弧長(zhǎng)陰影部分面積

圓中陰影面積的計(jì)算課前熱身2.7弧長(zhǎng)及扇形的面積

典型例題例1如圖，折扇完全打開后，OA、OB的夾角為120°，OA的長(zhǎng)為30cm，AC的長(zhǎng)為20cm，求圖中陰影部分的面積S．例2.（2008年南寧）如圖，△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分別以AB、BC、AC為直徑作三個(gè)半圓，那么陰影部分的面積為__________________（平方單位）.分析：S陰影=S以AC為直徑的半圓

+

S以BC為直徑的半圓+

S△ABC－S以AB為直徑的半圓S2S1S3S1S2S3+=?S1S2S3=

S△ABC24方法1：利用規(guī)則圖形的________來計(jì)算陰影部分的面積.和差A(yù)CB探索發(fā)現(xiàn)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，以A為圓心，AB為半徑畫弧，交AC于D點(diǎn)，求陰影部分面積（結(jié)果保留π）和差法有一些圖形結(jié)構(gòu)復(fù)雜，通過觀察，分析出不規(guī)則圖形的面積是由哪些規(guī)則圖形組合而成的，再利用這些規(guī)則圖形的面積的和或差來求，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的。如圖、水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是5cm，其中水面高3cm，求截面上有水部分的面積。0BACD弓形的面積=S扇-S⊿變式：如圖、水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是5cm，其中水面高8cm，求截面上有水部分的面積。0ABDCE弓形的面積=S扇+S△思考：如圖，點(diǎn)A、B、C在半徑為2的⊙O上，∠BAC=45°，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果中保留π）．

BCA⊙A,⊙B,⊙C兩兩不相交,且半徑都是1cm,則圖中的三個(gè)扇形的面積之和為多少?（北京中考題）●●●●如圖,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外離,它們的半徑都是1,順次連接四個(gè)圓心得到四邊形ABCD,則圖形中四個(gè)扇形(陰影部分)的面積之和是___________.如圖，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D兩兩不相交，且半徑都是2cm，求圖中陰影部分的面積。（2007，山東）如圖所示，分別以n邊形的頂點(diǎn)為圓心，以單位1為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積之和為

個(gè)平方單位．如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，分別以A、B、C為圓心，以為半徑的圓相切于點(diǎn)D、E、F，求圖中陰影部分的面積．ABCFED練一練例3.如圖，A是半徑為1的⊙O外一點(diǎn)，且OA=2，AB是⊙O的切線，BC//OA，連結(jié)AC，則陰影部分面積等于

.

分析：AB是⊙O的切線∠ABO＝90°OABC是什么圖形的一部分？扇形BOCBC//OAS△ABCS△BOC與＝∴S陰影=S扇形BOC∵OA=2，OB=1∴

∠BAO＝30°∴

∠BOA＝60°不難得出∠BOC＝60°∴S陰影=

=

方法2：根據(jù)平行線間的距離______，再利用________________的三角形面積相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化求值。相等“同底等高”探索發(fā)現(xiàn)學(xué)以致用己知直經(jīng)AB=10，點(diǎn)C、D是圓的三等分點(diǎn)，則陰影部分的面積是_____________.ABCDO分析：C、D是圓的三等分點(diǎn)

∠BOD=∠COD=60°∵OC=OD，∴△COD是等邊三角形，∴∠CDO=∠BOD=60°，∴CD//AB∴S△ACD=S△BOD∴S陰影=S扇形COD=

=

轉(zhuǎn)化法此法就是通過等積變換、平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)等方法將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成面積相等的規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的面積公式，計(jì)算出所求的不規(guī)則圖形的面積。例4.

(2009年浙江嘉興)如圖，⊙P內(nèi)含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于點(diǎn)C，且AB∥OP．若弦AB的長(zhǎng)為6，則陰影部分的面積為______________.ABCOP分析：不難看出，S陰影=S大圓

－S小圓，但大、小圓的半徑能分別求出嗎？顯然不能！平移轉(zhuǎn)化：利用________來計(jì)算陰影部分的面積.平移探索發(fā)現(xiàn)

小圓的位置對(duì)陰影面積有影響嗎？沒有S陰影=

如圖，兩半圓內(nèi)切，大半圓弦AB切小半圓于D，AB=6，則陰影部分的面積是_______________.BOADBAOD學(xué)以致用

例題講解例4.（2000年貴陽）如圖，正方形邊長(zhǎng)為2，分別以兩個(gè)對(duì)角頂點(diǎn)為圓心，2為半徑畫弧，則圖中陰影部分的面積是（）A.B.C.D.

例4.（2000年貴陽）如圖，正方形邊長(zhǎng)為2，分別以兩個(gè)對(duì)角頂點(diǎn)為圓心，2為半徑畫弧，則圖中陰影部分的面積是（）A.B.C.D.

分析：題目中“以兩個(gè)對(duì)角頂點(diǎn)為圓心，2為半徑畫弧”實(shí)際畫的是什么？扇形這個(gè)兩個(gè)扇形通過怎么的幾何變換能成為一個(gè)熟悉的圖形？旋轉(zhuǎn)探索發(fā)現(xiàn)例4.（2000年貴陽）如圖，正方形邊長(zhǎng)為2，分別以兩個(gè)對(duì)角頂點(diǎn)為圓心，2為半徑畫弧，則圖中陰影部分的面積是（）A.B.C.D.

此時(shí)，S陰影=S半圓

－S等腰Rt△，B旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化：利用________來計(jì)算陰影部分的面積.旋轉(zhuǎn)探索發(fā)現(xiàn)201、（2008年桂林）兩同心圓，大圓半徑為3，小圓半徑為1，則陰影部分面積為_________________.

學(xué)以致用

∴S陰影=

=

=

旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化：利用___________來計(jì)算陰影部分的面積.旋轉(zhuǎn)思考題：BCA(2010年云南昆明，有改動(dòng))如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=4，分別以AB、AC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積是______________.解法一解法二解法三(2010年云南昆明，有改動(dòng))如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=4，分別以AB、AC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積是______________.思考題：BCAS陰影=S以AC為直徑的半圓

+

S以AB為直徑的半圓－S△ABC陰影面積可看成在△ABC上覆蓋以AB為直徑半圓和以AC為直徑半圓，因?yàn)椤鰽BC內(nèi)的陰影部分被半圓覆蓋兩次，所以=S以AC為直徑的圓

－S△ABC=

方法一：4

解法一解法二解法三重疊法（覆蓋法）就是把所求陰影部分的面積問題轉(zhuǎn)化為可求面積的規(guī)則圖形的重疊部分的方法。這類題陰影一般是由幾個(gè)圖形疊加而成。要準(zhǔn)確認(rèn)清其結(jié)構(gòu)，理順圖形間的大小關(guān)系。思考題：BCA(2010年云南昆明，有改動(dòng))如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=4，分別以AB、AC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積是______________.方法二：用方程組來解決如圖所示，對(duì)陰影部分與空白部分的面積進(jìn)行設(shè)元xx2xyy∴

8

∴S陰影=4

4

解法一解法二解法三思考題：BCA(2010年云南昆明，有改動(dòng))如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=4，分別以AB、AC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積是______________.方法三：把圖形分解下旋轉(zhuǎn)圖形∴S陰影=AC（B）S以AC為直徑的圓

－S以AC為對(duì)角線的正方形=

4

解法一解法二解法三例4.（2000年貴陽）如圖，正方形邊長(zhǎng)為2，分別以兩個(gè)對(duì)角頂點(diǎn)為圓心，2為半徑畫弧，則圖中陰影部分的面積是（）A.B.C.D.

利用___________來計(jì)算陰影部分的面積.方程組分析：如果不拆分這個(gè)圖形，那么這個(gè)圖形有幾個(gè)區(qū)域？B①②③其中①+②得到一個(gè)扇形，而①+②+③得到一個(gè)正方形①、③區(qū)域的面積為y

,不妨設(shè)②區(qū)域的面積為

x,xyy∴

4

探索發(fā)現(xiàn)1.如圖，正方形邊長(zhǎng)為2，以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓，則圖中陰影部分的面積是（）A.B.C.D.

Bxyxxxyyy∴

4

∴S陰影=4

1.和差法有一些圖形結(jié)構(gòu)復(fù)雜，通過觀察，分析出不規(guī)則圖形的面積是由哪些規(guī)則圖形組合而成的，再利用這些規(guī)則圖形的面積的和或差來求，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的。2.轉(zhuǎn)化法此法就是通過等積變換、平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)等方法將不規(guī)則的