量子力學(xué)：23-全同粒子

量子力學(xué)薛定諤圖像與海森堡圖像全同粒子波函數(shù)的交換對(duì)稱性

第11講目錄一、薛定諤圖像與海森堡圖像二、全同粒子三、波函數(shù)的交換對(duì)稱性

四、例題一、薛定諤圖像與海森堡圖像（1）1、經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)中的力學(xué)量

經(jīng)典力學(xué)中，處于一定狀態(tài)下的每一個(gè)力學(xué)量，若，在每一時(shí)刻都有確定值。

量子力學(xué)中，處于某一狀態(tài)下的某個(gè)力學(xué)量，在每一時(shí)刻，不一定有確定值，除非在該時(shí)刻量子態(tài)是該力學(xué)量的本征態(tài)。一、薛定諤圖像與海森堡圖像（2）2、力學(xué)量的平均值隨時(shí)間演化

當(dāng)體系每個(gè)時(shí)刻波函數(shù)給定后，對(duì)于力學(xué)量可以確定的只有測(cè)值概率分布和平均值。平均值隨時(shí)間演化：平均值：結(jié)論：1、若則：

2、若則：（任意狀態(tài)下）

一、薛定諤圖像與海森堡圖像（3）3、薛定諤圖像

注意：若，但是其平均值以及測(cè)值概率分布是時(shí)間的函數(shù)，根源在于，波函數(shù)是隨時(shí)間演化的。算符本身不隨時(shí)間演化波函數(shù)隨時(shí)間演化

力學(xué)量平均值以及測(cè)值概率分布隨時(shí)間演化完全歸因于波函數(shù)隨時(shí)間演化。薛定諤圖像（picture，繪景）一、薛定諤圖像與海森堡圖像（4）4、時(shí)間演化算符

定義一個(gè)時(shí)間演化算符，形式上表示的解：

給出了和初態(tài)聯(lián)系起來(lái)的一個(gè)變換。幺正性概率守恒一、薛定諤圖像與海森堡圖像（5）5、海森堡圖像

隨時(shí)間的變化，可以完全由算符來(lái)承擔(dān)，而態(tài)矢量保持為，不隨時(shí)間變化。海森堡圖像（繪景）時(shí)間演化方程：一、薛定諤圖像與海森堡圖像（6）6、總結(jié)

薛定諤圖像（繪景）：態(tài)矢量隨時(shí)間演化，力學(xué)量算符不隨時(shí)間變化。

海森堡圖像（繪景）

：態(tài)矢量不隨時(shí)間演化，力學(xué)量算符隨時(shí)間演化。

相互作用圖像（繪景）

：態(tài)矢量和力學(xué)量算符均隨時(shí)間演化。（處理存在相互作用情況）二、全同粒子（1）1、定義

具有完全相同的內(nèi)稟屬性（靜質(zhì)量，電荷，自旋，磁矩，壽命等）的粒子稱為全同粒子。全同性與量子性是緊密相聯(lián)的！

經(jīng)典力學(xué)：粒子的性質(zhì)和狀態(tài)可連續(xù)變化，因此很難找到兩個(gè)粒子是全同的。

量子力學(xué)：粒子狀態(tài)是量子化的，兩個(gè)量子態(tài)要么完全相同，要么完全不同。沒(méi)有中間狀態(tài)過(guò)渡。三、波函數(shù)的交換對(duì)稱性（1）1、交換對(duì)稱性

考慮氦原子中兩個(gè)電子所組成的體系，哈密頓量：

兩個(gè)電子交換，不變。

交換對(duì)稱性：在由全同粒子組成的多粒子體系中，任何可觀測(cè)量，特別是哈密頓量，對(duì)于任何兩個(gè)粒子交換是不變的。換句話說(shuō)，對(duì)于全同粒子多體系，任何兩個(gè)粒子交換不改變其體系的量子態(tài)。交換算符是守恒量

交換不變性由于體系具有交換不變性，時(shí)經(jīng)交換后演化到，應(yīng)等于演化到再進(jìn)行交換，即

由于的任意性，所以

由于任意

即

是運(yùn)動(dòng)常數(shù)。

A.

由于是一運(yùn)動(dòng)常數(shù)，因此一開(kāi)始體系處于某種交換對(duì)稱態(tài)下，則以后任何時(shí)刻都處于這態(tài)下；

B.與其他運(yùn)動(dòng)常數(shù)根本不同之處在于，體系要么處對(duì)稱態(tài)，要么處于反對(duì)稱態(tài).C.實(shí)驗(yàn)表明：具有自旋為半整數(shù)的粒子體系。當(dāng)兩粒子交換，波函數(shù)反號(hào)，即處于反對(duì)稱態(tài)；而自旋為整數(shù)的粒子，兩者交換，波函數(shù)不變，即處于對(duì)稱態(tài)。

三、波函數(shù)的交換對(duì)稱性（2）2、交換算符（1）

考慮N個(gè)全同粒子組成體系，波函數(shù)：

定義交換算符，表示i

粒子坐標(biāo)和j粒子坐標(biāo)交換。

事實(shí)上，和描述的是同一量子態(tài)，因?yàn)榻M成體系的N個(gè)粒子是全同粒子，所有粒子的內(nèi)稟屬性完全相同。為常數(shù)因子

表示第i個(gè)粒子的全部坐標(biāo)三、波函數(shù)的交換對(duì)稱性（3）2、交換算符（2）

有且只有兩個(gè)本征值：對(duì)稱波函數(shù)反對(duì)稱波函數(shù)

根據(jù)交換算符的本征方程，由全同粒子所組成的多粒子體系，其交換對(duì)稱性要求任意兩個(gè)粒子交換后，要么對(duì)稱，要么反對(duì)稱。三、波函數(shù)的交換對(duì)稱性（4）3、兩個(gè)全同粒子組成的體系（1）

考慮兩個(gè)全同粒子（無(wú)相互作用），哈密頓量：交換簡(jiǎn)并；和形式上完全相同。的本征值方程:設(shè)兩個(gè)粒子中有一個(gè)處于態(tài)，另一個(gè)處于態(tài)上述兩個(gè)波函數(shù)還不一定具有交換對(duì)稱性。三、波函數(shù)的交換對(duì)稱性（5）3、兩個(gè)全同粒子組成的體系（2）

對(duì)于波色子（自旋為整數(shù)倍的粒子，遵守波色統(tǒng)計(jì)），波函數(shù)對(duì)于粒子交換總是對(duì)稱的：（a）：歸一化對(duì)稱波函數(shù)為：（b）：歸一化對(duì)稱波函數(shù)為：兩（多）個(gè)全同的波色子可以處于一個(gè)單粒子態(tài)。（激光原理：光子的簡(jiǎn)并。）三、波函數(shù)的交換對(duì)稱性（6）3、兩個(gè)全同粒子組成的體系（3）

對(duì)于費(fèi)米子（自旋為半奇數(shù)倍的粒子，遵守費(fèi)米統(tǒng)計(jì)），波函數(shù)對(duì)于粒子交換總是反對(duì)稱的：（a）：歸一化反對(duì)稱波函數(shù)為：（b）：歸一化對(duì)稱波函數(shù)為：

泡利不相容原理：不允許有兩個(gè)全同的費(fèi)米子處于同一個(gè)粒子態(tài)。三、波函數(shù)的交換對(duì)稱性（7）4、N個(gè)全同費(fèi)米子組成的體系（1）

首先考慮3個(gè)全同費(fèi)米子（無(wú)相互作用），處于三個(gè)不同的單粒子態(tài)：，和。反對(duì)稱波函數(shù)寫(xiě)為：反對(duì)稱化算符三、波函數(shù)的交換對(duì)稱性（8）4、N個(gè)全同費(fèi)米子組成的體系（2）N個(gè)全同費(fèi)米子組成的體系，分別處于態(tài)下，反對(duì)稱波函數(shù)為：

表示N個(gè)粒子的一個(gè)置換。N個(gè)粒子分別排列在N個(gè)單粒子態(tài)，共有N！個(gè)排列，所以有N！個(gè)置換。奇置換：，偶置換三、波函數(shù)的交換對(duì)稱性（9）4、N個(gè)全同波色子組成的體系（1）

由于波色子不受泡利不相容原理的限制，即多個(gè)波色子可處于相同的單粒子態(tài)，設(shè)個(gè)波色子處在態(tài)上，

對(duì)稱的多粒子波函數(shù)表示為:

只對(duì)處于不同單粒子態(tài)上的粒子進(jìn)行對(duì)換，這種置換共有

歸一化的對(duì)稱波函數(shù)寫(xiě)為：四、例題（1）（a）：沒(méi)有交換對(duì)稱性，兩個(gè)粒子波函數(shù)為：

設(shè)有兩個(gè)全同的自由粒子，都處于動(dòng)量本征態(tài)。分三種情況討論它們?cè)诳臻g的相對(duì)距離的概率分布。

令：相對(duì)坐標(biāo)，質(zhì)心坐標(biāo)

相對(duì)動(dòng)量，總動(dòng)量

逆變換：四、例題（2）

由于只討論相對(duì)運(yùn)動(dòng)，所以只保留相對(duì)運(yùn)動(dòng)波函數(shù)：

在距離一個(gè)粒子在的球殼內(nèi)找到另一個(gè)粒子的概率：

為概率密度。四、例題（3）（b）：交換反對(duì)稱性波函數(shù)為，當(dāng)粒子1和2交換時(shí)，不變，，反對(duì)稱相對(duì)運(yùn)動(dòng)波函數(shù)為

在距離一個(gè)粒子在的球殼內(nèi)找到另一個(gè)粒子的概率：四、例題（4）（c）：交換對(duì)稱性波函數(shù)為，當(dāng)粒子1和2交換時(shí)，不變，，對(duì)稱相對(duì)運(yùn)動(dòng)波函數(shù)為

在距離一個(gè)粒子在的球殼內(nèi)找到另一個(gè)粒子的概率：四、例題（5）

全同粒子相對(duì)距離的概率分布與其波函數(shù)的交換對(duì)稱性有關(guān)，為可觀測(cè)效應(yīng)！四、量子力學(xué)的五個(gè)基本假定基本假定Ⅰ：波函數(shù)假定微觀粒子的狀態(tài)可以被一個(gè)波函數(shù)完全描述，從這個(gè)波函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)。波函數(shù)一般滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個(gè)條件。說(shuō)明：波函數(shù)一般是粒子坐標(biāo)和時(shí)間的復(fù)函數(shù)，波函數(shù)的模方代表粒子空間分布的概率密度。

量子力學(xué)的五個(gè)基本假定基本假定Ⅱ：力學(xué)量算符假定力學(xué)量用線性Hermite算符表示。如果在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則在量子力學(xué)中表示這個(gè)力學(xué)量的算符，由經(jīng)典表示式中將動(dòng)量換為動(dòng)量算符得出。表示力學(xué)量的算符有組成完全系的本征函數(shù)。量子力學(xué)的五個(gè)基本假定基本假定Ⅲ：本征值概率及平均值假定將體系的狀態(tài)波函數(shù)用算符的本征函數(shù)展開(kāi)

則在態(tài)中測(cè)量力學(xué)量F得到結(jié)果為的幾率是，測(cè)量結(jié)果在范圍內(nèi)的幾率是。

在任意狀態(tài)上，力學(xué)量的平均值