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文檔簡介
第4章濾波器設(shè)計
濾波器分類1按功能分,濾波器有低通、高通、帶阻和帶通這四種基本的濾波器。3dB(Cutoff)Frequency:fc(Hz)MaximumPassbandAttenuation:3dBPassbandRipple:Rp(dB)StopbandFrequency:fx(Hz)MinimumStopbandAttenuation:Ax0dB-3dB-AxdBfcfxRpdB0dB-3dB-AxdBfcfxRpdBLowpassHighpassPassband:0—fc(Hz)Stopband:fx—∞(Hz)Passband:fc—∞(Hz)Stopband:0—fx(Hz)濾波器概念0dB-3dB-AxdBfofUxRpdBfLxfLpfHpLowerpassbandedge=fLpUpperpassbandedge=fHpLowerstopbandedge=fLxUpperstopbandedge=fUxPassbandBandwidth=fHp-fLpPassbandRipple=RpdBMaximunPassbandAttenuation=3dBMinimumStopbandAttenuation=AxCenterFrequency=fo=fHpfLp0dB-3dB-AxdBfofUxRpdBfLxfLpfHpBandstopBandpassLowerpassbandedge=fLpUpperpassbandedge=fHpLowerstopbandedge=fLxUpperstopbandedge=fUxStopbandBandwidth=fUx-fLxPassbandRipple=RpdBMaximunPassbandAttenuation=3dBMinimumStopbandAttenuation=AxCenterFrequency=fo=fHpfLp濾波器分類1濾波器概念典型濾波器響應(yīng)1最大平坦響應(yīng)(butterwoth響應(yīng))L=1+k2(ω/ωc)2N式中N是濾波器階數(shù),ωc是截止頻率,通帶為(0,ωc),通帶邊緣損耗為1+k2,常選為-3dB,故k=1。濾波器概念帶外衰減隨頻率增加而單調(diào)增加,ω>>ωc時,L≈
(ω/ωc)2N,所以衰減以每10倍頻20NdB的速率上升。
典型濾波器響應(yīng)2等波紋響應(yīng)(Chebyshev響應(yīng))L=1+k2[TN(ω/ωc)]2因為x<1時,|TN(x)|<1故通帶內(nèi)波紋為1+k2,常選為-3dB,故k=1。
帶外衰減隨頻率增加而單調(diào)增加,ω>>ωc時,由TN(x)函數(shù)性質(zhì)得到L≈k2/4
(2ω/ωc)2N,所以衰減也以每10倍頻20NdB的速率上升。但其衰減比最平坦響應(yīng)大22N/4式中TN(x)是Chebyshev函數(shù),其多項式表示為T1(x)=xT2(x)=2x2-1T3(x)=4x3-3xT4(x)=8x4-8x2+1???濾波器概念ChebyshevLow-PassFilters
Response濾波器概念典型濾波器響應(yīng)3
橢圓濾波器(ellipticfilter)是利用橢圓函數(shù)(ellipticfunction)的雙周期函數(shù)性質(zhì)設(shè)計的。
就低通濾波器而言,如將巴特沃思濾波器與切比雪夫濾波器的幅頻特性加以比較,它們具有以下特點:①在巴特沃思濾波器中,無論是通帶還是阻帶均表現(xiàn)為單調(diào)衰減,并且不產(chǎn)生波紋;②在切比雪夫濾波器中,通帶內(nèi)產(chǎn)生波紋,但阻帶則為單調(diào)衰減;③切比雪夫濾波器的截止特性比巴特沃思濾波器更為陡峭。因而可以這樣設(shè)想,如果在通帶和阻帶兩方面都允許波紋存在,就能得到截止特性比切比雪夫濾波器更為陡峭的濾波器?;谶@種思路的濾波器,就是由W.Cauer提出的橢圓濾波器。濾波器概念典型濾波器響應(yīng)其中,為的分式有理多項式,其零點全部在通帶<1內(nèi),極點全部落在阻帶>1內(nèi),具有如下形式其中為零衰減頻率,為無窮衰減頻率,零衰減頻率的個數(shù)與無窮衰減頻率的個數(shù)相等。這種衰減特性與契比雪夫濾波器衰減特性相比,有如下特點:(1)通帶內(nèi)仍有契比雪夫濾波器響應(yīng)的等波紋特性;(2)阻帶內(nèi)增加了有限頻率上的極點,也呈現(xiàn)等波紋特性;(3)過渡段區(qū)域的斜率更為陡峭。橢圓函數(shù)濾波器的衰減特性為:濾波器概念橢圓函數(shù)濾波器響應(yīng)濾波器概念TechnicalParametersofFilterIL:RFinsertionloss0dB-3dB-AxdBfofUxRpdBfLxfLpfHpILdBBWRejectionQ=f0/BWRp:RippleinthepassbandBW:Differencebetweenupperandlowerfreqenciesatwhichtheattenuationis3dBSF:DescribingthesharpnessoftheresponsewiththeratiobetweentheAxdBandthe3dBbandwithsRejection:itisparameteraccordingtothespecificationofafilterQulityfactorQ:Anotherparameterdescribingfilterselectivity
濾波器概念濾波器設(shè)計一般先設(shè)計低通原型濾波器,在低通原型濾波器中,ωc=1。實際低通高通帶通帶阻濾波器由低通原型變換得到。低通原型濾波器有兩種結(jié)構(gòu),如下所示。rL=gN+1=1rG=g0=1~L2=g2Ln=gnC3=g3C1=g1
shuntcapacitanceseriesinductanceL1=g1L3=g3Cn=gnC2=g2~rG=g0=1rL=gN+1=1
seriesinductanceshuntcapacitance圖中器件的編號從信號源端的g0一直到負載端的gN+1.兩個電路同一編號的器件取值相同,給出同樣的頻響。因此它們互為對偶電路。低通原型濾波器器件參數(shù)的確定網(wǎng)絡(luò)綜合法可以確定器件參數(shù),這時將整個濾波器看成是多級二端口網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)。濾波器設(shè)計由微波網(wǎng)絡(luò)理論,整個級聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的總轉(zhuǎn)移參量矩陣[A]由各二端口網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)移參量矩陣連乘得到:[A]=[A]1[A]2…[A]N
若[A]的4個元素為abcd,則網(wǎng)絡(luò)輸入端輸入阻抗及反射系數(shù)為~rL低通原型濾波器參數(shù)的確定LC~1Rg0=1,ωc=1的低通原型濾波器參數(shù)的確定舉例。由微波網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)可得此電路的響應(yīng)為
L=1+[(1-R)2+(C2R2+L2-2LCR2)ω2+L2C2R2ω4]/4R最平坦響應(yīng)為L=1+k2ω4k=1ω=1時衰減3dB
得到R=1,L=C=21/2等波紋響應(yīng)為L=1+k2(2ω
2-1)2k=1波紋3dB
得到R=5.81,L=3.1C=0.53對于N=2的低通原型,其結(jié)構(gòu)圖如下圖所示:濾波器設(shè)計低通原型濾波器參數(shù)確定原則上,可求任意N階低通原型濾波器的器件參數(shù)值。但工程應(yīng)用時,N過大不實際。對于最平坦響應(yīng)低通原型濾波器,至10階濾波器的參數(shù)值列表如下:濾波器設(shè)計Ng1g2g3g4g5g6g7g8g9g10g11
12.0001.000021.4141.4141.000031.0002.0001.0001.000040.76541.8481.8480.76541.000050.61801.6182.0001.6180.61801.000060.51761.4141.9321.9321.4140.51761.000070.44501.2471.8022.0001.8021.2470.44501.000080.39021.1111.6631.9621.9621.6631.1110.39021.00090.34731.0001.5321.8792.0001.8791.5321.0000.34731.0000100.31290.9081.4141.7821.9751.9751.7821.4140.9080.31291.0000低通原型濾波器參數(shù)的確定最平坦響應(yīng)的低通原型濾波器至15階時的衰減曲線如下:濾波器設(shè)計低通原型濾波器參數(shù)的確定對于帶內(nèi)波紋0.01dB的等波紋響應(yīng)低通原型濾波器,至10階的濾波器參數(shù)值列表如下:濾波器設(shè)計低通原型濾波器參數(shù)的確定帶內(nèi)波紋0.01dB的等波紋響應(yīng)低通原型濾波器至10階時的衰減曲線如下:濾波器設(shè)計低通原型濾波器參數(shù)的確定帶內(nèi)波紋0.5dB的等波紋響應(yīng)低通原型濾波器至10階時的衰減曲線如下:濾波器設(shè)計)arccos(1arccos222cxffMagMagNúú?ùêê?é×-3e)(sin22NKBKpg+=,...,2,1,2)12(sinNKNKAKp=-=2sinhNbg=37.17cothlnrpbú?ùê?é=1cosh1cosh1Neatyü?íìú?ùê?é=-Chebyshev
LowPassFilters2
Impedance:Zo(ohm)
CutoffFrequency:fc(Hz)
StopbandFrequency:fx(Hz)
MaximumAttenuationatcutofffrequency:Ap(dB)
MinimumAttenuationatstopbandfrequency:Ax(dB)Step2:DeterminetheNumberofelements,NisanoddintegerthatistoavoiddifferrencebetweentheinputandoutputimpedanceStep1:
SpecificationStep3:CalculatePrototypeElementValues,gK。
BgAAgKKKKK41121×=---aAg211=gagN+1=1N奇數(shù)gN+1=coth2(β/4)N偶數(shù)濾波器設(shè)計低通原型濾波器參數(shù)的確定對于線性相位響應(yīng)低通原型濾波器,因為轉(zhuǎn)移參量的相位不像幅度那樣有較簡單的表達式,器件參數(shù)求解更復(fù)雜。至10階的濾波器參數(shù)值列表如下:
n
g1
g2
g3
g4
g5
g6
g7
g8
g9
g10
g11
1
2.000
1.0000
2
1.5774
0.4226
1.0000
3
1.255
0.5528
0.1922
1.0000
4
1.0598
0.5116
0.3181
0.1104
1.0000
5
0.9303
0.4577
0.3312
.2090
0.0718
1.0000
6
0.8377
0.4116
0.31586
.2364
.1480
0.0505
1.00
7
0.7677
0.3744
0.2944
.2378
.1778
.1104
0.0375
1.0000
8
0.7125
.3446
0.2735
.2297
.1867
.1387
.0855
0.0289
1.000
9
0.6678
0.3203
0.2547
.2184
.1859
.1506
.1111
0.0682
0.0230
1.0000
10
0.6305
0.3002
0.23842
.2066
.1808
.15390
.1240
0.0911
0.0557
0.0187
1.0000
濾波器設(shè)計低通原型橢圓函數(shù)濾波器由濾波器的設(shè)計指標LAs(dB),和LAr(dB),得到上述原型電路的系數(shù),需要用雅可比橢圓函數(shù)的保角變換技術(shù),其數(shù)學(xué)推導(dǎo)和計算都比較繁瑣。現(xiàn)已有圖標曲線,可供設(shè)計此類濾波器時查用。C1C2C3C5C2C4C4L2L4L1L3L2L4L5a)電容輸入b)電感輸入兩種橢圓函數(shù)低通濾波器原型電路L5C4L4L3C2L2L10.8851.1000.2831.7261.1800.11781.044501.6900.8360.9640.4011.6571.2280.14001.032451.5400.7660.8750.5301.5861.1930.17701.010401.4140.7010.7040.7421.4881.1390.23000.977351.309C5L4C4C3L2C2C1LAs(dB)下表給出了N=5帶內(nèi)波紋衰減Lar=0.1的橢圓函數(shù)低通濾波器的系數(shù)濾波器設(shè)計頻率變換1濾波器設(shè)計從變換前后的頻率響應(yīng)圖可以更清楚了解頻率變換,下圖是頻率變換前的頻響圖對于低通濾波器,若要求其截止頻率為ωC,則頻率變換公式為:
ω=ΩωC
變換前電感L’及電容C’所提供的感抗容納分別為jΩL’、jΩC’,變換后為:-101Ω0-30-3-ωC0ωCωjΩL’=j(ω/ωC)L’jΩC’=j(ω/ωC)C’=jω(L’/ωC)=jω(C’/ωC)=jωL’’=jωC’’
上式表明,用截止頻率ωC去除L’,C’即可得到新電感電容:
L’’=L’/ωC,C’’=C’/ωC
用電感L’’及電容C’’替代L’及C’即實現(xiàn)了原型至低通的頻率變換。原來截止頻率為1的濾波器變?yōu)榻刂诡l率為ωC的低通濾波器。
%howto?頻率變換2濾波器設(shè)計對于高通濾波器,若要求其截止頻率為ωC,則頻率變換公式為:
ω=-ωC/Ω變換前電感L’及電容C’所提供的感抗容納分別為jΩL’、jΩC’,變換后為:-101Ω0-3jΩL’=j(-ωC/ω)L’jΩC’=j(-ωC/ω)C’=1/[jω/(ωCL’)]=1/[jω/(ωCC’)]上式表明,用電容C’’和新電感L’’
C’’=1/(ωCL’),L’’=1/(ωCC’)分別替代電感L’及電容C’即可實現(xiàn)原型至高通的頻率變換。ω=ωC對應(yīng)原來Ω=-1時的情形,而ω=∞對應(yīng)Ω=0時的情形。-ωC0ωCω0-3上述頻率實現(xiàn)頻響由低通至高通的變換
=1/[jωC’’]=1/[jωL’’]頻率變換3濾波器設(shè)計對于帶通濾波器,若上下邊頻分別為ωU及ωL,通帶帶寬為BW=(ωU-ωL),取上下邊頻的幾何平均值為其中心頻率ω0=(ωLωU)1/2,其頻率變換公式為:與低通高通類似,頻率變換的實現(xiàn)要考察變換對感抗及容納的影響:-101Ω0-3
參考低通及高通變換結(jié)果,易知需用電感L’’及電容C’’的串聯(lián)替代L’,取值分別為:
L’’=L’/BW,C’’=BW/(ω02L’)
對于并聯(lián)電容C’,需用電容C’’及電感L’’的并聯(lián)來替代,取值分別為:
C’’=C’/BW,L’’=BW/(ω02C’)
當ω=ωL時,Ω=-1,當ω=ωU時,Ω=1,當ω=ω0時,Ω=0,故該頻率變換將低通原型的通帶區(qū)域Ω=[-1,1]映射到ω=[ωL,ωU]區(qū)域。0ωL
ω0
ωUω0-3頻率變換4濾波器設(shè)計對于帶阻濾波器,其頻率變換電感L’’及電容C’’的并聯(lián)替代L’與電容C’’及電感L’’的串聯(lián)替代C’即可實現(xiàn)原型至帶阻的頻率變換
-101Ω0-3替代L’的電感L’’及電容C’’取值為:L’’=BWL’/ω02,C’’=1/(L’BW)
可以實現(xiàn)頻響由低通至帶阻的變換
0-30ωL
ω0
ωUω替代C’的電容C’’及電感L’’取值為:C’’=BWC’/ω02,L’’=1/(C’BW)
FrequencytransformationsfromnormalizedLPF
toothersC=gKL=gkLowpasslowpasshighpassbandpassbandstopPrototypepraticalpraticalpraticalpraticalValuevaluevaluevaluevalueUwLwow2=UwLwBW=-LcwCcwL1cwC1cwoCw2LBWoLw2BWCBWBWLBWLow2BW1CBW1Cow2BW濾波器設(shè)計濾波器設(shè)計例
例設(shè)計一個系統(tǒng)特性阻抗為50歐姆,截止頻率為75MHz的最平坦響應(yīng)的低通濾波器,要求在100MHz處至少衰減20dB。給出0至100MHz的幅頻和相頻響應(yīng)曲線,并與相同階數(shù)的1dB等波紋和線性相移濾波器進行比較。濾波器的設(shè)計從其技術(shù)指標出發(fā),解:一.最平坦響應(yīng)低通濾波器濾波器設(shè)計首先確定相應(yīng)低通原型濾波器的階數(shù)N及各器件的元件參數(shù)gk;再通過阻抗及頻率變換得到實際濾波器的元件參數(shù);設(shè)計完成后一般通過計算或者仿真得到所設(shè)計濾波器的幅度響應(yīng)曲線,有的場合還需要知道相位響應(yīng)曲線。(2)同樣查表可得最大平滑原型低通濾波器參數(shù)為:
(1)指標要求在100MHz處衰減20dB,查表可知,滿足此要求的最平坦響應(yīng)低通濾波器階數(shù)N=9。
g1g2g3g4g5g6g7g8g9g100.347311.53211.879421.87941.532110.34731濾波器設(shè)計例
二.9階1dB等波紋低通濾波器濾波器設(shè)計(3)選用電容輸入型電路,經(jīng)過阻抗和頻率變換后的實際電感電容值為:(1)經(jīng)過計算,1dB等波紋原型低通濾波器參數(shù)為:
C1L2C3L4C5L6C7L8C914.75p106.2n65.06p199.5n84.93p199.5n65.06p106.2n14.75p(2)選用電容輸入型電路,經(jīng)過阻抗和頻率變換后的實際電感電容值為:g1g2g3g4g5g6g7g8g92.20221.13033.15491.20163.20891.20163.15491.13032.2022C1L2C3L4C5L6C7L8C993.5pF120nH134pF127.6nH136.3pF127.6n134pF120nH93.5pF三.9階線性相移低通濾波器(1)查表得線性相移原型低通濾波器參數(shù)為
:
(2)選用電容輸入型電路,經(jīng)過阻抗和頻率變換后的實際電感電容值為:g1g2g3g4g5g6g7g8g90.66780.32030.25470.21840.18590.15060.11110.06820.023C1L2C3L4C5L6C7L8C928.36p34nH10.82p23.18n7.89pF15.99n4.72pF7.24nH0.98pF濾波器設(shè)計例
三種濾波器的幅頻及相頻特性下圖所示
濾波器設(shè)計從圖中可以看到,切比雪夫濾波器過渡帶幅頻特性最陡峭,而線性相移濾波器相位特性最好。
Impedance:Zo(ohm)
upperpassbandedgefrequency:fPU(Hz)lowerpassbandedgefrequency:fPL(Hz)upperstopbandedgefrequency:fXU(Hz)lowerstopbandedgefrequency:fXL(Hz)MaximumAttenuationatpassband:Ap(dB)MinimumAttenuationatstopband:Ax(dB)
Step2:DeterminetheNumberofelements,NisanoddintegerthatistoavoidavoiddifferrencebetweentheinputandoutputimpedanceStep1:
SpecificationDesignofBandPassFilters
(1)ForButterworthType(2)ForChebyshevType)arccos(1arccos222XMagMagNweúú?ùêê?é×-3濾波器設(shè)計DesignofBandPassFilters2CpLpLsCsCpLsprototypebandpassTransforma-tionfomula
Step3:CalculatePrototypeElementValues,gK,
asbefore.
Selectseriesinduct-anceshuntcapacitanceorshuntcapacitanceseriesinductance,thencalculatethevaluesofCandL。
a)seriesinductanceshuntcapacitanceb)shuntcapacitanceseriesinductanceStep4:Calculatethecomponentvaluesofbpf。Transformatethelowpassprototypeelementvaluestothebandpassonesaccordingthetransformationtableatright濾波器設(shè)計ExampleofBPFdesign
Designa0.1dBrippleChebyshev-typeBPF(Zo=50ohm)withbandpassof10MHzandcentralfrequencyat75MHz,theMinimumAttenuationatstopbandhastobe30dBwith30MHzstopbandStep1:
Specification
Impedance):Zo=50ohm
upperpassbandedgefrequency:fPU=75+5=80MHz
lowerpassbandedgefrequency:fPL=75–5=70MHz
upperstopbandedgefrequency:fXU=75+15=90MHz
lowerstopbandedgefrequency:fXL=75–15=60MHz
MaximumAttenuationatpassband:rp=0.1dB
MinimumAttenuationatstopband:Ax=30dB)arccos(1arccos222XMagMagNweúú?ùêê?é×-3Step2:determinetheorderofelements,N=3778.2),(21==XXXMINwww778.21,333.3
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