時(shí)間序列模型

1

前述的AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q)三個(gè)模型只適用于刻畫(huà)一個(gè)平穩(wěn)序列的自相關(guān)性。一個(gè)平穩(wěn)序列的數(shù)字特征，如均值、方差和協(xié)方差等是不隨時(shí)間的變化而變化的，時(shí)間序列在各個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的隨機(jī)性服從一定的概率分布。也就是說(shuō)，對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列可以通過(guò)過(guò)去時(shí)間點(diǎn)上的信息，建立模型擬合過(guò)去信息，進(jìn)而預(yù)測(cè)未來(lái)的信息。

§5.3非平穩(wěn)時(shí)間序列建模

2

然而，對(duì)于一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列而言，時(shí)間序列的某些數(shù)字特征是隨著時(shí)間的變化而變化的。

非平穩(wěn)時(shí)間序列在各個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的隨機(jī)規(guī)律是不同的，難以通過(guò)序列已知的信息去掌握時(shí)間序列整體上的隨機(jī)性。但在實(shí)踐中遇到的經(jīng)濟(jì)和金融數(shù)據(jù)大多是非平穩(wěn)的時(shí)間序列。3圖5.9中國(guó)1978年～2006年的生產(chǎn)法GDP序列4

1.確定性時(shí)間趨勢(shì)

描述類(lèi)似圖5.9形式的非平穩(wěn)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列有兩種方法，一種方法是包含一個(gè)確定性時(shí)間趨勢(shì)

(5.3.1)

其中ut是平穩(wěn)序列；a+t是線性趨勢(shì)函數(shù)。這種過(guò)程也稱(chēng)為趨勢(shì)平穩(wěn)的，因?yàn)槿绻麖氖?5.3.1)中減去a+t，結(jié)果是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程。注意到像圖5.9一類(lèi)的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列常呈指數(shù)趨勢(shì)增長(zhǎng)，但是指數(shù)趨勢(shì)取對(duì)數(shù)就可以轉(zhuǎn)換為線性趨勢(shì)。

§5.3.1非平穩(wěn)序列和單整5

一般時(shí)間序列可能存在一個(gè)非線性函數(shù)形式的確定性時(shí)間趨勢(shì)，例如可能存在多項(xiàng)式趨勢(shì)：

(5.3.2)

t=1,2,,T

同樣可以除去這種確定性趨勢(shì)，然后分析和預(yù)測(cè)去勢(shì)后的時(shí)間序列。對(duì)于中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)而言，能準(zhǔn)確地給出確定性時(shí)間趨勢(shì)的形式很重要。如果yt能夠通過(guò)去勢(shì)方法排除確定性趨勢(shì)，轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列，稱(chēng)為退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程。62.差分平穩(wěn)過(guò)程非平穩(wěn)序列中有一類(lèi)序列可以通過(guò)差分運(yùn)算，得到具有平穩(wěn)性的序列，考慮下式

(5.3.3)

也可寫(xiě)成

(5.3.4)

其中a是常數(shù)，ut是平穩(wěn)序列，若ut

～i.i.d.N(0,

2)，且ut是一個(gè)白噪聲序列。若令a=0，y0=0，則由式(5.3.2)生成的序列yt，有var(yt)=t

2（t

=

1,2,,T），顯然違背了時(shí)間序列平穩(wěn)性的假設(shè)。而式(5.3.3)的差分序列是含位移a的隨機(jī)游走，說(shuō)明yt的差分序列yt是平穩(wěn)序列。7

實(shí)際上，在5.1節(jié)中討論的回歸方程的序列自相關(guān)問(wèn)題暗含著殘差序列是一個(gè)平穩(wěn)序列。這是因?yàn)椋绻麣埐钚蛄惺且粋€(gè)非平穩(wěn)序列，則說(shuō)明因變量除了能被解釋變量解釋的部分以外，其余的部分變化仍然不規(guī)則，隨著時(shí)間的變化有越來(lái)越大的偏離因變量均值的趨勢(shì)，這樣的模型是不能夠用來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)信息的。8

殘差序列是一個(gè)非平穩(wěn)序列的回歸被稱(chēng)為偽回歸，這樣的一種回歸有可能擬合優(yōu)度、顯著性水平等指標(biāo)都很好，但是由于殘差序列是一個(gè)非平穩(wěn)序列，說(shuō)明了這種回歸關(guān)系不能夠真實(shí)的反映因變量和解釋變量之間存在的均衡關(guān)系，而僅僅是一種數(shù)字上的巧合而已。偽回歸的出現(xiàn)說(shuō)明模型的設(shè)定出現(xiàn)了問(wèn)題，有可能需要增加解釋變量或者減少解釋變量，抑或是把原方程進(jìn)行差分，以使殘差序列達(dá)到平穩(wěn)。一個(gè)可行的辦法是先把一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列通過(guò)某種變換化成一個(gè)平穩(wěn)序列，根據(jù)5.2節(jié)中的方法建模，并利用變量之間的相關(guān)信息，描述經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的變化規(guī)律。9

3.單整

像前述yt這種非平穩(wěn)序列，可以通過(guò)差分運(yùn)算，得到平穩(wěn)性的序列稱(chēng)為單整(integration)序列。定義如下：

定義：如果序列yt，通過(guò)d次差分成為一個(gè)平穩(wěn)序列，而這個(gè)序列差分d–1次時(shí)卻不平穩(wěn)，那么稱(chēng)序列yt為d階單整序列，記為yt

～I(xiàn)(d)。特別地，如果序列yt本身是平穩(wěn)的，則為零階單整序列，記為yt

～I(xiàn)(0)。10

單整階數(shù)是使序列平穩(wěn)而差分的次數(shù)。對(duì)于上面的隨機(jī)游走過(guò)程，有一個(gè)單位根，所以是I(1)，同樣，平穩(wěn)序列是I(0)。一般而言，表示存量的數(shù)據(jù)，如以不變價(jià)格資產(chǎn)總值、儲(chǔ)蓄余額等存量數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為2階單整I(2)；以不變價(jià)格表示的消費(fèi)額、收入等流量數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為1階單整I(1)；而像利率、收益率等變化率的數(shù)據(jù)則經(jīng)常表現(xiàn)為0階單整I(0)。11

§5.3.2

非平穩(wěn)序列的單位根檢驗(yàn)

檢查序列平穩(wěn)性的標(biāo)準(zhǔn)方法是單位根檢驗(yàn)。有6種單位根檢驗(yàn)方法：ADF檢驗(yàn)、DFGLS檢驗(yàn)、PP檢驗(yàn)、KPSS檢驗(yàn)、ERS檢驗(yàn)和NP檢驗(yàn)，本節(jié)將介紹DF檢驗(yàn)、ADF檢驗(yàn)。

ADF檢驗(yàn)和PP檢驗(yàn)方法出現(xiàn)的比較早，在實(shí)際應(yīng)用中較為常見(jiàn)，但是，由于這2種方法均需要對(duì)被檢驗(yàn)序列作可能包含常數(shù)項(xiàng)和趨勢(shì)變量項(xiàng)的假設(shè)，因此，應(yīng)用起來(lái)帶有一定的不便；其它幾種方法克服了前2種方法帶來(lái)的不便，在剔除原序列趨勢(shì)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)序列是否存在單位根，應(yīng)用起來(lái)較為方便。

12

其中a是常數(shù)，

t是線性趨勢(shì)函數(shù)，ut

～i.i.d.N(0,

2)。(5.3.5)(5.3.6)(5.3.7)

1.DF檢驗(yàn)

為說(shuō)明DF檢驗(yàn)的使用，先考慮3種形式的回歸模型

13

(1)如果-1<

<1，則yt平穩(wěn)（或趨勢(shì)平穩(wěn)）。

(2)如果=1，yt

序列是非平穩(wěn)序列。(5.3.4)式可寫(xiě)成：顯然yt

的差分序列是平穩(wěn)的。

(3)如果

的絕對(duì)值大于1，序列發(fā)散，且其差分序列是非平穩(wěn)的。14

因此，判斷一個(gè)序列是否平穩(wěn)，可以通過(guò)檢驗(yàn)

是否嚴(yán)格小于1來(lái)實(shí)現(xiàn)。也就是說(shuō)：

原假設(shè)H0：

=1，備選假設(shè)H1：

<1(5.3.8)(5.3.9)(5.3.10)

從方程兩邊同時(shí)減去yt-1得，其中：

=

-1。15

其中：

=

-1，所以原假設(shè)和備選假設(shè)可以改寫(xiě)為

可以通過(guò)最小二乘法得到的估計(jì)值，并對(duì)其進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的方法，構(gòu)造檢驗(yàn)顯著性的t統(tǒng)計(jì)量。但是，Dickey-Fuller研究了這個(gè)t統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)下已經(jīng)不再服從t分布，它依賴于回歸的形式(是否引進(jìn)了常數(shù)項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng))和樣本長(zhǎng)度T

。16Mackinnon進(jìn)行了大規(guī)模的模擬，給出了不同回歸模型、不同樣本數(shù)以及不同顯著性水平下的臨界值。這樣，就可以根據(jù)需要，選擇適當(dāng)?shù)娘@著性水平，通過(guò)t統(tǒng)計(jì)量來(lái)決定能否拒絕原假設(shè)。這一檢驗(yàn)被稱(chēng)為Dickey-Fuller檢驗(yàn)(DF檢驗(yàn))。

上面描述的單位根檢驗(yàn)只有當(dāng)序列為AR(1)時(shí)才有效。如果序列存在高階滯后相關(guān)，這就違背了擾動(dòng)項(xiàng)是獨(dú)立同分布的假設(shè)。在這種情況下，可以使用增廣的DF檢驗(yàn)方法（augmentedDickey-Fullertest）來(lái)檢驗(yàn)含有高階序列相關(guān)的序列的單位根。

17

2.ADF檢驗(yàn)

考慮yt存在p階序列相關(guān)，用p階自回歸過(guò)程來(lái)修正，在上式兩端減去yt-1，通過(guò)添項(xiàng)和減項(xiàng)的方法，可得其中

18ADF檢驗(yàn)方法通過(guò)在回歸方程右邊加入因變量yt

的滯后差分項(xiàng)來(lái)控制高階序列相關(guān)

(5.3.11)(5.3.12)(5.3.13)19

擴(kuò)展定義將檢驗(yàn)

(5.3.14)

原假設(shè)為：至少存在一個(gè)單位根；備選假設(shè)為：序列不存在單位根。序列yt可能還包含常數(shù)項(xiàng)和時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。判斷的估計(jì)值是接受原假設(shè)或者接受備選假設(shè)，進(jìn)而判斷一個(gè)高階自相關(guān)序列AR(p)過(guò)程是否存在單位根。類(lèi)似于DF檢驗(yàn)，Mackinnon通過(guò)模擬也得出在不同回歸模型及不同樣本容量下檢驗(yàn)不同顯著性水平的t統(tǒng)計(jì)量的臨界值。這使我們能夠很方便的在設(shè)定的顯著性水平下判斷高階自相關(guān)序列是否存在單位根。20

但是，在進(jìn)行ADF檢驗(yàn)時(shí)，必須注意以下兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題：

（1）必須為回歸定義合理的滯后階數(shù)，通常采用AIC準(zhǔn)則來(lái)確定給定時(shí)間序列模型的滯后階數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，還需要兼顧其他的因素，如系統(tǒng)的穩(wěn)定性、模型的擬合優(yōu)度等。

（2）可以選擇常數(shù)和線性時(shí)間趨勢(shì)，選擇哪種形式很重要，因?yàn)闄z驗(yàn)顯著性水平的t統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)下的漸近分布依賴于關(guān)于這些項(xiàng)的定義。21

①若原序列中不存在單位根，則檢驗(yàn)回歸形式選擇含有常數(shù)，意味著所檢驗(yàn)的序列的均值不為0；若原序列中存在單位根，則檢驗(yàn)回歸形式選擇含有常數(shù)，意味著所檢驗(yàn)的序列具有線性趨勢(shì)，一個(gè)簡(jiǎn)單易行的辦法是畫(huà)出檢驗(yàn)序列的曲線圖，通過(guò)圖形觀察原序列是否在一個(gè)偏離0的位置隨機(jī)變動(dòng)或具有一個(gè)線性趨勢(shì)，進(jìn)而決定是否在檢驗(yàn)時(shí)添加常數(shù)項(xiàng)。

②若原序列中不存在單位根，則檢驗(yàn)回歸形式選擇含有常數(shù)和趨勢(shì)，意味著所檢驗(yàn)的序列具有線性趨勢(shì)；若原序列中存在單位根，則檢驗(yàn)回歸形式選擇含有常數(shù)和趨勢(shì)，意味著所檢驗(yàn)的序列具有二次趨勢(shì)。同樣，決定是否在檢驗(yàn)中添加時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)，也可以通過(guò)畫(huà)出原序列的曲線圖來(lái)觀察。如果圖形中大致顯示了被檢驗(yàn)序列的波動(dòng)趨勢(shì)呈非線性變化，那么便可以添加時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。22

3.DFGLS檢驗(yàn)在經(jīng)驗(yàn)研究中，盡管DF檢驗(yàn)的DF統(tǒng)計(jì)量是應(yīng)用最廣泛的單位根檢驗(yàn)，但是它的檢驗(yàn)功效偏低，尤其是在小樣本條件下，數(shù)據(jù)的生成過(guò)程為高度自相關(guān)時(shí)，檢驗(yàn)的功效非常不理想。另外，DF檢驗(yàn)和ADF檢驗(yàn)對(duì)于含有時(shí)間趨勢(shì)的退勢(shì)平穩(wěn)序列的檢驗(yàn)是失效的。因此，為了改進(jìn)DF和ADF檢驗(yàn)的效能，Elliott，Rothenberg和Stock(1996)基于GLS方法的退勢(shì)DF檢驗(yàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)為DFGLS檢驗(yàn)，其基本原理如下：

23

首先定義序列yt的擬差分序列如下：

t=1,2,,T

并且構(gòu)造如下回歸方程：

t=1,2,,T(5.3.14)其中xt

=(1)表示yt中只含有截距項(xiàng)，或xt

=(1,t)表示yt中含有截距項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)。令表示方程(5.3.14)參數(shù)的最小二乘估計(jì)量，在實(shí)際計(jì)算中通常如下定義參數(shù)a：

24

利用方程(5.3.14)的估計(jì)參數(shù)定義退勢(shì)后的序列ytd為

t=1,2,,T

然后，對(duì)退勢(shì)后的序列ytd，應(yīng)用ADF檢驗(yàn)，即為DFGLS檢驗(yàn)。檢驗(yàn)過(guò)程如下：

t=1,2,,T

原假設(shè)和備選假設(shè)同ADF檢驗(yàn)一致，為

Elliott，Rothenberg和Stock(1996)給出了不同置信水平下的臨界值，DFGLS檢驗(yàn)同一般的ADF檢驗(yàn)一樣是左側(cè)單邊檢驗(yàn)。25

EViews軟件中單位根檢驗(yàn)操作說(shuō)明：

雙擊序列名，打開(kāi)序列窗口，選擇View/unitRootTest，得到下圖：

單位根檢驗(yàn)窗口26

進(jìn)行單位根檢驗(yàn)必須定義4項(xiàng)：

1．選擇檢驗(yàn)類(lèi)型

在Testtype的下拉列表中，選擇檢驗(yàn)方法。EViews5提供了6種單位根檢驗(yàn)的方法：①AugmentedDickey-Fuller(ADF)Test②Dickey-FullerGLSTest③Phillips-Perron(PP)Test④Kwiatkowski,Phillips,SchmidtandShin(KPSS)Test⑤Elliot,Rothenberg,andStockPointOptimal(ERS)Test⑥NgandPerron(NP)Test27

2．選擇差分形式在Testforunitrootin中確定序列在水平值、一階差分、二階差分下進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。可以使用這個(gè)選項(xiàng)決定序列中單位根的個(gè)數(shù)。如果檢驗(yàn)水平值未拒絕，而在一階差分拒絕原假設(shè)，序列中含有一個(gè)單位根，是一階單整I(1)；如果一階差分后的序列仍然未拒絕原假設(shè)，則需要選擇2階差分。一般而言，一個(gè)序列經(jīng)過(guò)兩次差分以后都可以變?yōu)橐粋€(gè)平穩(wěn)序列，也就是二階單整I(2)。28

3．定義檢驗(yàn)方程中需要包含的選項(xiàng)

在Includeintestequation中定義在檢驗(yàn)回歸中是否含有常數(shù)項(xiàng)、常數(shù)和趨勢(shì)項(xiàng)、或二者都不包含。這一選擇很重要，因?yàn)闄z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)下的分布隨這3種情況不同而變化。在什么情況下包含常數(shù)項(xiàng)或者趨勢(shì)項(xiàng)，剛才已經(jīng)作了介紹。29

4．定義序列相關(guān)階數(shù)

在Laglenth這個(gè)選項(xiàng)中可以選擇一些確定消除序列相關(guān)所需的滯后階數(shù)的準(zhǔn)則。一般而言，EViews默認(rèn)SIC準(zhǔn)則。定義上述選項(xiàng)后，單擊OK進(jìn)行檢驗(yàn)。EViews顯示檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和估計(jì)檢驗(yàn)回歸。單位根檢驗(yàn)后，應(yīng)檢查EViews顯示的估計(jì)檢驗(yàn)回歸，尤其是如果對(duì)滯后算子結(jié)構(gòu)或序列自相關(guān)階數(shù)不確定，可以選擇不同的右邊變量或滯后階數(shù)來(lái)重新檢驗(yàn)。30

例5.7

檢驗(yàn)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)序列的平穩(wěn)性

圖5.9中國(guó)1983年1月～2007年8月的CPI（上年=100）序列31

例5.7用AR(1)模型模擬1983年1月～2007年8月居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)一階差分CPI的變化規(guī)律。在用ADF進(jìn)行單位根檢驗(yàn)前，需要設(shè)定序列的是否含有常數(shù)項(xiàng)或者時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。我們可以通過(guò)畫(huà)出原序列的圖形來(lái)判斷是否要加入常數(shù)項(xiàng)或者時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。從圖5.7的CPI圖形可以看出不含有線性趨勢(shì)項(xiàng)。CPI序列的ADF檢驗(yàn)結(jié)果(選擇既無(wú)常數(shù)項(xiàng)也無(wú)趨勢(shì)項(xiàng))如下：32

1983年1月～2007年8月的CPI序列單位根ADF檢驗(yàn)結(jié)果?？梢钥闯霾荒芫芙^原假設(shè)，存在單位根。33

1983年1月～2007年8月的CPI序列單位根DF-GLS檢驗(yàn)結(jié)果。采用含有常數(shù)和趨勢(shì)項(xiàng)的形式。不能拒絕原假設(shè)，CPI序列存在單位根。34

檢驗(yàn)結(jié)果顯示，CPI序列接受原假設(shè)，因此，CPI序列是一個(gè)非平穩(wěn)的序列。接著再對(duì)一階差分CPI序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，ADF檢驗(yàn)結(jié)果如下：

檢驗(yàn)結(jié)果顯示，一階差分CPI序列拒絕原假設(shè)，接受CPI序列是平穩(wěn)序列的結(jié)論。因此，CPI序列是1階單整序列，即CPI～I(xiàn)(1)。35

例5.9檢驗(yàn)中國(guó)GDP序列的平穩(wěn)性

在圖5.9中，我們可以觀察到1978年～2006年我國(guó)GDP（現(xiàn)價(jià)，生產(chǎn)法）具有明顯的上升趨勢(shì)。在ADF檢驗(yàn)時(shí)選擇含有常數(shù)項(xiàng)和時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)，由SIC準(zhǔn)則確定滯后階數(shù)（p=4）。GDP序列的ADF檢驗(yàn)如下

：檢驗(yàn)結(jié)果顯示，GDP序列以較大的P值，即100%的概率接受原假設(shè)，即存在單位根的結(jié)論。36

將GDP序列做1階差分，然后對(duì)ΔGDP進(jìn)行ADF檢驗(yàn)（選擇含有常數(shù)項(xiàng)和時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)，由SIC準(zhǔn)則確定滯后階數(shù)（p=6））如下

：檢驗(yàn)結(jié)果顯示，ΔGDP序列仍接受存在單位根的結(jié)論。其他檢驗(yàn)方法的結(jié)果也接受原假設(shè)，ΔGDP序列存在單位根，是非平穩(wěn)的。

37

再對(duì)ΔGDP序列做差分，則Δ2GDP的ADF檢驗(yàn)（選擇不含常數(shù)項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng),由SIC準(zhǔn)則確定滯后階數(shù)（p=6））如下：檢驗(yàn)結(jié)果顯示，二階差分序列Δ2GDP在1%的顯著性水平下拒絕原假設(shè)，接受不存在單位根的結(jié)論，因此可以確定GDP序列是2階單整序列，即GDP～I(xiàn)(2)。

38

5.3.3ARIMA模型

1．ARIMA模型的形式

我們已經(jīng)介紹了對(duì)于單整序列能夠通過(guò)d次差分將非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列。設(shè)yt是d階單整序列，即yt～

I(d)，則(5.3.40)

wt為平穩(wěn)序列，即wt～

I(0)，于是可以對(duì)wt建立ARMA(p,q)模型(5.3.41)39

用滯后算子表示，則其中

(5.3.42)

經(jīng)過(guò)d階差分變換后的ARMA(p,q)模型稱(chēng)為ARIMA(p,d,q)模型(autoregressiveintegratedmovingaveragemodels)，式（5.3.42）等價(jià)于下式(5.3.43)40

估計(jì)ARIMA(p,d,q)模型同估計(jì)ARMA(p,q)具體的步驟相同，惟一不同的是在估計(jì)之前要確定原序列的差分階數(shù)d，對(duì)yt進(jìn)行d階差分。

因此，ARIMA(p,d,q)模型區(qū)別于ARMA(p,q)之處就在于前者的自回歸部分的特征多項(xiàng)式含有d個(gè)單位根。因此，對(duì)一個(gè)序列建模之前，我們應(yīng)當(dāng)首先確定該序列是否具有非平穩(wěn)性，這就首先需要對(duì)序列的平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗(yàn)，特別是要檢驗(yàn)其是否含有單位根及所含有的單位根的個(gè)數(shù)。41

2.應(yīng)用ARIMA(p,d,q)模型建模的過(guò)程

Box-Jenkins提出了具有廣泛影響的建模思想，能夠?qū)?shí)際建模起到指導(dǎo)作用。Box-Jenkins的建模思想可分為如下4個(gè)步驟：（1）對(duì)原序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，如果序列不滿足平穩(wěn)性條件，可以通過(guò)差分變換（單整階數(shù)為d，則進(jìn)行d階差分）或者其他變換，如對(duì)數(shù)差分變換使序列滿足平穩(wěn)性條件；（2）通過(guò)計(jì)算能夠描述序列特征的一些統(tǒng)計(jì)量（如自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)），來(lái)確定ARMA模型的階數(shù)p和q，并在初始估計(jì)中選擇盡可能少的參數(shù)；42

（3）估計(jì)模型的未知參數(shù)，并檢驗(yàn)參數(shù)的顯著性，以及模型本身的合理性；（4）進(jìn)行診斷分析，以證實(shí)所得模型確實(shí)與所觀察到的數(shù)據(jù)特征相符。

對(duì)于Box-Jenkins建模思想的第3、4步，需要一些統(tǒng)計(jì)量和檢驗(yàn)來(lái)分析在第2步中的模型形式選擇得是否合適，所需要的統(tǒng)計(jì)量和檢驗(yàn)如下：

（1）檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)顯著性水平的

t統(tǒng)計(jì)量；

（2）為保證ARIMA(p,d,q)模型的平穩(wěn)性，模型的特征根的倒數(shù)皆小于1；

（3）模型的殘差序列應(yīng)當(dāng)是一個(gè)白噪聲序列，可用5.1節(jié)中的檢驗(yàn)序列相關(guān)的方法檢驗(yàn)。43

在EViews中估計(jì)ARIMA模型

可以直接在估計(jì)定義式中包含差分算子D。例如：GDP～I(xiàn)(2)，對(duì)GDP估計(jì)ARIMA(1,2,1)模型，可以輸入列表：

D(GDP,2)car(1)ma(1)

使用因變量差分因子D(GDP)定義模型，EViews將提供水平變量GDP的預(yù)測(cè)值。44

例5.8用ADF單位根檢驗(yàn)得到結(jié)論：GDP序列是2階單整序列，即GDP～I(xiàn)(2)。但是檢驗(yàn)得到GDP的對(duì)數(shù)序列l(wèi)n(GDP)是1階單整序列，所以本例建立Δln(GDP)序列的ARIMA模型。首先觀察Δln(GDP)序列的相關(guān)圖（圖5.10）。

例5.9建立中國(guó)GDP的ARIMA模型

圖5.10Δln(GDP)序列的相關(guān)圖45

Δln(GDP)序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)都在1階截尾，則取模型的階數(shù)p=1和q=1，建立ARIMA(1,1,1)模型(時(shí)間期間：1978～2004年，2005和2006年實(shí)際數(shù)據(jù)不參加建模，留作檢驗(yàn)）：

46Δln(GDPt)

=0.9Δln(GDPt-1)++0.76

t=(8.98)(5.49)

R2=0.54D.W=2.2

圖5.11Δln(GDP)序列的ARIMA(1,1,1)模型殘差的相關(guān)圖

從圖5.11的相關(guān)圖中可以看出模型的殘差不存在序列相關(guān)，并且模型的各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)量也很好。47

圖5.12是這個(gè)模型的擬合和預(yù)測(cè)（靜態(tài)）的結(jié)果，其中2005年和2006年為預(yù)測(cè)結(jié)果。

圖5.12藍(lán)線是GDP序列的原數(shù)據(jù)，紅線是模型擬合和預(yù)測(cè)結(jié)果48§5.4協(xié)整和誤差修正模型

在前面介紹的ARMA模型中要求經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列是平穩(wěn)的，但是由于實(shí)際應(yīng)用中大多數(shù)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，通常采用差分方法消除序列中含有的非平穩(wěn)趨勢(shì)，使得序列平穩(wěn)化后建立模型，這就是上節(jié)介紹的ARIMA模型。但是變換后的序列限制了所討論經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的范圍，并且有時(shí)變換后的序列由于不具有直接的經(jīng)濟(jì)意義，使得化為平穩(wěn)序列后所建立的時(shí)間序列模型不便于解釋。49

1987年Engle和Granger提出的協(xié)整理論及其方法，為非平穩(wěn)序列的建模提供了另一種途徑。雖然一些經(jīng)濟(jì)變量的本身是非平穩(wěn)序列，但是，它們的線性組合卻有可能是平穩(wěn)序列。這種平穩(wěn)的線性組合被稱(chēng)為協(xié)整方程，且可解釋為變量之間的長(zhǎng)期穩(wěn)定的均衡關(guān)系。

例如，消費(fèi)和收入都是非平穩(wěn)時(shí)間序列，但是具有協(xié)整關(guān)系。假如它們不具有，那么長(zhǎng)期消費(fèi)就可能比收入高或低，于是消費(fèi)者便會(huì)非理性地消費(fèi)或累積儲(chǔ)蓄。50

5.4.1協(xié)整關(guān)系

假定一些經(jīng)濟(jì)指標(biāo)被某經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)聯(lián)系在一起，那么從長(zhǎng)遠(yuǎn)看來(lái)這些變量應(yīng)該具有均衡關(guān)系，這是建立和檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷幕境霭l(fā)點(diǎn)。在短期內(nèi)，因?yàn)榧竟?jié)影響或隨機(jī)干擾，這些變量有可能偏離均值。如果這種偏離是暫時(shí)的，那么隨著時(shí)間推移將會(huì)回到均衡狀態(tài)；如果這種偏離是持久的，就不能說(shuō)這些變量之間存在均衡關(guān)系。協(xié)整(co-integration)可被看作這種均衡關(guān)系性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)表示。協(xié)整概念是一個(gè)強(qiáng)有力的概念。因?yàn)閰f(xié)整允許我們刻畫(huà)兩個(gè)或多個(gè)序列之間的平衡或平穩(wěn)關(guān)系。對(duì)于每一個(gè)序列單獨(dú)來(lái)說(shuō)可能是非平穩(wěn)的，這些序列的矩，如均值、方差或協(xié)方差隨時(shí)間而變化，而這些時(shí)間序列的線性組合序列卻可能有不隨時(shí)間變化的性質(zhì)。51

下面給出協(xié)整的定義：

k維向量Y

=(y1，y2，…，yk)的分量間被稱(chēng)為d,b階協(xié)整，記為Y

～CI(d，b)，如果滿足：

(1)y1，y2，…，yk都是d階單整的，即yi～I(xiàn)(d)，i=1,2,…,k，要求Y

的每個(gè)分量yi

～I(xiàn)(d)；

(2)存在非零向量=(1,2,

…,

k

)，使得Y～I(xiàn)(d-b)，0<b≤d。簡(jiǎn)稱(chēng)Y

是協(xié)整的，向量

又稱(chēng)為協(xié)整向量。

52

需要注意的是：

(1)作為對(duì)非平穩(wěn)變量之間關(guān)系的描述，協(xié)整向量是不惟一的；

(2)協(xié)整變量必須具有相同的單整階數(shù)；

(3)最多可能存在k-1個(gè)線性無(wú)關(guān)的協(xié)整向量(Y的維數(shù)是k)；

(4)協(xié)整變量之間具有共同的趨勢(shì)成分，在數(shù)量上成比例。53

5.4.2

協(xié)整檢驗(yàn)

協(xié)整檢驗(yàn)從檢驗(yàn)的對(duì)象上可以分為兩種：一種是基于回歸系數(shù)的協(xié)整檢驗(yàn)，如Johansen協(xié)整檢驗(yàn)；另一種是基于回歸殘差的協(xié)整檢驗(yàn)，如CRDW檢驗(yàn)、DF檢驗(yàn)和ADF檢驗(yàn)。

本節(jié)將主要介紹Engle和Granger（1987）提出的協(xié)整檢驗(yàn)方法。這種協(xié)整檢驗(yàn)方法是對(duì)回歸方程的殘差進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。從協(xié)整理論的思想來(lái)看，自變量和因變量之間存在協(xié)整關(guān)系。54

也就是說(shuō)，因變量能被自變量的線性組合所解釋?zhuān)瑑烧咧g存在穩(wěn)定的均衡關(guān)系，因變量不能被自變量所解釋的部分構(gòu)成一個(gè)殘差序列，這個(gè)殘差序列應(yīng)該是平穩(wěn)的。

因此，檢驗(yàn)一組變量（因變量和解釋變量）之間是否存在協(xié)整關(guān)系等價(jià)于檢驗(yàn)回歸方程的殘差序列是否是一個(gè)平穩(wěn)序列。通常地，可以應(yīng)用上節(jié)中的ADF檢驗(yàn)來(lái)判斷殘差序列的平穩(wěn)性，進(jìn)而判斷因變量和解釋變量之間的協(xié)整關(guān)系是否存在。55

檢驗(yàn)的主要步驟如下：（1）若k個(gè)序列y1t

和y2t，y3t，…，ykt都是1階單整序列，建立回歸方程模型估計(jì)的殘差為

56

（2）檢驗(yàn)殘差序列?t是否平穩(wěn)，也就是判斷序列?t是否含有單位根。通常用ADF檢驗(yàn)來(lái)判斷殘差序列?t是否是平穩(wěn)的。

（3）如果殘差序列?t是平穩(wěn)的，則可以確定回歸方程中的k個(gè)變量（y1t，y2t，y3t，…，ykt）之間存在協(xié)整關(guān)系，并且協(xié)整向量為；否則（y1t，y2t，y3t，…，ykt）之間不存在協(xié)整關(guān)系。57

協(xié)整檢驗(yàn)的目的是決定一組非平穩(wěn)序列的線性組合是否具有協(xié)整關(guān)系，也可以通過(guò)協(xié)整檢驗(yàn)來(lái)判斷線性回歸方程設(shè)定是否合理、穩(wěn)定，這兩者的檢驗(yàn)思想和過(guò)程是完全相同的。利用ADF的協(xié)整檢驗(yàn)方法來(lái)判斷殘差序列是否平穩(wěn)，如果殘差序列是平穩(wěn)的，則回歸方程的設(shè)定是合理的，說(shuō)明回歸方程的因變量和解釋變量之間存在穩(wěn)定的均衡關(guān)系。反之，說(shuō)明回歸方程的因變量和解釋變量之間不存在穩(wěn)定均衡的關(guān)系，即便參數(shù)估計(jì)的結(jié)果很理想，這樣的一個(gè)回歸也是沒(méi)有意義的，模型本身的設(shè)定出現(xiàn)了問(wèn)題，這樣的回歸是一個(gè)偽回歸。58為了描述財(cái)政支出和財(cái)政收入之間是否存在協(xié)整關(guān)系，本例選擇1990年1月～2007年12月的月度數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，其中用f_ext表示財(cái)政支出，f_int表示財(cái)政收入。首先利用X-12季節(jié)調(diào)整方法對(duì)這2個(gè)指標(biāo)進(jìn)行季節(jié)調(diào)整，去掉季節(jié)因素，然后取對(duì)數(shù)，發(fā)現(xiàn)取對(duì)數(shù)后呈線性變化。單位根檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)序列l(wèi)n(f_ext)和ln(f_int)是非平穩(wěn)的，一階差分以后是平穩(wěn)，即ln(f_ext)和ln(f_int)均是I(1)序列。

例5.10財(cái)政支出和財(cái)政收入的協(xié)整關(guān)系檢驗(yàn)59

左圖是去掉季節(jié)因素的財(cái)政收入和財(cái)政支出的對(duì)數(shù)圖形右圖是去掉季節(jié)因素和不規(guī)則因素的財(cái)政收入和財(cái)政支出的對(duì)數(shù)圖形60

第一步，建立如下回歸方程：

估計(jì)后得到

t=(760.92)R2

=0.976

D.W.=1.37

61第二步，對(duì)上式的殘差進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，由回歸方程估計(jì)結(jié)果可得

對(duì)?t進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，選擇無(wú)截距項(xiàng)、也無(wú)趨勢(shì)項(xiàng)的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，由SIC信息準(zhǔn)則確定滯后階數(shù)為2，其結(jié)果如下：62

檢驗(yàn)結(jié)果顯示，殘差序列?t

在1%的顯著性水平下拒絕原假設(shè)，因此可以確定?t為平穩(wěn)序列，即?t～I(xiàn)(0)。上述結(jié)果表明：1990年1月～2007年12月期間ln(f_ext)和ln(f_int)之間存在協(xié)整關(guān)系，即是CI(1,1)的，協(xié)整向量為(1，1.01)。

63

5.4.3誤差修正模型

誤差修正這個(gè)術(shù)語(yǔ)最早是由Sargen(1964)提出的，但是誤差修正模型基本形式的形成是在1978年由Davidson、Hendry等提出的。傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)模型通常表述的是變量之間的一種“長(zhǎng)期均衡”關(guān)系，而實(shí)際經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)卻是由“非均衡過(guò)程”生成的。因此，建模時(shí)需要用數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)非均衡過(guò)程來(lái)逼近經(jīng)濟(jì)理論的長(zhǎng)期均衡過(guò)程。最一般的模型是自回歸分布滯后模型(autoregressivedistributedlag，ADL)。64

如果一個(gè)內(nèi)生變量yt

只被表示成同一時(shí)點(diǎn)的外生變量

xt的函數(shù)，xt對(duì)yt

的長(zhǎng)期影響很容易求出。然而如果每個(gè)變量的滯后也出現(xiàn)在模型之中，其長(zhǎng)期影響將通過(guò)分布滯后的函數(shù)反映，這就是ADL模型。先考慮一階自回歸分布滯后模型，記為ADL(1,1)

(5.4.3)65

其中：ut

～i.i.d.(0,

2)，記y*=E(yt)，x*=E(xt)

，由于E(ut)

=0，在式(5.4.3)兩邊取期望得進(jìn)而有

(5.4.4)(5.4.5)66

記k0=

0/(1-1)，k1=(

2+3)

/(1-1)

，則式(5.4.5)可寫(xiě)為(5.4.6)

其中：k1

度量了yt與xt

的長(zhǎng)期均衡關(guān)系，也是yt

關(guān)于xt的長(zhǎng)期乘數(shù)。67

在式(5.4.3)兩端減去yt-1，在右邊加減2xt-1

得到：

(5.4.7)

利用2+3=k1(1-1)，

0=k0(1-1)，式(5.4.7)又可改寫(xiě)成

(5.4.8)

令

=1-1，則式(5.4.8)可寫(xiě)成68

上式稱(chēng)為誤差修正模型(errorcorrectionmodel，簡(jiǎn)記ECM)。當(dāng)長(zhǎng)期平衡關(guān)系是y*=k0+k1x*時(shí)，誤差修正項(xiàng)是如(yt-k0-k1xt)

的形式，它反映了yt關(guān)于xt

在第

t時(shí)點(diǎn)的短期偏離。一般地，由于式(5.4.3)中|1|<1

，所以誤差項(xiàng)的系數(shù)

=(1-1)<0，通常稱(chēng)為調(diào)整系數(shù)，表示在t-1