第9章一元線性回歸

第9章一元線性回歸9.1

變量間關(guān)系的度量9.2一元線性回歸的估計(jì)和檢驗(yàn)9.3利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)9.4用殘差檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷募俣?/p>

回歸分析研究什么？假定因變量與自變量之間有某種關(guān)系，并把這種關(guān)系用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型表達(dá)出來(lái)，那么，就可以利用這一模型根據(jù)給定的自變量來(lái)預(yù)測(cè)因變量，這就是回歸要解決的問(wèn)題在回歸分析中，只涉及一個(gè)自變量時(shí)稱為一元回歸，涉及多個(gè)自變量時(shí)則稱為多元回歸。如果因變量與自變量之間是線性關(guān)系，則稱為線性回歸(linearregression)；如果因變量與自變量之間是非線性關(guān)系則稱為非線性回歸(nonlinearregression)2013-12-12

9.1變量間的關(guān)系

9.1.1變量間是什么樣的關(guān)系？

9.1.2用散點(diǎn)圖描述相關(guān)關(guān)系

9.1.3用相關(guān)系數(shù)度量關(guān)系強(qiáng)度第9章一元線性回歸怎樣分析變量間的關(guān)系？建立回歸模型時(shí)，首先需要弄清楚變量之間的關(guān)系。分析變量之間的關(guān)系需要解決下面的問(wèn)題變量之間是否存在關(guān)系？如果存在，它們之間是什么樣的關(guān)系？變量之間的關(guān)系強(qiáng)度如何？樣本所反映的變量之間的關(guān)系能否代表總體變量之間的關(guān)系？2013-12-129.1.1變量間是什么樣的關(guān)系？9.1變量間的關(guān)系函數(shù)關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的確定關(guān)系設(shè)有兩個(gè)變量x和y，變量y隨變量x一起變化，并完全依賴于x

，當(dāng)變量x取某個(gè)數(shù)值時(shí)，

y依確定的關(guān)系取相應(yīng)的值，則稱y是x的函數(shù)，記為y=f(x)，其中x稱為自變量，y稱為因變量各觀測(cè)點(diǎn)落在一條線上

2013-12-12xy相關(guān)關(guān)系

(幾個(gè)例子)子女的身高與其父母身高的關(guān)系從遺傳學(xué)角度看，父母身高較高時(shí)，其子女的身高一般也比較高。但實(shí)際情況并不完全是這樣，因?yàn)樽优纳砀卟⒉煌耆怯筛改干砀咭粋€(gè)因素所決定的，還有其他許多因素的影響一個(gè)人的收入水平同他受教育程度的關(guān)系收入水平相同的人，他們受教育的程度也不可能不同，而受教育程度相同的人，他們的收入水平也往往不同。因?yàn)槭杖胨诫m然與受教育程度有關(guān)系，但它并不是決定收入的惟一因素，還有職業(yè)、工作年限等諸多因素的影響農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量與降雨量之間的關(guān)系在一定條件下，降雨量越多，單位面積產(chǎn)量就越高。但產(chǎn)量并不是由降雨量一個(gè)因素決定的，還有施肥量、溫度、管理水平等其他許多因素的影響2013-12-12相關(guān)關(guān)系

(correlation)一個(gè)變量的取值不能由另一個(gè)變量唯一確定當(dāng)變量

x取某個(gè)值時(shí)，變量y的取值對(duì)應(yīng)著一個(gè)分布各觀測(cè)點(diǎn)分布在直線周圍

2013-12-12yx9.1.2用散點(diǎn)圖描述相關(guān)關(guān)系9.1變量間的關(guān)系散點(diǎn)圖

(scatterdiagram)2013-12-12完全負(fù)線性相關(guān)完全正線性相關(guān)不相關(guān)負(fù)線性相關(guān)正線性相關(guān)非線性相關(guān)用散點(diǎn)圖描述變量間的關(guān)系

(例題分析)【例9-1】為研究銷售收入與廣告費(fèi)用支出之間的關(guān)系，某醫(yī)藥管理部門隨機(jī)抽取20家藥品生產(chǎn)企業(yè)，得到它們的年銷售收入和廣告費(fèi)用支出(萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)如下。繪制散點(diǎn)圖描述銷售收入與廣告費(fèi)用之間的關(guān)系2013-12-12散點(diǎn)圖

(銷售收入和廣告費(fèi)用的散點(diǎn)圖)2013-12-129.1.3用相關(guān)系數(shù)度量關(guān)系強(qiáng)度9.1變量間的關(guān)系相關(guān)系數(shù)

(correlationcoefficient)度量變量之間線性關(guān)系強(qiáng)度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量若相關(guān)系數(shù)是根據(jù)總體全部數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為總體相關(guān)系數(shù)，記為若是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的，則稱為樣本相關(guān)系數(shù)，簡(jiǎn)稱為相關(guān)系數(shù)，記為r也稱為Pearson相關(guān)系數(shù)

(Pearson’scorrelationcoefficient)樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式

相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：r

的取值范圍是[-1,1]|r|=1，為完全相關(guān)r=1，為完全正相關(guān)r=-1，為完全負(fù)正相關(guān)r=0，不存在線性相關(guān)關(guān)系-1r<0，為負(fù)相關(guān)0<r1，為正相關(guān)|r|越趨于1表示關(guān)系越強(qiáng)；|r|越趨于0表示關(guān)系越弱2013-12-12相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2：r具有對(duì)稱性。即x與y之間的相關(guān)系數(shù)和y與x之間的相關(guān)系數(shù)相等，即rxy=ryx性質(zhì)3：r數(shù)值大小與x和y原點(diǎn)及尺度無(wú)關(guān)，即改變x和y的數(shù)據(jù)原點(diǎn)及計(jì)量尺度，并不改變r(jià)數(shù)值大小性質(zhì)4：僅僅是x與y之間線性關(guān)系的一個(gè)度量，它不能用于描述非線性關(guān)系。這意為著，r=0只表示兩個(gè)變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，并不說(shuō)明變量之間沒(méi)有任何關(guān)系性質(zhì)5：r雖然是兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的一個(gè)度量，卻不一定意味著x與y一定有因果關(guān)系2013-12-12相關(guān)系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)解釋|r|0.8時(shí)，可視為兩個(gè)變量之間高度相關(guān)0.5|r|<0.8時(shí)，可視為中度相關(guān)0.3|r|<0.5時(shí)，視為低度相關(guān)|r|<0.3時(shí)，說(shuō)明兩個(gè)變量之間的相關(guān)程度極弱，可視為不相關(guān)上述解釋必須建立在對(duì)相關(guān)系數(shù)的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)的基礎(chǔ)之上2013-12-12相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

(檢驗(yàn)的步驟)1.檢驗(yàn)兩個(gè)變量之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系采用R.A.Fisher提出的t檢驗(yàn)檢驗(yàn)的步驟為提出假設(shè)：H0：；H1：0計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量用Excel中的【TDIST】函數(shù)得雙尾計(jì)算P值，并于顯著性水平比較，并作出決策若P<，拒絕H02013-12-12相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

(例題分析)【例9-3】檢驗(yàn)銷售收入與廣告費(fèi)用之間的相關(guān)系數(shù)是否顯著(0.05)提出假設(shè)：H0：；H1：0計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量3.用Excel中的【TDIST】函數(shù)得雙尾P=2.743E-09<0.05，拒絕H0，銷售收入與廣告費(fèi)用之間的相關(guān)系數(shù)顯著2013-12-12相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

(SPSS輸出結(jié)果)2013-12-12第1步：選擇【分析】【相關(guān)】【雙變量】第2步：將兩個(gè)變量（本例為銷售收入和廣告費(fèi)用）分別選入【變量】。點(diǎn)擊【確定】

9.2一元線性回歸的估計(jì)和檢驗(yàn)

9.2.1一元線性回歸模型

9.2.2參數(shù)的最小二乘估計(jì)

9.2.3回歸直線的擬合優(yōu)度

9.2.4顯著性檢驗(yàn)第9章一元線性回歸9.2.1一元線性回歸模型9.2一元線性回歸的估計(jì)和檢驗(yàn)什么是回歸分析？

(regressionanalysis)重點(diǎn)考察考察一個(gè)特定的變量(因變量)，而把其他變量(自變量)看作是影響這一變量的因素，并通過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型將變量間的關(guān)系表達(dá)出來(lái)利用樣本數(shù)據(jù)建立模型的估計(jì)方程對(duì)模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)進(jìn)而通過(guò)一個(gè)或幾個(gè)自變量的取值來(lái)估計(jì)或預(yù)測(cè)因變量的取值2013-12-12一元線性回歸涉及一個(gè)自變量的回歸因變量y與自變量x之間為線性關(guān)系被預(yù)測(cè)或被解釋的變量稱為因變量(dependentvariable)，用y表示用來(lái)預(yù)測(cè)或用來(lái)解釋因變量的一個(gè)或多個(gè)變量稱為自變量(independentvariable)，用x表示因變量與自變量之間的關(guān)系用一個(gè)線性方程來(lái)表示2013-12-12一元線性回歸模型

(linearregressionmodel)描述因變量y如何依賴于自變量x和誤差項(xiàng)

的方程稱為回歸模型一元線性回歸模型可表示為

y=b0+b1x+ey是x的線性函數(shù)(部分)加上誤差項(xiàng)線性部分反映了由于x的變化而引起的y的變化誤差項(xiàng)

是隨機(jī)變量反映了除x和y之間的線性關(guān)系之外的隨機(jī)因素對(duì)y的影響是不能由x和y之間的線性關(guān)系所解釋的變異性0和1稱為模型的參數(shù)2013-12-12一元線性回歸模型

(基本假定)

因變量x與自變量y之間具有線性關(guān)系在重復(fù)抽樣中，自變量x的取值是固定的，即假定x是非隨機(jī)的誤差項(xiàng)滿足正態(tài)性。是一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，且期望值為0，即

~N(0,2)。對(duì)于一個(gè)給定的x值，y的期望值為E(y)=0+1x方差齊性。對(duì)于所有的x值，的方差一個(gè)特定的值，的方差也都等于2都相同。同樣，一個(gè)特定的x值，y的方差也都等于2獨(dú)立性。獨(dú)立性意味著對(duì)于一個(gè)特定的x值，它所對(duì)應(yīng)的ε與其他x值所對(duì)應(yīng)的ε不相關(guān)；對(duì)于一個(gè)特定的x值，它所對(duì)應(yīng)的y值與其他x所對(duì)應(yīng)的y值也不相關(guān)2013-12-12估計(jì)的回歸方程

(estimatedregressionequation)2013-12-12總體回歸參數(shù)和

是未知的，必須利用樣本數(shù)據(jù)去估計(jì)用樣本統(tǒng)計(jì)量和代替回歸方程中的未知參數(shù)和，就得到了估計(jì)的回歸方程一元線性回歸中估計(jì)的回歸方程為其中：是估計(jì)的回歸直線在y

軸上的截距，是直線的斜率，它表示對(duì)于一個(gè)給定的x

的值，是y

的估計(jì)值，也表示x

每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，y的平均變動(dòng)值

9.2.2參數(shù)的最小二乘估計(jì)9.2一元線性回歸的估計(jì)和檢驗(yàn)參數(shù)的最小二乘估計(jì)

(methodofleastsquares)2013-12-12德國(guó)科學(xué)家KarlGauss(1777—1855)提出用最小化圖中垂直方向的誤差平方和來(lái)估計(jì)參數(shù)

使因變量的觀察值與估計(jì)值之間的誤差平方和達(dá)到最小來(lái)求得和的方法。即用最小二乘法擬合的直線來(lái)代表x與y之間的關(guān)系與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差比其他任何直線都小KarlGauss的最小化圖2013-12-12xy(xn,yn)(x1,y1)(x2,y2)(xi,yi)ei=yi-yi＾參數(shù)的最小二乘估計(jì)

(

和的計(jì)算公式)2013-12-12

根據(jù)最小二乘法，可得求解和的公式如下參數(shù)的最小二乘估計(jì)

(例題分析)【例9-4】根據(jù)例9-1的數(shù)據(jù)，求銷售收入與廣告費(fèi)用的估計(jì)的回歸方程2013-12-12第1步：選擇【工具】下拉菜單，并選擇【數(shù)據(jù)分析】選項(xiàng)第2步：在分析工具中選擇【回歸】，選擇【確定】第2步：當(dāng)對(duì)話框出現(xiàn)時(shí)

在【Y值輸入?yún)^(qū)域】設(shè)置框內(nèi)鍵入Y的數(shù)據(jù)區(qū)域在【X值輸入?yún)^(qū)域】設(shè)置框內(nèi)鍵入X的數(shù)據(jù)區(qū)域在【置信度】選項(xiàng)中給出所需的數(shù)值在【輸出選項(xiàng)】中選擇輸出區(qū)域在【殘差】分析選項(xiàng)中選擇所需的選項(xiàng)參數(shù)的最小二乘估計(jì)

(Excel輸出結(jié)果)【例】求銷售收入與廣告費(fèi)用的估計(jì)回歸方程，并解釋回歸系數(shù)的含義2013-12-12用SPSS進(jìn)行回歸第1步：選擇【分析】下拉菜單，并選擇【回歸】【線性】選項(xiàng)，進(jìn)入主對(duì)話框第2步：在主對(duì)話框中將因變量(本例為銷售收入)選入【因變量】，將自變量(本例為廣告費(fèi)用)選入【自變量】第3步：點(diǎn)擊【保存】

在【預(yù)測(cè)值】下選中【未標(biāo)準(zhǔn)化】(輸出點(diǎn)預(yù)測(cè)值)

在【預(yù)測(cè)區(qū)間】下選中【均值】和【單值】(輸出置信區(qū)間和預(yù)測(cè)區(qū)間)

在【置信區(qū)間】中選擇所要求的置信水平(隱含值95%，一般不用改變)

在【殘差】下選中【未標(biāo)準(zhǔn)化】和【標(biāo)準(zhǔn)化】(輸出殘差和標(biāo)準(zhǔn)化殘差)

點(diǎn)擊【繼續(xù)】回到主對(duì)話框。點(diǎn)擊【確定】2013-12-12參數(shù)的最小二乘估計(jì)

(SPSS輸出結(jié)果)2013-12-12參數(shù)的最小二乘估計(jì)

(例題分析)2013-12-129.2.3回歸直線的擬合優(yōu)度9.2一元線性回歸的估計(jì)和檢驗(yàn)變差因變量

y的取值是不同的，y取值的這種波動(dòng)稱為變差。變差來(lái)源于兩個(gè)方面由于自變量x的取值不同造成的除x以外的其他因素(如x對(duì)y的非線性影響、測(cè)量誤差等)的影響對(duì)一個(gè)具體的觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，變差的大小可以通過(guò)該實(shí)際觀測(cè)值與其均值之差來(lái)表示2013-12-12誤差分解圖2013-12-12xyy誤差平方和的分解

(誤差平方和的關(guān)系)

2013-12-12SST=SSR+SSE總平方和(SST){回歸平方和(SSR)殘差平方和(SSE){{誤差平方和的分解

(三個(gè)平方和的意義)總平方和(SST—totalsumofsquares)反映因變量的n個(gè)觀察值與其均值的總誤差回歸平方和(SSR—sumofsquaresofregression)反映自變量x

的變化對(duì)因變量y

取值變化的影響，或者說(shuō)，是由于x

與y

之間的線性關(guān)系引起的y

的取值變化，也稱為可解釋的平方和殘差平方和(SSE—sumofsquaresoferror)反映除x

以外的其他因素對(duì)y

取值的影響，也稱為不可解釋的平方和或剩余平方和2013-12-12判定系數(shù)R2

(coefficientofdetermination)回歸平方和占總誤差平方和的比例2013-12-12反映回歸直線的擬合程度取值范圍在[0,1]之間R21，說(shuō)明回歸方程擬合的越好；R20，說(shuō)明回歸方程擬合的越差決定系數(shù)平方根等于相關(guān)系數(shù)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差

(standarderrorofestimate)實(shí)際觀察值與回歸估計(jì)值誤差平方和的均方根反映實(shí)際觀察值在回歸直線周圍的分散狀況對(duì)誤差項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)，是在排除了x對(duì)y的線性影響后，y隨機(jī)波動(dòng)大小的一個(gè)估計(jì)量反映用估計(jì)的回歸方程預(yù)測(cè)y時(shí)預(yù)測(cè)誤差的大小

計(jì)算公式為2013-12-129.2.4顯著性檢驗(yàn)9.2一元線性回歸的估計(jì)和檢驗(yàn)線性關(guān)系的檢驗(yàn)檢驗(yàn)自變量與因變量之間的線性關(guān)系是否顯著將回歸均方(MSR)同殘差均方(MSE)加以比較，應(yīng)用F檢驗(yàn)來(lái)分析二者之間的差別是否顯著回歸均方：回歸平方和SSR除以相應(yīng)的自由度(自變量的個(gè)數(shù)k)殘差均方：殘差平方和SSE除以相應(yīng)的自由度(n-k-1)2013-12-12線性關(guān)系的檢驗(yàn)

(檢驗(yàn)的步驟)

提出假設(shè)H0：1=0線性關(guān)系不顯著2013-12-122.計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F確定顯著性水平，并根據(jù)分子自由度1和分母自由度n-2求統(tǒng)計(jì)量的P值作出決策：若P<，拒絕H0。表明兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系顯著回歸系數(shù)的檢驗(yàn)和推斷2013-12-12在一元線性回歸中，等價(jià)于線性關(guān)系的顯著性檢驗(yàn)采用t檢驗(yàn)檢驗(yàn)x與y之間是否具有線性關(guān)系，或者說(shuō)，檢驗(yàn)自變量x對(duì)因變量y的影響是否顯著理論基礎(chǔ)是回歸系數(shù)

的抽樣分布回歸系數(shù)的檢驗(yàn)和推斷

(檢驗(yàn)步驟)

提出假設(shè)H0:b1=0(沒(méi)有線性關(guān)系)H1:b1

0(有線性關(guān)系)計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量2013-12-12

確定顯著性水平，計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量的P值，并做出決策P<，拒絕H0，表明自變量是影響因變量的一個(gè)顯著因素回歸系數(shù)的檢驗(yàn)和推斷

(b1和b0的置信區(qū)間)

b1在1-置信水平下的置信區(qū)間為

b0在1-置信水平下的置信區(qū)間為2013-12-12

9.3利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)

9.3.1平均值的置信區(qū)間

9.3.2個(gè)別值的預(yù)測(cè)區(qū)間第9章一元線性回歸區(qū)間估計(jì)對(duì)于自變量

x的一個(gè)給定值x0，根據(jù)回歸方程得到因變量y的一個(gè)估計(jì)區(qū)間區(qū)間估計(jì)有兩種類型置信區(qū)間估計(jì)(confidenceintervalestimate)預(yù)測(cè)區(qū)間估計(jì)(predictionintervalestimate)2013-12-129.3.1平均值的置信區(qū)間9.3利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)平均值的置信區(qū)間利用估計(jì)的回歸方程，對(duì)于自變量x的一個(gè)給定值x0

，求出因變量y

的平均值的估計(jì)區(qū)間，這一估計(jì)區(qū)間稱為置信區(qū)間(confidenceinterval)

E(y0)

在1-置信水平下的置信區(qū)間為2013-12-12式中：se為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差個(gè)別值的預(yù)測(cè)區(qū)間利用估計(jì)的回歸方程，對(duì)于自變量x的一個(gè)給定值x0

，求出因變量y

的一個(gè)個(gè)別值的估計(jì)區(qū)間，這一區(qū)間稱為預(yù)測(cè)區(qū)間(predictioninterval)

y0在1-置信水平下的預(yù)測(cè)區(qū)間為2013-12-12注意！置信區(qū)間和預(yù)測(cè)區(qū)間2013-12-12xpyxx預(yù)測(cè)上限置信上限預(yù)測(cè)下限置信下限用SPSS進(jìn)行回歸2013-12-12第1步：選擇【分析】下拉菜單，并選擇【回歸】【線性】選項(xiàng)，進(jìn)入主對(duì)話框第2步：在主對(duì)話框中將因變量(本例為銷售收入)選入【因變量】，將自變量(本例為廣告費(fèi)用)選入【自變量】第3步：點(diǎn)擊【保存】

在【預(yù)測(cè)值】下選中【未標(biāo)準(zhǔn)化】(輸出點(diǎn)預(yù)測(cè)值)

在【預(yù)測(cè)區(qū)間】下選中【均值】和【單值】(輸出置信區(qū)間和預(yù)測(cè)區(qū)間)

在【置信區(qū)間】中選擇所要求的置信水平(隱含值95%，一般不用改變)

在【殘差】下選中【未標(biāo)準(zhǔn)化】和【標(biāo)準(zhǔn)化】(輸出殘差和標(biāo)準(zhǔn)化殘差)

點(diǎn)擊【繼續(xù)】回到主對(duì)話框。點(diǎn)擊【確定】置信區(qū)間和預(yù)測(cè)區(qū)間

(例題分析)2013-12-12點(diǎn)預(yù)測(cè)值置信線預(yù)測(cè)線用SPSS做區(qū)間圖

第1步：點(diǎn)擊【Graphs】【Interactive-Scatterplot】第2步：點(diǎn)擊【2DCoordine】，將各坐標(biāo)軸變量拖入相應(yīng)坐標(biāo)軸第3步：點(diǎn)擊【Fit】，在【method】下選擇【Regression】，在【PredictionLines】下選擇【Mean】和【Individual】。點(diǎn)擊【確定】2013-12-12置信區(qū)間和預(yù)測(cè)區(qū)間

(例題分析)2013-12-12

9.4用殘差檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷募俣?/p>

9.4.1檢驗(yàn)方差齊性

9.4.2檢驗(yàn)正態(tài)性第