高中數(shù)學(xué)高考大聯(lián)考大聯(lián)考 湖南省百所重點(diǎn)名校大聯(lián)考高三高考沖刺數(shù)學(xué)（理）模擬試題

湖南省百所重點(diǎn)名校大聯(lián)考·高三高考沖刺理科數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.本卷答題時(shí)間120分鐘，滿分150分.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)1.全集，，，則（）A. B. C. D.，y互為共軛復(fù)數(shù)，且，則（） B. 3.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. 4.某城市2023年12個(gè)月的平均濃度指數(shù)如下圖所示.根據(jù)圖可以判斷，四個(gè)季度中的平均濃度指數(shù)方差最小的是（）A.第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度5.已知服從正態(tài)分布，，則“”是“關(guān)于x的二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)為3”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分又不必要條件 D.充要條件6.已知，給出下列四個(gè)命題：：， ：，：， ：，其中真命題的是（）A.， B.， C.， D.，7.已知函數(shù)，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在直線與曲線的交點(diǎn)中，兩交點(diǎn)間距離的最小值為8.在直角坐標(biāo)系中，全集，集合，已知集合A的補(bǔ)集所對應(yīng)區(qū)域的對稱中心為M，點(diǎn)P是線段（，）上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是x軸上的動點(diǎn)，則周長的最小值為（） B. D.9.已知是邊長為2的正三角形，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.10.已知橢圓C：（），作傾斜角為的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)與的夾角為，且，則（） B. C. D.11.定義“有增有減”數(shù)列如下：，，且，.已知“有增有減”數(shù)列共4項(xiàng)，若（，2，3，4），且，則數(shù)列共有（）個(gè) 個(gè)個(gè) 個(gè)12.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，，則下面說法正確的是（）A. B.C. D.有極小值點(diǎn)，且二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.執(zhí)行下面的程序框圖，若，則輸出n的值為______.14.已知P為拋物線C：上一動點(diǎn)，直線l：與x軸、y軸交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)且，則的最小值為______.15.銳角三角形中，，，則面積的取值范圍為______.16.四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面是以為斜邊的等腰直角三角形，若，則四棱錐的體積取值范圍為______.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：60分.17.已知數(shù)列滿足：，（，2，3，…）（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）令，（，2，3，…），如果對任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.如圖，三棱臺中，側(cè)面與側(cè)面是全等的梯形，若，，且.（Ⅰ）若，，證明：平面；（Ⅱ）若二面角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.19.近期，某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動，活動設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用x表示活動推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1所示：表1x1234567y611213466101196根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如右圖所示的散點(diǎn)圖.（Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，在推廣期內(nèi)，與（c，d均為大于零的常數(shù)）哪一個(gè)適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動推出天數(shù)x的回歸方程類型?（給出判斷即可，不必說明理由）；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表l中的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測活動推出第8天使用掃碼支付的人次；（III）推廣期結(jié)束后，車隊(duì)對乘客的支付方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表2表2支付方式現(xiàn)結(jié)乘車卡掃碼比例已知該線路公交車票價(jià)為2元，使用現(xiàn)金支付的乘客無優(yōu)惠，使用乘車卡支付的乘客享受8折優(yōu)惠，掃碼支付的乘客隨機(jī)優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果得知，使用掃碼支付的乘客，享受7折優(yōu)惠的概率為，享受8折優(yōu)惠的概率為，享受9折優(yōu)惠的概率為.根據(jù)所給數(shù)據(jù)以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，估計(jì)一名乘客一次乘車的平均費(fèi)用.參考數(shù)據(jù)：2535其中，參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線，.20.已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線l：（）與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線，且這兩條切線相交于點(diǎn)D.（Ⅰ）若D的坐標(biāo)為，求a的值；（Ⅱ）設(shè)線段的中點(diǎn)為N，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，過的直線與線段為直徑的圓相切，切點(diǎn)為G，且直線與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍.21.已知函數(shù)（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)，當(dāng)時(shí)，對任意，存在，使，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]已知曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是.（Ⅰ）寫出的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為和，直線與曲線相交于P，Q兩點(diǎn)，射線與曲線相交于點(diǎn)A，射線與曲線相交于點(diǎn)B，求的值.23.[選修4–5：不等式選講]已知函數(shù).（Ⅰ）求的解集；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，，若對任意的都成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.湖南省百所重點(diǎn)名校大聯(lián)考·高三高考沖刺理科數(shù)學(xué)試題 參考答案及解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.題號123456789101112選項(xiàng)DBABADCBABADD【解析】略2、B【解析】設(shè)，，代入得，所以，，解得，，所以.3、A【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，故選A.4、B【解析】方差最小的數(shù)據(jù)最穩(wěn)定，所以選B.5、A【解析】由，知.因?yàn)槎?xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以其常數(shù)項(xiàng)為，解得，所以“”是“關(guān)于x的二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)為3”的充分不必要條件，故選A.6、D【解析】可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形及其內(nèi)部，其中，，，所以直線過點(diǎn)A時(shí)取最小值；過點(diǎn)A時(shí)取最大值；斜率最大值為，到原點(diǎn)距離的平方的最小值為，因此選D.7、C【解析】對于函數(shù)，令，求得為函數(shù)的最大值，可得它的圖象關(guān)于直線，故A正確；令，求得，可得它的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱故B正確；函數(shù)，在區(qū)間上，，故單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；令，求得，∴，或，，故在直線與曲線的交點(diǎn)中，兩交點(diǎn)間距離的最小值為，故D正確；故選C.8、B【解析】∵點(diǎn)到直線的距離，∴直線始終與圓相切，∴集合A表示除圓以外所有的點(diǎn)組成的集合，∴集合表示圓，其對稱中心如圖所示：設(shè)是點(diǎn)關(guān)于直線線段（，）的對稱點(diǎn)，設(shè)，則由求得，可得.設(shè)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為，易得，則直線，和線段的交點(diǎn)為P，則此時(shí)，的周長為，為最小值，9、A【解析】以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過點(diǎn)B與垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則、、，設(shè)因?yàn)樗訮點(diǎn)軌跡為令則，，則由得故選A.10、B【解析】設(shè)，，，則，兩式作差得，，，即，設(shè)直線的傾斜角為，則或，，又，由，解得，即，故選B.11、D法一：不妨設(shè)，，，則（，2，3，4），所以或2或3.考慮反面，即數(shù)列不是“有增有減”數(shù)列，此時(shí)有三種情況：常數(shù)數(shù)列、不增數(shù)列（，且等號不同時(shí)成立）及不減數(shù)列（，且等號不同時(shí)成立）.①常數(shù)數(shù)列，有1，1，1，1；2，2，2，2；3，3，3，3，共3個(gè).②不減數(shù)列，含1，2，3中的任意兩個(gè)數(shù)或三個(gè)數(shù)，若含兩個(gè)數(shù)，則有種情況，以含有1，2為例，不減數(shù)列有1，1，1，2；1，1，2，2；1，2，2，2，共3個(gè)，所以含兩個(gè)數(shù)的不減數(shù)列共有個(gè).若含三個(gè)數(shù)，則不減數(shù)列有1，1，2，3；1，2，3，3；1，2，2，3，共3個(gè).所以不減數(shù)列共有個(gè).③不增數(shù)列，同理②，共有12個(gè).綜上，數(shù)列不是“有增有減”數(shù)列共有個(gè).所以，數(shù)列是“有增有減”數(shù)列共有個(gè).法二：根據(jù)題設(shè)“有增有減”數(shù)列的定義，數(shù)列共有兩類.第一類：數(shù)列的4項(xiàng)只含有x，y，z中的兩個(gè)，則有種情況，以只含x，y為例，滿足條件的數(shù)列有x，y，x，x；x，x，y，x；y，x，y，y；y，y，x，y；x，y，x，y；y，x，y，x；x，y，y，x；y，x，x，y，共8個(gè)，所以此類共有個(gè).第二類：數(shù)列的4項(xiàng)含有x，y，z中的三個(gè)，必有兩項(xiàng)是同一個(gè)，有種情況，以兩項(xiàng)是x，另兩項(xiàng)分別為y，z為例，滿足條件的數(shù)列有x，x，z，y；x，y，x，z；x，z，x，y；x，y，z，x；x，z，y，x；y，x，x，z；y，x，z，x；y，z，x，x；z，x，x，y；z，x，y，x，共10個(gè)，所以此類共有個(gè).綜上，數(shù)列共有個(gè).12、D【解析】由題意得，因?yàn)?，，所以，設(shè)，則由圖像法知，，，解得，因此，令，則，所以，因此，，因此A錯(cuò)誤；方程有兩個(gè)不等的根，即與有兩個(gè)不同的交點(diǎn).因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，且，在上單調(diào)遞減且，在上單調(diào)遞增且，且，，B錯(cuò)誤;.令，則所以，因此，，因此C錯(cuò)誤;由，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以有極小值點(diǎn)，由，，得，，因此，所以，所以，D正確.選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13、5【解析】循環(huán)依次為，；，；，，，；結(jié)束循環(huán)，輸出.14、【解析】由題意得，，由得，，因此，所以選B.15、【解析】∵，，可得：，∴，，∵，可得：，∴，可得：，則面積的取值范圍為16、【解析】如圖所示，四棱錐中，可得：；平面平面平面，過S作于O，則平面，故，在中，，設(shè)，則有，，又，則，四棱錐的體積取值范圍為.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17、解析：（1）證明：由題可知：①，②②①可得即，又是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，故設(shè)數(shù)列的第r項(xiàng)最大，則有，解得故數(shù)列的最大項(xiàng)是∵對任意，都有，即成立，解得或或18.（Ⅰ）證明：連接，，梯形，，易知：，；又，則；平面，平面，可得：平面；（Ⅱ）側(cè)面是梯形，，，，則為二面角的平面角，；，均為正三角形，在平面內(nèi)，過點(diǎn)A作的垂線，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，故點(diǎn)，，，；設(shè)平面的法向量為，則有：；設(shè)平面的法向量為，則有：；，故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.19.解：（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，適宜作為掃碼支付的人數(shù)y關(guān)于活動推出天數(shù)x的回歸方程類型；（2），兩邊同時(shí)取常用對數(shù)得：；設(shè)，，，，，把樣本中心點(diǎn)代入，得：，，，∴y關(guān)于x的回歸方程式：；把代入上式，；活動推出第8天使用掃碼支付的人次為3470；（3）記一名乘客乘車支付的費(fèi)用為Z，則Z的取值可能為：2，1，8，，；；；；分布列為：Z2P所以，一名乘客一次乘車的平均費(fèi)用為：（元）20.（1）由拋物線C：（）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，得，則拋物線C的方程為.設(shè)切線的方程為，代入得，由得，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，則，當(dāng)時(shí)，同理可得.綜上得.（2）由（1）知，，，所以以線段為直徑的圓為圓O：，根據(jù)對稱性，只要探討斜率為正數(shù)的直線即可，因?yàn)镚為直線與圓O的切點(diǎn)，所以，，所以，所以，，所以直線的方程為，由消去y整理得，因?yàn)橹本€與圓相交，所以.設(shè)，，則，，所以，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，所?21、（1）的定義域?yàn)椋?，令，得?當(dāng)，則，由得，由得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)，則，由得，由得或，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.當(dāng)，則，可得，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，則，由得，由得或，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，從而在上的最小值為.對任意，存在，使，即存在，函數(shù)值不超過在區(qū)間上的最小值.由得，.記，則當(dāng)時(shí)，.，當(dāng)，顯然有，當(dāng)，，故在區(qū)間上