高中數(shù)學高考二輪復習 2023屆高考數(shù)學專題復習學案不等式1

不等式專題----定理和技巧引言：不等式在所有數(shù)學領域都有用，本書闡述不等式定理的基本技巧。讀者將看到一些經(jīng)典定理，如舒爾不等式、繆爾海德定理、柯西-蘇瓦茨不等式、冪平均不等式、不等式、霍爾德定理。對學生：本書的讀者面向高年級的有想進一步提高數(shù)學水平的高中生和大學生，本書提到的技巧是不等式難題的竅門，學生們也可以發(fā)現(xiàn)自己功課不同難題的方法。目錄：1、幾何不等式拉維換元三角方法復數(shù)的應用2、4個基本技巧三角換元代數(shù)換元增函數(shù)定理建立新邊界3、齊次化和標準化齊次化舒爾不等式和繆爾海德定理標準化柯西-蘇瓦茨不等式和霍爾德定理。4、凸函數(shù)琴生不等式冪平均不等式最優(yōu)化不等式輔助線不等式5、例題多變量不等式帕特南研討會Ch1.幾何不等式拉維換元許多不等式因采用合適的換元而簡單化，讓我們從三角幾何的經(jīng)典不等式開始。最重要的幾何不等式是哪個？1746年，察柏爾證明了一個定理：定理：設和分別代表的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則.當且僅當?shù)冗吶切螘r取等號。證明：設的三邊分別為，半周長，面積為，則：還有：且：式就是海倫公式。由得：，而由式得：，那么相當于即：定理：設為三角形的三個邊長，則有：等號當且僅當時成立。證明：采用拉維換元，設，，，其中那么，，則：，，式即：而：即：.證畢。CABODEF【練習1】設CABODEF如圖，對直角三角形，設為直角邊，為斜邊，則，且，是三角形外接圓半徑?！驹囎C】三角形的面積：，則：，即：將代入得：=1\*GB3①即令：=2\*GB3②采用均值不等式：，代入=2\*GB3②式得：代入=1\*GB3①式得：.證畢.定理：設，則：等號當且僅當時成立。證明：既然不等式的變量是對稱的，不適一般性，設，則：，.若，則：構成三角形的三邊（兩邊之和大于第三邊）；此時，由定理2可得到結果。現(xiàn)在，假設，則：定理的不等式，在當中部分變量為零時依然成立。定理：設，則：證明：既然，我們發(fā)現(xiàn)正數(shù)列，，，數(shù)列具有，，由定理2得到：兩邊討論極限，我們得到結果。很明顯，當時等號成立。然而，和，不能保證得到.事實上，對，等式等效于或，或，或，可以理解為當變量為0時的等式結果?？梢灾苯幼C明等式：故：定理4是舒爾不等式的特例。（注：舒爾不等式：對于非負數(shù)和正數(shù)，有，僅當=1\*romani>或=2\*romanii>且，或且，或且時等號成立；當為偶數(shù)時，不等式對所有實數(shù)都成立。）【試題1】設是正數(shù)且，試證：.【解析】既然且，主要是，采用換元，，，則不等式為：即：即：.為定理4.拉維換元對像三角形的三邊長的不等式很有用，拉維換元后，可以消去三角形的三邊長的條件?！驹囶}2】設是一個三角形的三邊長，試證：.【解析】采用拉維換元，，，，且.則不等式變?yōu)椋赫归_化簡為：兩邊同除以得：采用柯西-蘇瓦茨不等式：，即證?！揪毩?】設是一個三角形的三邊長，試證：.【試證】采用拉維換元，令，，則：同理：；.三式相加得：即：.證畢?！揪毩?】設是一個三角形的三邊長，試證：.和：.【試證】先化簡，再用拉維換元由于共有12項，分成3份，每份4項.=1\*GB3①采用拉維換元：令，，，則：三式相加并除以2得：=2\*GB3②則=2\*GB3②式乘以就等于=1\*GB3①式。由：得=2\*GB3②式不小于，即=1\*GB3①式不小于.證畢。第二個式子證法與此類似，請讀者自證。我們現(xiàn)在開始研究魏琴伯克不等式，也稱外森比克不等式?！驹囶}3】設是一個面積為三角形的三邊長，試證：這個式稱為外森比克不等式。【解析】采用拉維換元，，，，且.不等式變?yōu)椋浩渲校?，（為半周長）推導如下：由于：所以：則：定理：對任何面積為、邊長為的三角形，有不等式：這個不等式稱為芬斯勒-哈德威格不等式。證明：采用拉維換元，，，，且.及：代入式得：式可由恒等式：得證。也可采用凸函數(shù)性質(zhì)證明。證法二：由許多方法證明：對于凸函數(shù)，用琴生不等式可以證明：當時，故：（注：琴生不等式：對于向下凸出的函數(shù)，函數(shù)的均值不小于均值的函數(shù)。如函數(shù)在區(qū)間是向下凸出的，由函數(shù)的均值不小于均值的函數(shù)得：）定理：設為正實數(shù)，表示面積為的三角形三邊長，則有：這個不等式稱為青茨法斯不等式。證明：由定理的芬斯勒-哈德威格不等式足以證明。或：或：本式可由柯西-蘇瓦茨不等式直接證明。定理：設代表面積為的三角形的三邊長，代表面積為的三角形的三邊長，則：這個不等式稱為伊諾貝格-佩多不等式。引理1：證明：式等價于：由海倫公式得：或：（注：海倫公式：，即：，即：即：即：）由柯西-蘇瓦茨不等式得：先證明：由引理1得：所以，我們只需證明：檢驗不等式：這里：，，采用恒等式：，或進行放縮：卡里茨發(fā)現(xiàn)伊諾貝格-佩多不等式可以由奧采兒不等式放縮得到。定理：設為正實數(shù)，且滿足和則：這就是奧采兒不等式。證明：由柯西-蘇瓦茨不等式得：上面的不等式等價于：當時，無關緊要。重點是當時，關注二次多項式既然，且的系數(shù)為正，則至少有一實根，所以非負，故的判別式：伊諾貝格-佩多不等式證法二：采用下列換元：，，，；，，，；