高中數(shù)學人教A版第二章點直線平面之間的位置關(guān)系 第2章4

§直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)直線與平面垂直的判定【課時目標】1．掌握直線與平面垂直的定義．2．掌握直線與平面垂直的判定定理并能靈活應用定理證明直線與平面垂直．3．知道斜線在平面上的射影的概念，斜線與平面所成角的概念．1．直線與平面垂直(1)定義：如果直線l與平面α內(nèi)的________________直線都________，就說直線l與平面α互相垂直，記作________．直線l叫做平面α的________，平面α叫做直線l的________．(2)判定定理文字表述：一條直線與一個平面內(nèi)的________________________都垂直，則該直線與此平面垂直．符號表述：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,,,))?l⊥α．2．直線與平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的________所成的________，叫做這條直線和這個平面所成的角．如圖所示，________就是斜線AP與平面α所成的角．(2)當直線AP與平面垂直時，它們所成的角的度數(shù)是90°；當直線與平面平行或在平面內(nèi)時，它們所成的角的度數(shù)是________；線面角θ的范圍：________．一、選擇題1．下列命題中正確的個數(shù)是()①如果直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α；②如果直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；③如果直線l不垂直于α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；④如果直線l不垂直于α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直．A．0B．1C．22．直線a⊥直線b，b⊥平面β，則a與β的關(guān)系是()A．a(chǎn)⊥βB．a(chǎn)∥βC．a(chǎn)?βD．a(chǎn)?β或a∥β3．空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩對角線AC、BD的關(guān)系是()A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如圖所示，定點A和B都在平面α內(nèi)，定點P?α，PB⊥α，C是平面α內(nèi)異于A和B的動點，且PC⊥AC，則△ABC為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．無法確定5．如圖所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)為()A．4B．3C．2D6．從平面外一點向平面引一條垂線和三條斜線，斜足分別為A，B，C，如果這些斜線與平面成等角，有如下命題：①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的內(nèi)心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．其中正確命題的個數(shù)是()A．1B．2C．3二、填空題7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中(1)直線A1B與平面ABCD所成的角是________；(2)直線A1B與平面ABC1D1所成的角是________；(3)直線A1B與平面AB1C1D所成的角是________8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，當?shù)酌鍭1B1C1滿足條件________時，有AB1⊥BC1(注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況9．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是棱AA1和AB上的點，若∠B1MN是直角，則∠C1MN＝________三、解答題10．如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是棱B1C1、B1B求證：CF⊥平面EAB．11．如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB，PC的中點，PA＝AD．求證：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．能力提升12．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為DD1的中點，O為ABCD的中心，求證B1O⊥平面PAC13．如圖所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，過點A向SC和SB引垂線，垂足分別是P、Q，求證：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC．1．運用化歸思想，將直線與平面垂直的判定轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)兩條相交直線的判定，而同時還由此得到直線與直線垂直．即“線線垂直?線面垂直”．2．直線和平面垂直的判定方法(1)利用線面垂直的定義．(2)利用線面垂直的判定定理．(3)利用下面兩個結(jié)論：①若a∥b，a⊥α，則b⊥α；②若α∥β，a⊥α，則a⊥β．3．線線垂直的判定方法(1)異面直線所成的角是90°．(2)線面垂直，則線線垂直．§2．3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2．3．1直線與平面垂直的判定答案知識梳理1．(1)任意一條垂直l⊥α垂線垂面(2)兩條相交直線a?αb?αa∩b＝A2．(1)射影銳角∠PAO(2)0°[0°，90°]作業(yè)設(shè)計1．B[只有④正確．]2．D3．C[取BD中點O，連接AO，CO，則BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，又BD、AC異面，∴選C．]4．B[易證AC⊥面PBC，所以AC⊥BC．]5．A[eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC,BC?平面ABC))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC))?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC．]6．A[PO⊥面ABC．則由已知可得，△PAO、△PBO、△PCO全等，OA＝OB＝OC，O為△ABC外心．只有③正確．]7．(1)45°(2)30°(3)90°解析(1)由線面角定義知∠A1BA為A1B與平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°．(2)連接A1D、AD1，交點為O，則易證A1D⊥面ABC1D1，所以A1B在面ABC1D1內(nèi)的射影為OB，∴A1B與面ABC1D1所成的角為∠A1BO，∵A1O＝eq\f(1,2)A1B，∴∠A1BO＝30°．(3)∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1∴A1B⊥面AB1C1D，即A1B與面AB1C1D所成的角為8．∠A1C1B1＝解析如圖所示，連接B1C由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C因此，要證AB1⊥BC1，則只要證明BC1⊥平面AB1C即只要證AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要證AC⊥BC即可．因為A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要證A1C1⊥B1(或者能推出A1C1⊥B1C1的條件，如∠A1C1B1＝9．90°解析∵B1C1⊥面ABB1A∴B1C1⊥MN又∵MN⊥B1M∴MN⊥面C1B1M∴MN⊥C1M∴∠C1MN＝90°．10．證明在平面B1BCC1中，∵E、F分別是B1C1、B1B∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF?平面B1BCC1，∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．11．證明(1)∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．(2)取PD的中點G，連接AG，F(xiàn)G．又∵G、F分別是PD，PC的中點，∴GF綊eq\f(1,2)CD，∴GF綊AE，∴四邊形AEFG是平行四邊形，∴AG∥EF．∵PA＝AD，G是PD的中點，∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，∵CD⊥平面PAD，AG?平面PAD．∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD．12．證明連接AB1，CB1，設(shè)AB＝1．∴AB1＝CB1＝eq\r(2)，∵AO＝CO，∴B1O⊥AC．連接PB1．∵OBeq\o\al(2,1)＝OB2＋BBeq\o\al(2,1)＝eq\f(3,2)，PBeq\o\al(2,1)＝PDeq\o\al(2,1)＋B1Deq\o\al(2,1)＝eq\f(9,4)，OP2＝PD2＋DO2＝eq\f(3,4)，∴OBeq\o\al(2,1)＋OP2＝PBeq\o\al(2,1)．∴B1O⊥PO，又∵PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面PAC