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前面五章我們講述了概率論的基本內(nèi)容,隨后的三章將講述數(shù)理統(tǒng)計(jì).?dāng)?shù)理統(tǒng)計(jì)是具有廣泛應(yīng)用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支,它以概率論為理論基礎(chǔ),根據(jù)試驗(yàn)或觀察得到的帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù),來研究隨機(jī)現(xiàn)象,對(duì)研究對(duì)象的客觀規(guī)律性作出種種合理的估計(jì)和判斷.
數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容包括:如何收集、整理數(shù)據(jù)資料;如何對(duì)所得的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行分析、研究,從而對(duì)所研究的對(duì)象的性質(zhì)、特點(diǎn)作出推斷.后者就是我們所說的統(tǒng)計(jì)推斷問題。本書只講述統(tǒng)計(jì)推斷的基本內(nèi)容。第六章我們介紹總體、隨機(jī)樣本及統(tǒng)計(jì)量等基本概念,并著重介紹幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量及抽樣分布.第六章樣本及抽樣分布第一節(jié)總體與樣本第二節(jié)直方圖第三節(jié)抽樣分布第一節(jié)總體與樣本一、總體和表征總體的隨機(jī)變量
例如研究某企業(yè)生產(chǎn)的一批電視機(jī)顯象管的平均使用壽命,那么這一批顯象管的全體就組成一個(gè)總體,其中每一只顯象管就是一個(gè)個(gè)體??傮w——研究對(duì)象的全體個(gè)體——每一個(gè)對(duì)象例如研究某大學(xué)一年級(jí)學(xué)生的身高情況,這時(shí)一年級(jí)大學(xué)生的全體就是總體;每個(gè)大學(xué)生就是一個(gè)個(gè)體。在實(shí)際中我們真正所關(guān)心的是總體的某種數(shù)量指標(biāo),例如顯象管的壽命指標(biāo)X,學(xué)生的身高指標(biāo)Y,它們都是r.v.(意思是:從中任取一只顯象管,其壽命是不能預(yù)先確定的,可看作是X的可能取值)。稱這樣的r.v.為表征總體的隨機(jī)變量。為了方便起見,我們就將表征總體的隨機(jī)變量的所有可能取值的全體看作總體。若X的分布函數(shù)為F(x),則稱總體的分布函數(shù)為F(x)??傮wr.v.X(Y)二、樣本
對(duì)總體進(jìn)行研究時(shí),對(duì)總體中每個(gè)個(gè)體逐一進(jìn)行考察,這在實(shí)際中往往是行不通的,一是試驗(yàn)具有破壞性,二是需花費(fèi)大量的人力物力;常用的方法是:從總體中隨機(jī)地抽取若干個(gè)個(gè)體,根據(jù)對(duì)這部分個(gè)體的研究結(jié)果推斷總體某方面的特征。
定義從總體X中隨機(jī)地抽取n個(gè)個(gè)體,稱之為總體X的一個(gè)樣本容量為n的樣本。
假設(shè)抽樣滿足下述兩個(gè)條件:(1)隨機(jī)性為了使樣本具有充分的代表性,抽樣必須是隨機(jī)的,應(yīng)使總體中的每一個(gè)個(gè)體都有同等的機(jī)會(huì)被抽取到。(2)獨(dú)立性各次抽樣必須是相互獨(dú)立的,即每次抽樣的結(jié)果既不影響其它各次抽樣的結(jié)果,也不受其它各次抽樣結(jié)果的影響。這種隨機(jī)的、獨(dú)立的抽樣方法稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,由此得到的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.今后,凡是提到抽樣與樣本,都是指簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。從總體中抽取若干個(gè)個(gè)體的過程稱為抽樣從總體X中抽取一個(gè)個(gè)體,就是對(duì)X進(jìn)行一次試驗(yàn)(或觀測(cè)),得到一個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)(或觀測(cè)值)。因此對(duì)于一次具體的抽樣觀測(cè)結(jié)果,我們將得到一組數(shù)據(jù),記作,稱之為樣本的一次觀測(cè)值(樣本值)。例如從某廠生產(chǎn)的顯象管中隨機(jī)抽取10個(gè)顯象管,測(cè)得壽命如下(單位千小時(shí)):4.8,3.4,5.2,4.7,5.5,4.2,4.5,3.9,5.0,4.9這十個(gè)數(shù)據(jù)就是樣本容量為10的樣本的一組觀測(cè)值。若將樣本,,…,看作是一n維隨機(jī)變量,則(1)當(dāng)總體是離散型隨機(jī)變量,若記其分布律為,則樣本的聯(lián)合分布律為:
(1)(2)當(dāng)總體是連續(xù)型隨機(jī)變量,且具有概率密度函數(shù)時(shí),則樣本的聯(lián)合概率密度為(2)解例2一、頻數(shù)與頻率分布表
數(shù)據(jù)的采集:從總體中隨機(jī)地抽取一個(gè)樣本,對(duì)樣本進(jìn)行一次觀測(cè),得到一組數(shù)據(jù)。例
從某地一次數(shù)學(xué)統(tǒng)測(cè)的成績(jī)中,隨機(jī)抽取30個(gè)學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦拢?/p>
90777196686183748087887673836381948278887682777991727166第二節(jié)直方圖排序(從小到大);
63666871717273747677777879808182828383858788889091949596(1)找出最大值,最小值,并計(jì)算極差R;
R=最大值-最小值=96-61=35。極差R反映了數(shù)據(jù)波動(dòng)的幅度。(2)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分組(等區(qū)間分組),確定分組的個(gè)數(shù)k;選取適當(dāng)?shù)膮^(qū)間長(zhǎng)度(組距)d;n=30,取k=6,則。組號(hào)組區(qū)間組頻數(shù)組頻率160.5--66.530.1266.5—72.540.133372.5—78.5
70.233478.5—84.570.233594.5—90.550.166690.5—96.5
40.133總計(jì)301表1二、頻數(shù)與頻率直方圖
在平面坐標(biāo)上,x軸表示所考察的變量,y軸表示頻數(shù),以表1為例,在橫軸上標(biāo)出6個(gè)等長(zhǎng)的區(qū)間,在縱軸上標(biāo)出頻數(shù),以區(qū)間組距為底邊,各組的組頻數(shù)為高作矩形,就得到了頻數(shù)直方圖。若y軸取為組頻率,按上述方法就得到了頻率直方圖頻數(shù)直方圖與頻率直方圖形狀相似;對(duì)于連續(xù)型r.v.,頻率直方圖可作為其概率密度函數(shù)曲線的一種近似。說明60.566.572.578.584.584.596.53475圖1一、基本概念1.
統(tǒng)計(jì)量的定義是不是例12.
幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量的定義(1)樣本平均值(2)樣本方差其觀察值例2
從某高校一年級(jí)男生中任意抽取12名,測(cè)得他們的身高如下(單位:cm):171,165,174,175,168,164,173,178,168,170,172,173試估計(jì)該年級(jí)男生的平均身高,并估計(jì)其方差和標(biāo)準(zhǔn)差解:3.
經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的做法如下:也稱樣本分布函數(shù)例3一般地,樣本分布函數(shù)的圖形如圖所示可作為總體分布函數(shù)的一個(gè)近似,n越大,近似得越好。例二、三個(gè)重要分布統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布.1.性質(zhì)1(此性質(zhì)可以推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形.)性質(zhì)2證明例1例2設(shè),試確定的值,使之滿足:解t分布又稱學(xué)生氏(Student)分布.2.當(dāng)n充分大時(shí),其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量概率密度的圖形.由分布的對(duì)稱性知例3例4設(shè),試確定的值,使之滿足:解3.根據(jù)定義可知,例5例6
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