第6章機械振動

第6章機械振動

振動：機械振動：任何一個物理量隨時間的周期性變化物體在某一中心位置附近來回往復(fù)運動。例如一切發(fā)聲體、心臟、海浪起伏、地震以及晶體中原子的振動任何復(fù)雜的振動都可以看做是由若干個簡單而又基本的振動的合成。這種簡單而又基本的振動形式稱為簡諧運動。6.1簡諧振動6.1.1彈簧振子：

彈簧原長時小球m所在位置為坐標原點O.對小球進行受力分析：

簡諧振動的動力學(xué)方程

其解為：

證明一個運動是簡諧振動的三個判據(jù)。

簡諧振動的運動學(xué)方程振幅A：

即振子偏離平衡位置的最大值。

速度：

為速度振幅。

加速度：

為加速度振幅。

6.2簡諧振動的周期、頻率和相位1.周期：物體完成一次全振動所用的時間。

2.頻率：單位時間內(nèi)完成全振動的次數(shù)。

一個周期后，振子振動狀態(tài)完全相同角頻率3.相位

初相位：

相位差：兩個振動的相位之差；

設(shè)有兩個簡諧振動：位相或周相確定質(zhì)點在任一時刻運動狀態(tài)的物理量它們的相位差為：

則兩質(zhì)點振動的步調(diào)完全相同。二者同相。（3）當時，振動2超前振動1；（4）當時，振動2落后振動1。相位可以用來比較不同物理量變化的步調(diào)

速度的相位比位移的相位超前，加速度的相位比位移的相位超前。則兩質(zhì)點振動的步調(diào)完全相反。二者反相。為其它超前落后OT6.2.4由初始條件確定簡諧振動的振幅和初相

取已知求討論單擺

小球受到的切向分力為：

規(guī)定在平衡位置右側(cè)為正其解為：

彈簧振子：

單擺：

固有周期復(fù)擺令*（C點為質(zhì)心）CO轉(zhuǎn)動正向簡諧振動的實例分析角諧振動扭擺以圓盤為研究對象在（扭轉(zhuǎn)角）不太大時，（剛體繞定軸轉(zhuǎn)動定律）令

結(jié)論:在扭轉(zhuǎn)角不太大時，扭擺的運動是諧振動.周期和角頻率為：金屬絲xyz（D為金屬絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)）圓盤受到的力矩為例.一輕彈簧的下端掛一重物，上端固定在支架上，彈簧伸長量l=9.8cm。如果給物體一個向下的瞬時沖擊力，使它具有的向下的速度，它就上下振動起來。試證明物體是作簡諧振動，并寫出其振動方程式。注意：（1）解題中O點的確定原則：物體保持平衡的位置。（2）解得的初相要結(jié)合初始速度作正確取舍。用旋轉(zhuǎn)矢量確定振動初相6.3簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法例.已知一簡諧振動的位移曲線如圖所示，寫出振動方程。作出旋轉(zhuǎn)矢量例1

一質(zhì)點沿x軸作簡諧振動，振幅為12cm，周期為2s。當t=0時,

位移為6cm，且向x軸正方向運動。求:(1)振動方程；(2)t=0.5s時，質(zhì)點的位置、速度和加速度；(3)如果在某時刻質(zhì)點位于x=-6cm，且向x軸負方向運動，從該位置回到平衡位置所需要的時間。解：設(shè)簡諧振動表達式為已知：A=12cm,T=2s，初始條件：t=0時，x0=0.06m,v0

>00.06=0.12cos

振動方程：yx設(shè)在某一時刻

t1，x=-0.06m代入振動方程：yx

例2

如圖所示，一輕彈簧的右端連著一物體，彈簧的勁度系數(shù)，物體的質(zhì)量.

（1）把物體從平衡位置向右拉到處停下后再釋放，求簡諧運動方程；（3）如果物體在處時速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其運動方程.

（2）求物體從初位置運動到第一次經(jīng)過處時的速度；0.05解（1）由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知解

由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知（負號表示速度沿軸負方向）

（2）求物體從初位置運動到第一次經(jīng)過處時的速度；解（3）如果物體在處時速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其運動方程.因為，由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知線性回復(fù)力是保守力，作簡諧運動的系統(tǒng)機械能守恒以彈簧振子為例（振幅的動力學(xué)意義）6.4簡諧振動的能量簡諧運動能量圖4T2T43T能量能量守恒簡諧運動方程推導(dǎo)簡諧振動動力學(xué)方程的另外一種推導(dǎo)

例質(zhì)量為的物體，以振幅作簡諧運動，其最大加速度為，求：（1）振動的周期；

（2）通過平衡位置的動能；（3）總能量；（4）物體在何處其動能和勢能相等？解（1）（2）（3）（4）時，由1）三角函數(shù)法設(shè)一質(zhì)點同時參加如下兩振動：tx結(jié)論：兩個同方向、同頻率的簡諧振動合成后仍為同頻率的簡諧振動6.5簡諧振動的合成6.5.1兩個同方向同頻率簡諧運動的合成兩個同方向同頻率簡諧運動合成后仍為簡諧運動6.5.1兩個同方向同頻率簡諧運動的合成旋轉(zhuǎn)矢量法1）相位差討論相互加強2）相位差相互削弱例

兩個同方向的簡諧振動曲線(如圖所示)

（1）求合振動的振幅；

（2）求合振動的振動方程。解：xTt33設(shè)合振動6.5.2兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成6.5.2兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成頻率較大而頻率之差很小的兩個同方向簡諧運動的合成，其合振動的振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫拍.討論,的情況

振幅振動頻率拍頻（振幅變化的頻率）兩個同方向不同頻率簡諧運動的合成

相對于的轉(zhuǎn)動角速度：兩矢量同向重合時：合振動振幅極大合振動振幅極小兩矢量反向重合時：拍的周期：拍頻：6.5.3兩個相互垂直的同頻率簡諧運動的合成質(zhì)點運動軌跡1）或討論合振動為同頻率簡諧振動2）3）用旋轉(zhuǎn)矢量描繪振動合成圖簡諧運動的合成圖兩相互垂直同頻率不同相位差6.5.4兩相互垂直不同頻率的簡諧運動的合成測量振動頻率和相位的方法李薩如圖振幅（或能量）隨時間逐漸減小的振動。能量減小的原因：2）引起鄰近質(zhì)點振動，以波的形式向周圍傳播能量。

1）磨擦或介質(zhì)阻力的存在；摩擦阻尼輻射阻尼6.6阻尼振動受迫振動共振6.6.1阻尼振動Oxx三種阻尼的比較阻尼振動位移時間曲線

a）弱阻尼阻尼振動的周期

b）過阻尼

c）臨界阻尼討論：1.阻尼較小時（），振動為減幅振動，振幅隨時間按指數(shù)規(guī)律迅速減少。阻尼越大，減幅越迅速。振動周期大于自由振動周期。2.阻尼較大時（），振動從最大位移緩慢回到平衡位置，不作往復(fù)運動。當（）時，為“臨界阻尼”情況。是質(zhì)點不做往復(fù)運動的一個極限。a：小阻尼b：過阻尼c：臨界阻尼

設(shè)想一余弦式驅(qū)動力

作用于有阻尼的彈簧振子上6.6.2受迫振動系統(tǒng)在周期性的驅(qū)動力持續(xù)作用下所發(fā)生的振動。xOx則受迫振動的穩(wěn)態(tài)解為：得到A為極大值時對應(yīng)的角頻率為：相應(yīng)的最大振幅為：即驅(qū)動力頻率等于振動系統(tǒng)的固有頻率時，振幅達到最大值。對于弱阻尼的情況：受迫振動的相位差：

2.共振對其求極值解得：當策動力的頻率與系統(tǒng)的固有頻率相等時，速度振幅達到最大值使速度振幅到達最大值的共振稱為速度共振。受迫振動中速度：共振現(xiàn)象的應(yīng)用我國古代就有大量的應(yīng)用:天壇的回音壁磨擦銅盆時水的共振表演收音機：電磁共振；核磁共振儀：核磁共振不利：例如共振時因為系統(tǒng)振幅過大會造成機器設(shè)備的損壞。典型：1940年美國塔科馬海峽大橋斷塌的部分原因就是大風與橋的共振。

1940年，TacomaNarrows大橋在通車4個月零6天后因大風引起扭轉(zhuǎn)振動，又因振動頻率接近于大橋的共振頻率而突然坍塌。非線性系統(tǒng)及混沌的基本概念一、小角度單擺的運動線性系統(tǒng)（數(shù)學(xué)定義）：線性當

很小，非線性相圖法：即運用一種幾何的方法來討論非線性問題。將質(zhì)點的位置（或角位置）作為橫坐標軸；將質(zhì)點的速度（或角速度）作為縱坐標軸。相平面：相：某種運動狀態(tài)相點：在相平面內(nèi)表征運動狀態(tài)的一個點。相跡（相圖）：相點的運動軌跡（反映運動狀態(tài)的變化）。單擺做小角度擺動：

一次積分后單擺作小角度擺動時，其相跡為一正橢圓。封閉的相跡表示運動是周期性的往復(fù)運動。C：初始條件決定小角度阻尼擺動：一條向內(nèi)旋進的螺旋線，曲線最終趨向中心點。吸引子：對應(yīng)著系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)（中心點）。相圖：小角度受迫擺動：

吸引子（極限環(huán)）：對應(yīng)著系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)（橢圓）。簡諧振動的相圖周期環(huán)阻尼振動的相圖不動點吸引子受迫振動的相圖周期吸引子或極限環(huán)Ol

二、較大角度受迫擺動：設(shè)：單周期振動雙周期振動混沌四周期振動混沌區(qū)結(jié)論：對于一個非線性系統(tǒng)，在確定的初始條件下，其解可能