信號(hào)與系統(tǒng) 第六章信號(hào)的連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)描述-拉普拉斯變換

1信號(hào)與系統(tǒng)2015~2016學(xué)年第一學(xué)期2上學(xué)期學(xué)習(xí)內(nèi)容概述一、信號(hào)與系統(tǒng)

點(diǎn)題：信號(hào)、系統(tǒng)及其相互關(guān)系2、信號(hào)的運(yùn)算：1）連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)；2）偶信號(hào)和奇信號(hào)；3）周期信號(hào)與非周期信號(hào)；4）確定信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)；5）能量信號(hào)與功率信號(hào)基本運(yùn)算：加、減、乘、除、微分、積分等；復(fù)雜運(yùn)算：傅里葉變換、拉普拉斯變換、z變換、小波變換等3、基本信號(hào)：指數(shù)信號(hào)、正弦信號(hào)、階躍信號(hào)、沖激信號(hào)、斜升信號(hào)等4、系統(tǒng)特性：時(shí)變、線性、因果、穩(wěn)定、記憶、可逆1、信號(hào)的分類：上學(xué)期學(xué)習(xí)內(nèi)容概述二、LTI系統(tǒng)的時(shí)域描述：

1、卷積描述：輸出信號(hào)是輸入信號(hào)與沖激響應(yīng)的卷積和2、常系數(shù)線性微分方程描述：和上學(xué)期學(xué)習(xí)內(nèi)容概述三、LTI系統(tǒng)的頻域描述：

1、4種信號(hào)的傅里葉描述：5上學(xué)期學(xué)習(xí)內(nèi)容概述2、信號(hào)的頻譜分析及系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3、4種信號(hào)的傅里葉變換及其混合信號(hào)的傅里葉分析4、信號(hào)抽樣及量（數(shù)字）化5、抽樣定理與信號(hào)恢復(fù)6、有限持續(xù)時(shí)間離散信號(hào)（想象中）的周期性拓展及其傅里葉分析的實(shí)現(xiàn)四、傅里葉分析方法中存在的一些問(wèn)題：

1、要求信號(hào)或系統(tǒng)絕對(duì)可積（穩(wěn)定系統(tǒng)）2、不能反映系統(tǒng)除LTI特性外的其他特性（時(shí)變、線性、因果、穩(wěn)定、記憶、可逆）3、作為系統(tǒng)分析工具不夠精細(xì)和方便4、不能反映系統(tǒng)初始條件等瞬態(tài)特性第六章信號(hào)的連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)描述-拉普拉斯變換拉普拉斯變換能夠?yàn)檫B續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)及其對(duì)信號(hào)響應(yīng)提供比傅立葉變換更寬的特性描述。從很大程度上，拉普拉斯變換是傅立葉變換的擴(kuò)展，或者說(shuō)傅立葉變換是拉普拉斯變換的特例。拉普拉斯變換可以分析處理傅立葉變換不能分析的涉及非絕對(duì)可積信號(hào)。拉普拉斯變換以有兩個(gè)變量的連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)函數(shù)作為基函數(shù)。連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)函數(shù)也是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。§6.1引言§6.1引言拉氏變換的分類單邊拉氏變換雙邊拉氏變換單邊拉氏變換是求解具有初始條件微分方程的有力工具。雙邊拉氏變換為了解系統(tǒng)的穩(wěn)定性、因果性及頻率響應(yīng)等提供了新的視角。兩個(gè)時(shí)間信號(hào)卷積的拉氏變換也是相關(guān)拉氏變換的乘積。LTI的輸出可以通過(guò)輸入信號(hào)的拉氏變換與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的拉氏變換乘積得到。系統(tǒng)沖激響應(yīng)的拉氏變換仍稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)?！?.2拉普拉斯變換的引入拉普拉斯變換中的基函數(shù)—連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)函數(shù)：6.2.1LTI系統(tǒng)中連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)函數(shù)的本征函數(shù)特性若連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)函數(shù)：是沖激響應(yīng)為h(t)的LTI系統(tǒng)的輸入信號(hào)，則系統(tǒng)輸出為6.2.2LTI系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)函數(shù)的本征函數(shù)特性利用連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式定義傳遞函數(shù)則可見(jiàn)連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)est也是LTI系統(tǒng)的本征函數(shù)，傳遞函數(shù)H(s)是相應(yīng)復(fù)頻率s的本征值。6.2.2LTI系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)函數(shù)的本征函數(shù)特性以極坐標(biāo)形式表示傳遞函數(shù)可見(jiàn)以連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)est為L(zhǎng)TI系統(tǒng)的輸入信號(hào)時(shí)，其輸出信號(hào)的幅度變?yōu)樵瓉?lái)的|H(σ+jω)|倍,并將正弦分量相移φ(σ+jω)。系統(tǒng)的衰減因子和正弦分量的頻率均未改變。幅度相位6.2.3拉普拉斯變換的引入將可見(jiàn)傳遞函數(shù)是函數(shù)

的傅立葉變換，其逆變換為代入得整理得6.2.3拉普拉斯變換的引入以改變積分變量得對(duì)比因此稱H(s)是h(t)的拉氏變換，h(t)是H(s)的拉氏逆變換即傳遞函數(shù)是沖激響應(yīng)的拉氏變換，沖激響應(yīng)是傳遞函數(shù)的拉氏逆變換一般化后信號(hào)x(t)的拉氏變換為X(s)的拉氏逆變換為6.2.4拉普拉斯變換的收斂域由于拉氏變換是函數(shù)x(t)e－σt的傅立葉變換，其收斂域可以用函數(shù)x(t)e－

σt傅立葉變換存在的條件來(lái)確定使拉氏變換存在的σ值范圍稱為收斂域（ROC，regionofconvergence），用ROC表示?？梢钥闯鲈趚(t)的傅立葉變換不存在的情況，通過(guò)調(diào)整σ值，拉氏變換仍然可以收斂。因此，求拉氏變換時(shí)一定要指出其收斂域。6.2.5復(fù)頻率與s平面s=σ+jω稱為復(fù)頻率，用以表示s分布的平面稱為s平面。s平面的虛軸jω將平面分為σ<0及σ>0兩部分，分別稱為左半平面和右半平面。s平面上σ=0對(duì)應(yīng)虛軸，虛軸的點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)傅立葉變換存在的點(diǎn)。σjω0s平面6.2.6拉普拉斯變換的零點(diǎn)與極點(diǎn)（第1節(jié)課，2014年9月15日第一次課講到此。）在拉氏變換是兩個(gè)s的多項(xiàng)式之比時(shí)，即上式的分子和分母多項(xiàng)式可分別分解因式，即其中分子多項(xiàng)式的根ck稱為X(s)的零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式的根dk稱為X(s)的極點(diǎn)。。。×

×。×。。

?！力襧ω0零點(diǎn)極點(diǎn)×。例題講解及作業(yè)：（第1節(jié)課）

例6.1（P467）——拉普拉斯變換的求法例6.2（P468）——拉普拉斯逆變換的不確定性作業(yè)：習(xí)題6.1、習(xí)題6.2（P469）§6.3單邊拉氏變換實(shí)際問(wèn)題中大量涉及因果系統(tǒng)和信號(hào)，因果系統(tǒng)和信號(hào)中可以通過(guò)合理設(shè)置開(kāi)始時(shí)刻，使系統(tǒng)和信號(hào)在t≥0時(shí)才有不為零的值，而在t＜0時(shí)為零，這時(shí)拉普拉斯變換為單邊拉氏變換的逆變換仍為：稱為單邊拉氏變換。雙邊拉氏?？赏ㄟ^(guò)單邊拉氏變換討論。單邊拉氏變換記為L(zhǎng)

u，其與逆變換的關(guān)系表示為單邊拉氏變換不必指出收斂域（但仍然存在收斂域），其逆變換可以唯一確定。§6.4單邊拉氏變換的性質(zhì)A.線性特性若和則證明：B.尺度變換（時(shí)—復(fù)頻域壓縮擴(kuò)展）特性若則證明：注意到單邊拉氏變換時(shí)，t＞0，且當(dāng)τ＜0，x(τ)=0，因此不必考慮a＜0的情況。C.時(shí)移特性若則證明：對(duì)于所有使x(t－τ)u(t)=x(t－τ)u(t－τ)的τ。即必須保證不使t≥0區(qū)間的非零信號(hào)移入t＜0的區(qū)間，也不能使t＜0區(qū)間的非零信號(hào)移入t≥0的區(qū)間。（見(jiàn)P471圖6.6）？D.s域平移特性若則證明：收斂域要改變？E.卷積特性證明：若和則僅適用于當(dāng)t＜0時(shí)，x(t)=0和y(t)=0的情況。F.s域微分特性（第2節(jié)課）

若則證明：∵∴同理：例題講解及作業(yè)：

（第2節(jié)課）例6.3（P472）——s域微分特性的應(yīng)用例6.4（P472）——s域微分特性的應(yīng)用作業(yè)：習(xí)題6.3（P470），習(xí)題6.4（473）G.時(shí)域微分特性1若則證明：G.時(shí)域微分特性2對(duì)n階微分有：簡(jiǎn)寫為：關(guān)于S的函數(shù)常數(shù)關(guān)于s的n-1階多項(xiàng)式H.積分特性1若則其中：證明：因是單邊拉氏變換，需要考慮如下信號(hào)H.積分特性2而所以I.初值定理如

x(t)、x'(t)，且L

{x(t)}及L{x'

(t)}存在，則稱為初值定理。證明：由得注意：初值定理只適用x(t)在原點(diǎn)處沒(méi)有沖激變化的系統(tǒng)！J.終值定理（第2節(jié)課，2014年9月22日第二次課講到此。）如

x(t)、x'

(t)，且L

{x(t)}及L{x'

(t)}存在，則稱為終值定理。證明：由得注意：終值定理適用的條件是sX(s)的所有極點(diǎn)在s平面的左半面(X(s)可有在原點(diǎn)處的單極點(diǎn))。單邊拉氏變換性質(zhì)總結(jié)132單邊拉氏變換性質(zhì)總結(jié)2例題講解及作業(yè)：例6.5（P474）——微分特性的例證例6.6（P475）——初值定理和終值定理的例證作業(yè)：習(xí)題6.6（P475）§6.5單邊拉氏逆變換（之一）常系數(shù)線性微分方程或差分方程表示的系統(tǒng)具有LTI性質(zhì)，它們是另外一種描述LTI系統(tǒng)輸入—輸出關(guān)系的常用手段。常系數(shù)線性微分方程的一般形式是：ak和bk是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常系數(shù)，N是方程的階數(shù)。系統(tǒng)和信號(hào)的時(shí)域表現(xiàn)是應(yīng)用中的主要方面，在通過(guò)拉普拉斯變換分析系統(tǒng)和信號(hào)的特征后，其時(shí)域表現(xiàn)需要通過(guò)拉普拉斯逆變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。通過(guò)圍線積分求拉氏逆變換是一般的的方法，很多實(shí)際應(yīng)用中往往可以通過(guò)已知的拉氏變換對(duì)或其他方法來(lái)得到逆變換，包括有理分式形式拉氏變換的逆變換?！?.5單邊拉氏逆變換（之二）許多情況下是利用基本拉氏變換對(duì)和拉氏變換的性質(zhì)求拉氏逆變換，我們主要介紹用部分分式法求拉氏變換。在研究常系數(shù)線性微分方程描述的LTI系統(tǒng)時(shí)，拉氏變換往往是兩個(gè)多項(xiàng)式相比的情況當(dāng)多項(xiàng)式之比為有理多項(xiàng)式，即M＜N時(shí)，直接使用部分分式法；當(dāng)多項(xiàng)式之比不是有理多項(xiàng)式，即M＞N時(shí)，先用長(zhǎng)除法把使用部分分式法把非有理多項(xiàng)式化為一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)有理多項(xiàng)式的和，再分別用沖激函數(shù)拉氏變換和部分分式法求拉氏變換。我們用非有理多項(xiàng)式討論一般情況下的拉氏逆變換求法?！?.5單邊拉氏逆變換（之三）其中前面的求和項(xiàng)是多項(xiàng)式，后面一項(xiàng)是有理多項(xiàng)式當(dāng)多項(xiàng)式之比不是有理多項(xiàng)式，即M＞N時(shí)，先把分式化簡(jiǎn)為多項(xiàng)式形式拉氏變換的逆變換可以通過(guò)沖激函數(shù)δ(t)及其導(dǎo)數(shù)δ(k)(t)的拉氏變換得到得到上式時(shí)，利用了t=0-時(shí)，δ(0-)及其導(dǎo)數(shù)δ(k)(0-)均為零?？紤]到，多項(xiàng)式是由輸入信號(hào)引起，對(duì)于單邊拉普拉斯變換，t=0-時(shí)，輸入信號(hào)為零，這種條件是合理的?！?.5單邊拉氏逆變換（之四）把后面有理多項(xiàng)式的分母進(jìn)行因式分解，按無(wú)重根和有重根部分分別求每一個(gè)根對(duì)應(yīng)的留數(shù)。其部分分式展開(kāi)式為§6.5單邊拉氏逆變換（之五）單根部分留數(shù)的求法為重根部分留數(shù)的求法為求出所有留數(shù)，得到所有分式?！?.5單邊拉氏逆變換（之六）分別利用拉氏變換對(duì)得到每項(xiàng)分式的拉氏逆變換，再利用拉氏變換的線性性質(zhì)得到分式除法的拉氏逆變換?！?.5單邊拉氏逆變換（之七）拉氏變換復(fù)極點(diǎn)情況的部分分式拉氏逆變換求法如果拉氏變換分母多項(xiàng)式的系數(shù)全部為實(shí)數(shù)，則其復(fù)極點(diǎn)以共軛對(duì)形式出現(xiàn)，復(fù)共軛極點(diǎn)的部分展開(kāi)式為如果信號(hào)是實(shí)信號(hào)，A1和A2必為共軛，即A1=A2*，因此§6.5單邊拉氏逆變換（之八）利用下面拉氏變換對(duì)可以得到拉氏逆變換從以上拉氏逆變換的求解中可以看出，拉氏變換的極點(diǎn)確定了信號(hào)x(t)的特性。例題講解及作業(yè)：

（第3節(jié)課，2014年9月29日第三次課講到此。）例6.7（P477）例6.8（P477）例6.9（P479）作業(yè)：習(xí)題6.5（P474）、習(xí)題6.6（P475），習(xí)題6.7（P478）、習(xí)題6.8（P480）。§6.6用拉氏變換求解具有初始條件的微分方程單邊拉氏變換在系統(tǒng)分析中的一個(gè)最主要應(yīng)用，是求解具有非零初始條件的微分方程。兩邊同求拉氏變換得:x(t)+_+_RCy(t)對(duì)上式求拉氏逆變換可以得到輸出信號(hào)y(t)。§6.6用拉氏變換求解具有初始條件的微分方程一般具有非零初始條件的微分方程為兩邊同求拉氏變換并利用拉氏變換的微分性質(zhì)，得：其中§6.6用拉氏變換求解具有初始條件的微分方程推導(dǎo)中利用了單邊拉氏變換的微分性質(zhì)和初始條件§6.6用拉氏變換求解具有初始條件的微分方程整理得到代表輸出信號(hào)只與輸入信號(hào)有關(guān)，所有與輸出信號(hào)有關(guān)的初始條件均為零的強(qiáng)迫響應(yīng)的拉氏變換。其中而代表輸入信號(hào)為零，完全由初始條件決定的自然響應(yīng)的拉氏變換?！?.6用拉氏變換求解具有初始條件的微分方程系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)由輸入信號(hào)和系統(tǒng)的性質(zhì)共同決定，在信號(hào)長(zhǎng)時(shí)間作用下，系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)趨向于與信號(hào)的變化同步。系統(tǒng)的自然響應(yīng)由C(s)/A(s)的極點(diǎn)，即A(s)的根決定，其中的每一個(gè)根都對(duì)應(yīng)一個(gè)復(fù)指數(shù)項(xiàng)ept，通常稱這些根為自然頻率或系統(tǒng)頻率。自然頻率是系統(tǒng)自身特性的表現(xiàn)。自然頻率實(shí)部絕對(duì)值的大小決定了系統(tǒng)的幅度響應(yīng)速度，因?yàn)樗_定了系統(tǒng)響應(yīng)幅度的衰減或增加的速度。對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng)，自然頻率的實(shí)部應(yīng)是負(fù)實(shí)數(shù)，因此穩(wěn)定系統(tǒng)的自然頻率必然落在s平面的左半平面內(nèi)。48§6.6用拉氏變換求解具有初始條件的微分方程自然頻率的虛部確定了系統(tǒng)自身的振動(dòng)頻率，是表現(xiàn)系統(tǒng)變化節(jié)奏的量，當(dāng)虛部增大時(shí)，系統(tǒng)的變化頻率提高。自然頻率又稱為共振頻率，當(dāng)信頻率號(hào)與自然頻率相同時(shí)，稱該信頻率號(hào)為共振頻率，這時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)效率最高，既可以快速地對(duì)信號(hào)進(jìn)行衰減（相位相反）或增強(qiáng)（相位相同），在系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)也容易造成系統(tǒng)的崩潰。例題講解及作業(yè)：

（第5節(jié)課）

例6.11（P482）、例6.12（P483）習(xí)題6.9（P485）例6.11（P482）例6.12（P483）§6.7電路分析中的拉氏變換方法利用拉氏變換的微分和積分性質(zhì)，可以直接根據(jù)拉氏變換方法求解電路的微分方程。這種方法的步驟是：1、先利用拉氏變換的微分和積分性質(zhì)，將電路中的線性元件變換為拉氏變換形式；2、再根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)和基爾霍夫回路和結(jié)點(diǎn)定理寫出電路拉氏變換形式的方程組；3、從方程組中求出多項(xiàng)式除法形式的拉氏變換關(guān)系；4、用部分分式法求輸出信號(hào)的拉氏變換關(guān)系；5、求拉氏變換的逆變換得到電路的時(shí)域輸出信號(hào)?！?.7電路分析中的拉氏變換方法電阻的拉氏變換電阻、電阻兩端的電壓降及通過(guò)電阻的電流的時(shí)域關(guān)系和拉氏變換：VR(t)+R-IR(t)VR(s)+R-IR(s)§6.7.1電壓源表達(dá)方式（P486圖6.10）§6.7電路分析中的拉氏變換方法電容的拉氏變換電容、電容兩端的電壓降、電容兩端的初始電壓降、通過(guò)電容的電流的時(shí)域關(guān)系和拉氏變換：VC(t)+C-IC(t)VC(s)+1/sC-IC(s)+-VC(0-)/s§6.7電路分析中的拉氏變換方法電感的拉氏變換電感、電感兩端的電壓降、通過(guò)電感的電流的時(shí)域關(guān)系和拉氏變換：VL(t)+L-iL(t)VL(s)+-IL(s)-+LiL(0-)sL§6.7電路分析中的拉氏變換方法§6.7.2電流源表達(dá)方式（P486圖6.11）VR(s)+R-IR(s)VC(s)+1/sC-IC(s)CVC(0-)VL(s)+-IL(s)iL(0-)/ssL例題講解及作業(yè)：例6.13（P486）習(xí)題6.10（P487）§6.8雙邊拉氏變換的性質(zhì)雙邊拉氏變換為其信號(hào)x（t）包含t≥0和t＜0都不為零的情況。1、雙邊拉氏變換的線性性、尺度變換、s域平移、s域微分、卷積5個(gè)性質(zhì)與單邊拉氏變換的表達(dá)形式是相同的，但在收斂域上可以有不同的地方。2、在時(shí)移性質(zhì)、時(shí)域微分性質(zhì)、時(shí)域積分三個(gè)性質(zhì)上,二者在表達(dá)形式和收斂域上都是不同的。3、雙邊拉氏變換不強(qiáng)調(diào)（不存在）初值和終值問(wèn)題。4、雙邊拉氏變換的收斂域可以小于、等于、也可以大于單邊拉氏變換的收斂域。（廢話?。?.8雙邊拉氏變換的性質(zhì)雙邊拉氏變換中的極點(diǎn)相消效應(yīng)[例題6.14（P488）]雙邊拉氏變換的時(shí)移特性：雙邊拉氏變換的時(shí)域微分特性：雙邊拉氏變換的時(shí)域積分特性：信號(hào)線性疊加的拉氏變換的收斂域大于各信號(hào)拉氏變換收斂域的交集雙邊拉氏變換中用到初值和終值定理時(shí)，需滿足t<0時(shí)，x(t)=0§6.8雙邊拉氏變換的性質(zhì)（第6節(jié)課）

例題講解：例6.14（P488）例6.15（P489）作業(yè)：習(xí)題6.11（P490）§6.9拉氏變換收斂域的特點(diǎn)與收斂域確定方法收斂域是拉氏變換研究中的重要問(wèn)題，在雙邊拉氏變換中，未確定收斂域時(shí)逆變換所對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)將可能不是唯一的。拉氏變換收斂域的確定需要從信號(hào)x(t)及其X(s)表達(dá)式的特點(diǎn)來(lái)考慮。1、拉氏變換的收斂域首先是信號(hào)x(t)滿足收斂條件，即2、拉氏變換的收斂域內(nèi)不能包含極值點(diǎn)。由于σ是s的實(shí)部，因此收斂域與s的虛部無(wú)關(guān)，必定由s平面上平行于jω軸的區(qū)域構(gòu)成。62§6.9拉氏變換收斂域的特點(diǎn)與收斂域確定方法3、大小和時(shí)間間隔有限信號(hào)拉氏變換的收斂域（ROC）是所有s平面如果信號(hào)的時(shí)間間隔（t＜a，t＞b）和大?。▅x(t)|≤A

）有限的，即x(t)=x(t)[u(t-a)-u(t-b)]

，從下面的積分即可以看出上述結(jié)論?！?.9拉氏變換收斂域的特點(diǎn)與收斂域確定方法4、一般情況下，

雙邊拉氏變換有兩個(gè)收斂邊界，一個(gè)取決于t>b時(shí)x(t)=0的信號(hào)，稱左邊信號(hào)，用σn表示；另一個(gè)取決于t<a時(shí)x(t)=0的信號(hào)，稱右邊信號(hào)，以σp表示。若σp<σn時(shí)，則t>b與t<a的變換有公共收斂區(qū),雙邊拉氏變換存在。因此，雙邊拉氏變換的收斂區(qū)是s平面上σp

<σ<σn的帶狀區(qū)。

若σp

>

σn時(shí)，

t>b與t<a信號(hào)的拉氏變換沒(méi)有公共收斂區(qū)，雙邊拉氏變換不存在。一般情況下，信號(hào)x(t)雙邊拉氏變換的收斂條件可以表示為§6.9拉氏變換收斂域的特點(diǎn)與收斂域確定方法欲使雙邊拉氏變換收斂，可以找到大于零的常數(shù)A、σn和σp信號(hào)x(t)需滿足：使得使得且§6.9拉氏變換收斂域的特點(diǎn)與收斂域確定方法可見(jiàn)，在

t<0的區(qū)域，只有σ

<σn時(shí)，I-(σ)才收斂；在

t>0的區(qū)域，只有σ

>σp時(shí)，I+(σ)才收斂；

σp<σn時(shí)，雙邊拉氏變換有公共收斂區(qū),雙邊拉氏變換存在。因此，雙邊拉氏變換的收斂區(qū)是s平面上σp

<σ<σn的帶狀區(qū)。綜上所述，對(duì)于指數(shù)階信號(hào)x(t)（見(jiàn)P492圖6.14）左邊信號(hào)的收斂域（ROC）為：σ

<σn右邊信號(hào)的收斂域（ROC）為：σ

>σp雙邊信號(hào)的收斂域（ROC）為：σp

<σ<σn例題講解及作業(yè)：例6.16（P493）作業(yè)：習(xí)題6.12（P494）§6.10雙邊拉氏逆變換雙邊拉氏變換往往也是兩個(gè)多項(xiàng)式相比的情況，求其逆變換的方法與求單邊拉氏逆變換的方法基本相同。與單邊拉氏逆變換不同的是，由雙邊拉氏變換求逆變換時(shí)，雙邊拉氏變換中必須給出其收斂域，由收斂域給定的條件確定拉氏變換有理多項(xiàng)式部分展開(kāi)式得到的拉氏逆變換具體形式是左邊信號(hào)還是右邊信號(hào)?！?.10雙邊拉氏逆變換兩個(gè)多項(xiàng)式之比的分式可以化簡(jiǎn)為一個(gè)s的多項(xiàng)式與一個(gè)s的有理多項(xiàng)式的和其中前面的求和是多項(xiàng)式，后面一項(xiàng)是有理多項(xiàng)式§6.10雙邊拉氏逆變換1、多項(xiàng)式形式拉氏變換的收斂域是全s平面，其逆變換可以通過(guò)沖激函數(shù)δ(t)及其導(dǎo)數(shù)δ(k)(t)的拉氏變換得到，即雙邊拉氏變換的逆變換可以通過(guò)以下四種情況分別求出后進(jìn)行線性疊加求出§6.10雙邊拉氏逆變換2、有理多項(xiàng)式形式拉氏變換的收斂域是與原信號(hào)的分布范圍有關(guān)，在有理多項(xiàng)式無(wú)重極點(diǎn)（分母多項(xiàng)式無(wú)重根），且極點(diǎn)均為實(shí)數(shù)的情況下，則可以通過(guò)留數(shù)法得到其部分分式當(dāng)ROC中Re(s)＞dk時(shí)，采用右邊變換對(duì)，即當(dāng)ROC中Re(s)＜dk時(shí)，采用左邊變換對(duì)，即§6.10雙邊拉氏逆變換3、當(dāng)有理多項(xiàng)式有L個(gè)重極點(diǎn)（分母多項(xiàng)式有L重根），且極點(diǎn)均為實(shí)數(shù)（一般如此）的情況下，則對(duì)于第n重極點(diǎn)當(dāng)ROC位于極點(diǎn)右邊，即Re(s)＞dk時(shí)，采用右邊變換對(duì)，即當(dāng)ROC位于極點(diǎn)左邊，即Re(s)＜dk時(shí)，采用左邊變換對(duì)，即§6.10雙邊拉氏逆變換4、當(dāng)有理多項(xiàng)式有共軛復(fù)極點(diǎn)時(shí)，可以把復(fù)極點(diǎn)看作單極點(diǎn)，求出其部分分式的信號(hào)，再利用共軛關(guān)系得到其共軛極點(diǎn)的信號(hào)當(dāng)ROC位于極點(diǎn)左邊，即Re(s)＜Re(

dk)時(shí)，采用左邊變換對(duì)，即當(dāng)ROC中Re(s)＞Re(

dk)時(shí)，采用右邊變換對(duì)，即當(dāng)然也可以采用教材中的方法求具有共軛復(fù)極點(diǎn)的雙邊拉氏逆變換§6.10雙邊拉氏逆變換另外也可以采用靈活的方法，根據(jù)信號(hào)的因果性、穩(wěn)定性、傅立葉變換的存在性等來(lái)求雙邊拉氏逆變換。特別是在實(shí)際應(yīng)用中，幾乎所有信號(hào)的區(qū)間和大小都是有限的，它們的拉氏變換的收斂域是整個(gè)s平面。拉普拉斯變換的數(shù)值計(jì)算方法是處理實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)最常用方法。例題講解及作業(yè)：

（第4節(jié)課，2014年10月6日第四次課講到此。）

例6.17（P495）例6.18（P496）作業(yè)：習(xí)題6.13（P496），習(xí)題6.14（P496）習(xí)題6.15（P497）習(xí)題6.16（P498）§6.11傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是沖激響應(yīng)的拉氏變換。LTI系統(tǒng)的輸出信號(hào)是沖激響應(yīng)與輸入信號(hào)的卷積，即兩邊進(jìn)行拉氏變換LTI系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是輸出信號(hào)拉氏變換與輸入信號(hào)拉氏變換之比，即已知的可測(cè)量的6.11.1常系數(shù)線性微分方程所描述系統(tǒng)的傳遞函數(shù)常系數(shù)線性微分方程所描述系統(tǒng)一般表示為利用輸入信號(hào)x(t)=est是線性非時(shí)變系統(tǒng)的特征信號(hào)和特征值的定義得所以6.11.1常系數(shù)線性微分方程所描述系統(tǒng)的傳遞函數(shù)利用得到對(duì)H(s)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式分別做因式分解，得ck和dk分別是系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，

=bM/aN是增益因子，三者完全確定了傳遞函數(shù)。注意，傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是常系數(shù)線性微分方程描述的LTI系統(tǒng)特征方程的根，完全代表了系統(tǒng)的特點(diǎn)?！?.12系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性與極點(diǎn)和零點(diǎn)的關(guān)系傳遞函數(shù)的拉氏逆變換就是LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，沖激響應(yīng)代表了LTI系統(tǒng)的全部特性。只從描述系統(tǒng)的微分方程不能了解系統(tǒng)的全部特征，需要根據(jù)系統(tǒng)的特性，對(duì)沖激響應(yīng)函數(shù)做出適當(dāng)?shù)南拗疲拍艿玫秸嬲枋鲋付ㄏ到y(tǒng)的惟一沖激響應(yīng)。通過(guò)研究傳遞函數(shù)的極點(diǎn)、零點(diǎn)與系統(tǒng)特性之間的關(guān)系，得到正確沖激響應(yīng)。根據(jù)前面對(duì)拉氏逆變換的討論，傳遞函數(shù)的每一個(gè)極點(diǎn)s=

dk都將對(duì)應(yīng)著沖激響應(yīng)的一項(xiàng)指數(shù)函數(shù)edk

t

，通過(guò)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與極點(diǎn)位置的關(guān)系，可以確定系統(tǒng)的因果和穩(wěn)定性質(zhì)。通過(guò)拉氏變換求沖激響應(yīng)時(shí)，每一個(gè)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)的一個(gè)e指數(shù)函數(shù)項(xiàng)，即6.12.1系統(tǒng)因果性與極點(diǎn)的關(guān)系及沖激響應(yīng)的特點(diǎn)在因果系統(tǒng)中，當(dāng)t＞0時(shí)沖激響應(yīng)才不為零。用單邊拉氏變換可以解決問(wèn)題，所以×jωS平面σh(t)0t×jωS平面σh(t)0tdk

＜0，對(duì)應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)中的一個(gè)指數(shù)衰減函數(shù)項(xiàng)；dk

＞0，對(duì)應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)中的一個(gè)指數(shù)增長(zhǎng)函數(shù)項(xiàng)。6.12.2系統(tǒng)穩(wěn)定性與極點(diǎn)的關(guān)系及沖激響應(yīng)的特點(diǎn)dk

＜0，只有t＞0才對(duì)應(yīng)穩(wěn)定系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)中的一個(gè)指數(shù)衰減函數(shù)項(xiàng)；

在穩(wěn)定系統(tǒng)中，沖激響應(yīng)h(t)是絕對(duì)可積的，系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的傅立葉變換必定存在。因此穩(wěn)定系統(tǒng)可以用雙邊拉氏變換解決問(wèn)題，但每一個(gè)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)的一個(gè)指數(shù)函數(shù)項(xiàng)都必須是衰減的?！羓ωS平面σh(t)0t×jωS平面σh(t)0tdk

＞0，t＜0才對(duì)應(yīng)穩(wěn)定系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)中的一個(gè)指數(shù)衰減函數(shù)項(xiàng)。6.12.3穩(wěn)定因果系統(tǒng)與極點(diǎn)的關(guān)系及沖激響應(yīng)的特點(diǎn)在穩(wěn)定因果系統(tǒng)中，沖激響應(yīng)h(t)是絕對(duì)可積的，且當(dāng)t＞0時(shí)，h(t)≠0。當(dāng)然這時(shí)系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的傅立葉變換必定存在。換句話說(shuō)，穩(wěn)定因果系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)必須全部位于左半平面，才能夠既保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，又保證系統(tǒng)的因果性?！羓ωS平面σh(t)0t×××××6.12.4LTI系統(tǒng)的逆系統(tǒng)與零點(diǎn)的關(guān)系及沖激響應(yīng)的特點(diǎn)h(t)hinv(t)x(t)y(t)x(t)逆系統(tǒng)的信號(hào)變換過(guò)程示意圖逆系統(tǒng)的信號(hào)變換過(guò)程示的數(shù)學(xué)描述逆系統(tǒng)沖激響應(yīng)與原系統(tǒng)沖激響應(yīng)之間的關(guān)系逆系統(tǒng)傳遞函數(shù)與原系統(tǒng)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系6.12.4LTI系統(tǒng)的逆系統(tǒng)與零點(diǎn)的關(guān)系及沖激響應(yīng)的特點(diǎn)逆系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有有理傳遞函數(shù)H(s)的系統(tǒng)一定存在逆系統(tǒng)；逆系統(tǒng)的零點(diǎn)是原系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(s)的極點(diǎn)；逆系統(tǒng)的極點(diǎn)是原系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(s)的零點(diǎn)；逆系統(tǒng)的性質(zhì)由原系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(s)的零點(diǎn)決定，決定的方法與原系統(tǒng)方法相同。具有穩(wěn)定因果逆系統(tǒng)的原系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)H(s)的零點(diǎn)必位于s平面的左半平面；具有穩(wěn)定因果逆系統(tǒng)的穩(wěn)定因果系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)H(s)的極點(diǎn)和零點(diǎn)都位于s平面的左半平面；傳遞函數(shù)H(s)的全部極點(diǎn)和零點(diǎn)都位于s平面的左半平面的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)的幅度響應(yīng)與相位響應(yīng)之間具有惟一的關(guān)系，其相位響應(yīng)由幅度響應(yīng)惟一確定，反之亦然。例題講解及作業(yè)：

例6.19（P499）例6.20（P500）例6.21（P502）例6.22（P504）作業(yè)：習(xí)題6.17（P499），習(xí)題6.18（P500），習(xí)題6.19（P503）習(xí)題6.20（P504）習(xí)題6.21（P504）§6.13通過(guò)極點(diǎn)和零點(diǎn)確定LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)LTI系統(tǒng)拉氏變換的極點(diǎn)和零點(diǎn)可以確定系統(tǒng)的特性。沖激響應(yīng)的拉氏變換是傳遞函數(shù)，沖激響應(yīng)的傅立葉變換是頻率響應(yīng)，我們也知道傅立葉變換是拉氏變換中復(fù)頻率的實(shí)部為零的情況。在傳遞函數(shù)表達(dá)式中，令s=jω,即得到頻率響應(yīng)86§6.13通過(guò)極點(diǎn)和零點(diǎn)確定LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與直接用傅立葉變換得到的頻率響應(yīng)（P252）比較可以看出，前者是后者的分子和分母分別分解因式的結(jié)果。如果將零點(diǎn)和極點(diǎn)都用g表示，這時(shí)頻率響應(yīng)中分子、分母多項(xiàng)式中都由（jω－g

）的因式組成，把這個(gè)因式表示的頻率特性研究清楚，通過(guò)其部分分式的組合，就可以比較方便地了解系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。6.13.1單個(gè)極點(diǎn)和單個(gè)零點(diǎn)頻率響應(yīng)的圖解為了解極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)頻率響應(yīng)的影響，我們先考慮單個(gè)極點(diǎn)和單個(gè)零點(diǎn)頻率響應(yīng)的情況。1、單極點(diǎn)和單零點(diǎn)因式的圖解以（jω－g

）表示頻率響應(yīng)中的一個(gè)因式，其中表示任意一個(gè)極點(diǎn)或零點(diǎn)。當(dāng)頻率為ω時(shí)，它在平面上可以表示為（jω－g）的長(zhǎng)度jωs平面|jω－g|σ（jω－g）的復(fù)角參考方向ωgjωs平面σ6.13.1單個(gè)極點(diǎn)和單個(gè)零點(diǎn)頻率響應(yīng)的圖解2、單極點(diǎn)和單零點(diǎn)因式在不同頻率情況的圖解jωS平面Im{g}ω4ω3ω2ω1Re{g}g6.13.1單個(gè)極點(diǎn)和單個(gè)零點(diǎn)頻率響應(yīng)的圖解3、單極點(diǎn)和單零點(diǎn)對(duì)幅度響應(yīng)的影響Im{g}ω|Re{g}||jω－g|0Im{g}ω0單極點(diǎn)對(duì)幅度響應(yīng)的影響單零點(diǎn)對(duì)幅度響應(yīng)的影響6.13.1單個(gè)極點(diǎn)和單個(gè)零點(diǎn)頻率響應(yīng)的圖解4、相位響應(yīng)因?yàn)樗韵到y(tǒng)的相位響應(yīng)是所有極點(diǎn)和零點(diǎn)相位響應(yīng)的疊加。而6.13.1單個(gè)極點(diǎn)和單個(gè)零點(diǎn)頻率響應(yīng)的圖解5、單極點(diǎn)和單零點(diǎn)位于s平面左邊時(shí)相位響應(yīng)的特點(diǎn)Im{g}ωarg{jω－g}0-π/2π/2jωs平面σg參考方向6.13.1單個(gè)極點(diǎn)和單個(gè)零點(diǎn)頻率響應(yīng)的圖解6、單極點(diǎn)和單零點(diǎn)位于s平面右邊時(shí)相位響應(yīng)的特點(diǎn)Im{g}ωarg{jω－g}0

-π

π-π/2π/2jωS平面σg參考方向6.13.1例6.23（P506）和例6.24（P509）確定下面?zhèn)鬟f函數(shù)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)6.13.1例6.23（P506）和例6.24（P509）零點(diǎn)的幅度響應(yīng)零點(diǎn)的相位響應(yīng)6.13.1例6.23和例6.24極點(diǎn)1的幅度響應(yīng)極點(diǎn)1的相位響應(yīng)6.13.1例6.23和例6.24極點(diǎn)