高中數(shù)學人教A版第二章統(tǒng)計學業(yè)分層測評13

學業(yè)分層測評(十三)用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．(2023·合肥檢測)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖2-2-24所示，則()圖2-2-24A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C．甲的成績的方差小于乙的成績的方差D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差【解析】由題意可知，甲的成績?yōu)?，5，6，7，8，乙的成績?yōu)?，5，5，6，9.所以甲、乙的成績的平均數(shù)均為6，A錯；甲、乙的成績的中位數(shù)分別為6，5，B錯；甲、乙的成績的方差分別為eq\f(1,5)×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，eq\f(1,5)×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝eq\f(12,5)，C對；甲、乙的成績的極差均為4，D錯．【答案】C2．十八屆三中全會指出要改革分配制度，要逐步改變收入不平衡的現(xiàn)象．已知數(shù)據x1，x2，x3，…，xn是上海普通職工n(n≥3，n∈N*)個人的年收入，設這n個數(shù)據的中位數(shù)為x，平均數(shù)為y，方差為z，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，則這n＋1個數(shù)據中，下列說法正確的是()A．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)一定變大，方差可能不變B．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差變大C．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差也不變D．年收入平均數(shù)可能不變，中位數(shù)可能不變，方差可能不變【解析】插入大的極端值，平均數(shù)增加，中位數(shù)可能不變，方差也因為數(shù)據更加分散而變大．【答案】B3．如圖2-2-25是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖，甲、乙兩人這幾場比賽得分的平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(－))甲，eq\o(x,\s\up6(－))乙；標準差分別是s甲，s乙，則有()圖2-2-25A．eq\o(x,\s\up6(－))甲＞eq\o(x,\s\up6(－))乙，s甲＞s乙 B．eq\o(x,\s\up6(－))甲＞eq\o(x,\s\up6(－))乙，s甲＜s乙C．eq\o(x,\s\up6(－))甲＜eq\o(x,\s\up6(－))乙，s甲＞s乙 D．eq\o(x,\s\up6(－))甲＜eq\o(x,\s\up6(－))乙，s甲＜s乙【解析】觀察莖葉圖可大致比較出平均數(shù)與標準差的大小關系，或者通過公式計算比較．【答案】C4．已知一組數(shù)據x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是eq\o(x,\s\up6(－))＝2，方差是eq\f(1,3)，那么另一組數(shù)據3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均數(shù)和方差分別為()A．2，eq\f(1,3) B．2，1C．4，eq\f(1,3) D．4，3【解析】平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))′＝3eq\o(x,\s\up6(－))－2＝3×2－2＝4，方差為s′2＝9s2＝9×eq\f(1,3)＝3.【答案】D5．為了解某校高三學生的視力情況，隨機地抽查了該校100名高三學生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如圖2-2-26所示．由于不慎將部分數(shù)據丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設最大頻率為a，視力在到之間的學生數(shù)為b，則a，b的值分別為()圖2-2-26A．，78 B．，83C．，78 D．，83【解析】由題意，到之間的頻率為，到之間的頻率為，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設公差為d，則6×＋15d＝1－－－，∴d＝－.∴b＝×4＋6d)×100＝78，a＝.【答案】A二、填空題6．一個樣本數(shù)據按從小到大的順序排列為：13，14，19，x，23，27，28，31，中位數(shù)為22，則x＝________．【解析】由題意知eq\f(x＋23,2)＝22，則x＝21.【答案】217．甲、乙兩位同學某學科的連續(xù)五次考試成績用莖葉圖表示如圖2-2-27所示，則平均分數(shù)較高的是________，成績較為穩(wěn)定的是________．圖2-2-27【解析】eq\o(x,\s\up6(－))甲＝70，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝68，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×(22＋12＋12＋22)＝2，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×(52＋12＋12＋32)＝.【答案】甲甲8．已知樣本9，10，11，x，y的平均數(shù)是10，標準差為eq\r(2)，則xy＝________.【導學號：28750040】【解析】由平均數(shù)得9＋10＋11＋x＋y＝50，∴x＋y＝20.又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x－10)2＋(y－10)2＝(eq\r(2))2×5＝10，得x2＋y2－20(x＋y)＝－192，(x＋y)2－2xy－20(x＋y)＝－192，∴xy＝96.【答案】96三、解答題9．從高三抽出50名學生參加數(shù)學競賽，由成績得到如圖2-2-28的頻率分布直方圖．圖2-2-28由于一些數(shù)據丟失，試利用頻率分布直方圖求：(1)這50名學生成績的眾數(shù)與中位數(shù)；(2)這50名學生的平均成績．【解】(1)由眾數(shù)的概念可知，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．在直方圖中高度最高的小長方形的底邊中點的橫坐標即為所求，所以眾數(shù)應為75.由于中位數(shù)是所有數(shù)據中的中間值，故在頻率分布直方圖中體現(xiàn)的是中位數(shù)的左右兩邊頻數(shù)應相等，即頻率也相等，從而就是小矩形的面積和相等．因此在頻率分布直方圖中將所有小矩形的面積一分為二的垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標所對應的成績即為所求．∵×10＋×10＋×10＝＋＋＝，∴前三個小矩形面積的和為.而第四個小矩形面積為×10＝，＋＞，∴中位數(shù)應約位于第四個小矩形內．設其底邊為x，高為，∴令＝得x≈，故中位數(shù)應約為70＋＝.(2)樣本平均值應是頻率分布直方圖的“重心”，即所有數(shù)據的平均值，取每個小矩形底邊的中點的橫坐標乘以每個小矩形的面積求和即可．∴平均成績?yōu)?5××10)＋55××10)＋65××10)＋75××10)＋85××10)＋95××10)＝.10．對甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進行了6次測試，測得他們的最大速度(單位：m/s)的數(shù)據如下：甲273830373531乙332938342836(1)畫出莖葉圖，由莖葉圖你能獲得哪些信息？(2)分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度(m/s)數(shù)據的平均數(shù)、極差、方差，并判斷選誰參加比賽比較合適？【解】(1)畫莖葉圖如下：中間數(shù)為數(shù)據的十位數(shù)．從莖葉圖上看，甲、乙的得分情況都是分布均勻的，只是乙更好一些．乙發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體情況比甲好．(2)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(27＋38＋30＋37＋35＋31,6)＝33.eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(33＋29＋38＋34＋28＋36,6)＝33.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈.seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈.甲的極差為11，乙的極差為10.綜合比較以上數(shù)據可知，選乙參加比賽較合適．[能力提升]1．有一筆統(tǒng)計資料，共有11個數(shù)據如下(不完全以大小排列)：2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，x，已知這組數(shù)據的平均數(shù)為6，則這組數(shù)據的方差為()A．6 B．eq\r(6)C．66 D．【解析】∵eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,11)(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝eq\f(1,11)(61＋x)＝6，∴x＝5.方差為：s2＝eq\f(42＋22＋22＋12＋12＋02＋12＋22＋32＋52＋12,11)＝eq\f(66,11)＝6.【答案】A2．將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數(shù)的平均分為91，現(xiàn)場作的9個分數(shù)的莖葉圖后來有1個數(shù)據模糊，無法辨認，在圖2-2-29中以x表示：eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(8,9))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(77,4010x91))圖2-2-29則7個剩余分數(shù)的方差為()\f(116,9) B．eq\f(36,7)C．36 D．eq\f(6\r(7),7)【解析】根據莖葉圖，去掉1個最低分87，1個最高分99，則eq\f(1,7)[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x)＋91]＝91，∴x＝4.∴s2＝eq\f(1,7)[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝eq\f(36,7).【答案】B3．若40個數(shù)據的平方和是56，平均數(shù)是eq\f(\r(2),2)，則這組數(shù)據的方差是________，標準差是________．【解析】設這40個數(shù)據為xi(i＝1，2，…，40)，平均數(shù)為x.則s2＝eq\f(1,40)×[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(x40－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＝eq\f(1,40)[xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,40)＋40x2－2x(x1＋x2＋…＋x40)]＝eq\f(1,40)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(56＋40×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)－2×\f(\r(2),2)×40×\f(\r(2),2)))＝eq\f(1,40)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(56－40×\f(1,2)))＝.∴s＝eq\r＝eq\r(\f(9,10))＝eq\f(3\r(10),10).【答案】eq\f(3\r(10),10)4．某地區(qū)100位居民的人均月用水量(單位：t)的分組及各組的頻數(shù)如下：[0，，4；[，1)，8；[1，，15；[，2)，22；[2，，25；[，3)，14；[3，，6；[，4)，4；[4，，2.(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖，并根據直方圖估計這組數(shù)據的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(3)當?shù)卣贫?/p>