量子力學：00-課程總結

量子力學總結能量量子化，波粒二象性，波函數(shù)及其物理意義，波函數(shù)的歸一化及其物理意義，力學量的平均值，算符，定態(tài)，量子態(tài)疊加原理，宇稱，束縛態(tài)，一維諧振子的能量本征值，隧穿效應，算符對易式，厄密算符平均值的性質(zhì)，量子力學關于算符的基本假設，算符的本征方程、本征值與本征函數(shù)，不確定度關系的嚴格表達，兩個算符有共同本征態(tài)的條件，力學量完全集，力學量完全集共同本征態(tài)的性質(zhì)，守恒量，狄啦克符號，內(nèi)積及其表示形式，投影算符算符及其性質(zhì)，向左作用角動量平方和角動量z分量的共同本征函數(shù)，中心力場粒子運動特點，氫原子的能量本征值與能級簡并度，正常Zeeman效應，電子自旋，關于電子自旋的Stern-Gerlach實驗，堿金屬原子光譜雙線結構，量子躍遷與選擇定則，禁戒躍遷，微擾論的思想，突發(fā)微擾與絕熱微擾，能量與時間不確定度，能級寬度與譜線寬度，半經(jīng)典理論，吸收，受激輻射，自發(fā)輻射4量子力學習題課（一）總結和例題

5總結

在量子力學中，描述系統(tǒng)狀態(tài)的物理量：波函數(shù)，體現(xiàn)粒子所具有的波粒二象性。波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋：

表示粒子出現(xiàn)在點(x,y,z)附近的概率。6薛定諤方程若不顯含，則其中，滿足的方程稱為能量本征方程，稱為能量本征函數(shù)，稱為能量本征值7能量本征方程也稱為定態(tài)薛定諤方程，對應薛定諤方程中在不顯含t時的形式，是我們后面討論大多數(shù)問題的理論基礎。也稱為定態(tài)波函數(shù)，通常將略去中的下標E，這樣能量本征方程為8一維能量本征值問題能量本征方程、隧穿效應定態(tài)及其性質(zhì)、非定態(tài)束縛態(tài)、離散譜簡并、宇稱正交、歸一、完備態(tài)一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)9解題的思路1、根據(jù)題目要求寫出哈密頓算符，具體說就是寫出勢能項：。2、求解方程。注意：多利用物理條件來求解。3、對解的討論。10例題例一、試求在不對稱勢阱中束縛態(tài)粒子的能級。

11（1）寫出不同區(qū)域的方程

II：

Ⅰ：

III:12（2）求出不同區(qū)域的解

II：

Ⅰ：

III:為什么不是為什么不是13（3）利用波函數(shù)的連續(xù)性條件獲得能級方程x=0處連續(xù)條件:

x=a處連續(xù)條件:14（3）利用波函數(shù)的連續(xù)性條件獲得能級方程

15（3）利用波函數(shù)的連續(xù)性條件獲得能級方程

根據(jù)齊次線性方程組的有解條件：16能級方程：MathCAD+Origin8.5或數(shù)值計算求解（如迭代法、二分法等）第一題試計算受到力作用的一個粒子的波函數(shù)和能量允許值。

提示：勢能第二題設粒子在周期勢場中運動，其中，，如圖所示，求粒子能量所滿足的方程第二題提示分兩種情況討論：先證明粒子的位置幾率密度也是周期性的，即：20第三題粒子做一維運動，定態(tài)波函數(shù)為，證明:(1)

(2)提示：首先證明第一題解答首先計算勢能

作為勢能零點，得到新的勢能表達式第一題解答體系的哈密頓算符寫為：定態(tài)薛定諤方程寫為：第一題解答化簡為：線形諧振子的定態(tài)薛定諤方程為：對比兩個方程可得到上面方程的解為：第一題解答能量為：第二題解答首先證明幾率密度也是周期性的，由定態(tài)薛定諤方程作變換，：（1）（2）比較（1）和（2），可知和描述的是粒子的同一運動狀態(tài)

于是可令：式中：c是常數(shù)因子。?。?）（2）1、區(qū)間-b<x<a內(nèi)：其中：在下一周期a<x<a+d中（d=a+b），根據(jù)前面的證明，有：由在x=0和x=a處的連續(xù)條件可得

為的齊次線性方程組。根據(jù)非零解條件有：分開實部及虛部得到：由以上二式可得到：即時粒子能量所滿足的方程2、令即時能量滿足的方程模擬了晶體結構

由于固體中的原子是周期性排列，形成一定的晶格點陣，價電子為整個晶體所共有。公有化的電子在所有格點上的離子和其他電子所產(chǎn)生的周期性勢場中運動。能量取分段連續(xù)值，為能帶結構：

能帶能級能帶理論解釋了固體為什么有導體、半導體和絕緣體之分

34第三題粒子做一維運動，定態(tài)波函數(shù)為，證明:(1)

(2)提示：首先證明第三題解答證明:(1)第三題解答證明:(2),已證37量子力學習題課（二）總結和例題38總結(一)為了在坐標表象中計算動量的平均值引入了動量算符從而，動量平均值可以表示為39總結(二)

在坐標表象中，力學量具體形式如何寫出？經(jīng)典力學量子力學動能動能算符角動量角動量算符哈密頓量哈密頓算符40總結(三)坐標表象中，力學量在某個確定的態(tài)下平均值計算公式：厄米算符：或體系的任何狀態(tài)下，其厄米算符的平均值都是實數(shù)。41總結(四)中心力場：42總結(五)由于相互對易，它們擁有共同本征函數(shù)：其中徑向波函數(shù)滿足方程：根據(jù)不同的可以獲得不同情況下（無限深球方勢阱，三維各向同性諧振子，氫原子）的能量本征值和徑向波函數(shù)。43例題設粒子在無限長的圓筒中的運動，筒半徑為，求粒子的能量。

解：柱坐標下的薛定諤方程：

分離變量法，代入方程得到：

44徑向方程是一個柱貝塞爾方程：

方程的通解：

45具有一系列的零點：

第一題設，求粒子能量本征值。

提示：寫出徑向方程。第二題一個質(zhì)量為的非相對論粒子在一勢場中運動，勢為其中，是任意的。求能量本征值。提示：，然后寫出關于新變量算符的形式，求解能量本征方程。第一題解答首先取守恒量完全集，共同本征函數(shù)為：

滿足的徑向方程：令：第一題解答方程化為：

能量本征值：

第二題解答令：逆關系哈密頓量：帶入勢能有：

關鍵寫出，就是寫出關于新變量算符的形式第二題解答第二題解答同理：關于新變量的能量本征方程為：分離變量法：第二題解答得到關于的三個本征方程：能量本征值54量子力學習題課（三）總結和例題55總結(一)中心力場：56總結(二)由于相互對易，它們擁有共同本征函數(shù)：其中徑向波函數(shù)滿足方程：根據(jù)不同的可以獲得不同情況下（無限深球方勢阱，三維各向同性諧振子，氫原子）的能量本征值和徑向波函數(shù)。57總結(三)設代表一組力學量完全集，即是的共同本征函數(shù)，一般代表一組量子數(shù)。設代表一組力學量完全集，即是的共同本征函數(shù)，一般代表一組量子數(shù)。設是體系的一個量子態(tài)，根據(jù)態(tài)疊加原理，有：同時稱(1)和(2)式分別為態(tài)在和表象中的展開式。表象變換：58總結(四)所謂表象，就是量子態(tài)的具體表示方式。稱和為態(tài)在和表象中的表示因為所以和必定有一定的關系，這種變換關系即為表象變換。59總結(五)任一量子態(tài)在表象中的表示可以通過矩陣變換成表象中的表示

其中：，即可證明：即變換矩陣是幺正矩陣。稱上述變換為幺正變換60總結(六)設為某一力學量的算符，量子態(tài)經(jīng)過運算后變成另一量子態(tài)，即，設在表象的基矢為

，將和用展開，有，其中列向量和分別為和在表象中的表示。其中：為在表象中的表示。61總結(七)為在表象中的表示。矩陣

就是在表象中的矩陣表示。在表象中，同樣有：矩陣

就是在表象中的矩陣表示。62總結(八)對量子態(tài)和算符，在表象(基矢)中，有對量子態(tài)和算符，在表象(基矢)中，有已知和可以通過幺正變換相聯(lián)系，即幺正矩陣可證明，矩陣和可以通過幺正矩陣相似變換相聯(lián)系：63總結(九)：右矢，代表量子態(tài)：左矢，代表量子態(tài)的共軛態(tài)即是的共軛態(tài)矢。若是力學量完全集的共同本征態(tài)，則，如球諧函數(shù)是的共同本征函數(shù)，稱為本征矢的封閉性。狄拉克符號：64總結(十)自旋：1921－1922年間史特恩－蓋拉赫實驗氫、銀或鈉電子爐（只有一個價電子）65總結(十一)66總結(十二)在電子自旋假設的基礎上發(fā)展起來的量子理論，不僅可以解釋史特恩－蓋拉赫實驗，而且可以解釋堿金屬原子光譜的雙線結構和反常塞曼效應等，終為人們所接受。它揭示出電子具有自旋這種內(nèi)稟屬性，是一種量子效應，沒有經(jīng)典對應。就是說，電子的自旋是量子概念，不能同宏觀粒子的自旋機械運動簡單對應。67總結(十三)68總結(十四)69總結(十五)70總結(十六)71總結(十七)矩陣表示：72第一題

化簡