）。-例如，建立一個用于分析鎮(zhèn)醫(yī)院相對效率的線性模型。?輸入量-全職非主治醫(yī)師人數(shù)?提供的經費?可供住院的床位數(shù)輸出量-開診日的藥物治療服務?開診日的非藥物治療服務?接受過培訓的護士數(shù)目?接受過培訓的實習醫(yī)師數(shù)目4類醫(yī)院的年輸入量（年消耗）投入方式普通醫(yī)院學校醫(yī)院鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院國家醫(yī)院全職非主治醫(yī)師285.20162.30275.70210.40提供的經費（千兀）123.8128.70348.50154.10可提供的住院床位數(shù)（千張）106.7264.21104.10104.044類醫(yī)院的年輸出量（年提供的服務）輸出方式普通醫(yī)院學校醫(yī)院鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院國家醫(yī)院開診日的藥物治療（千次）48.1434.6236.7233.16開診日的非藥物治療（千次）43.1027.1145.9856.46接受過培訓的護士數(shù)目253148175160接受過培訓的實習醫(yī)師數(shù)目41272384鎮(zhèn)醫(yī)院相對效率評價一一DEA分析?通過建立一個線性規(guī)劃模型，以4類醫(yī)院的輸入量和輸出量為基礎建立一個假設的合成醫(yī)院。通過將4類醫(yī)院的輸入量（或輸出量）的加權平均值作為假設的合成醫(yī)院的輸入量（或輸出量）。?在線性規(guī)劃模型中的約束條件中，合成醫(yī)院所有的輸出量必須大于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量。假如合成醫(yī)院的輸入量顯示小于鎮(zhèn)醫(yī)院輸入量，那么合成醫(yī)院就是有更大的輸出量而擁有更小的輸入量。因而，鎮(zhèn)醫(yī)院比合成醫(yī)院（四類醫(yī)院的加權平均）相對低效，進而可被認為比其他醫(yī)院相對低效。wg為普通醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重；wu為校醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重；wc為鎮(zhèn)醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重；ws為國家醫(yī)院在合成醫(yī)院中所占的份額或比重所以，DEA模型的第一個約束條件為wg+wu+wc+ws=1?為了使模型符合邏輯，合成醫(yī)院的輸出量必須大于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量。即合成醫(yī)院的輸出量N鎮(zhèn)醫(yī)院的輸出量?我們可寫出輸出量的約束條件：48.14wg+34.62wu+36.72wc+33.16ws>36.72（藥物治療）43.10wg+27.11wu+45.98wc+56.46ws>45.98（非藥物治療）253wg+148wu+175wc+160ws>175（護士）41wg+27wu+23wc+84ws>23（實習醫(yī)師）?為了使模型符合邏輯，合成醫(yī)院的輸入量必須小于或等于鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量。即合成醫(yī)院的輸入量^鎮(zhèn)醫(yī)院的輸入量?引入效率指數(shù)E，如鎮(zhèn)醫(yī)院全職非主治醫(yī)生人數(shù)為275.70，則275.70E