高中數(shù)學(xué)人教A版第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系單元測(cè)試【省一等獎(jiǎng)】

第二章空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系測(cè)試題一、選擇題（本大題共12題，每小題5分，共60分）1.已知平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線都與平面β平行，那么（）A．α∥β B．α與β相交 C．α與β重合 D．α∥β或α與β相交2.兩條直線a，b滿足a∥b，b，則a與平面的關(guān)系是()∥與相交 與不相交 3.對(duì)于命題：①平行于同一直線的兩個(gè)平面平行；②平行于同一平面的兩個(gè)平面平行；③垂直于同一直線的兩直線平行；④垂直于同一平面的兩直線平行.其中正確的個(gè)數(shù)有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)4.經(jīng)過(guò)平面外兩點(diǎn)與這個(gè)平面平行的平面 （）A．只有一個(gè) B．至少有一個(gè) C．可能沒(méi)有 D．有無(wú)數(shù)個(gè)5.過(guò)三棱柱的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面平行的直線共有（）A.3條B.4條C.5條D.6條6.a，b是兩條異面直線，下列結(jié)論正確的是（）A.過(guò)不在a，b上的任一點(diǎn)P，可作一個(gè)平面與a，b平行B.過(guò)不在a，b上的任一點(diǎn)P，可作一條直線與a，b相交C.過(guò)不在a，b上的任一點(diǎn)P，可作一條直線與a，b都平行D.過(guò)a可以并且只可以作一平面與b平行7.是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（）A． B． C． D．8.如圖1，正四面體的棱長(zhǎng)均為，且平面于A，點(diǎn)B，C，D均在平面外，且在平面同一側(cè)，則點(diǎn)B到平面的距離是（）A．B．C．D．圖1圖29.如圖2，已知六棱錐的底面是正六邊形，，則下列結(jié)論正確的是Ａ.Ｂ.平面C.直線∥平面Ｄ.10.點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，則PA與BD所成角的度數(shù)為 （）A．30°B．45° C．60° D．90°11.已知二面角的大小為，為空間中任意一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)且與平面和平面所成的角都是的直線的條數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．512.在正四棱柱中，頂點(diǎn)到對(duì)角線和到平面的距離分別為和，則下列命題中正確的是（）A．若側(cè)棱的長(zhǎng)小于底面的邊長(zhǎng)，則的取值范圍為B．若側(cè)棱的長(zhǎng)小于底面的邊長(zhǎng)，則的取值范圍為C．若側(cè)棱的長(zhǎng)大于底面的邊長(zhǎng)，則的取值范圍為D．若側(cè)棱的長(zhǎng)大于底面的邊長(zhǎng)，則的取值范圍為二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.給出下列命題:①過(guò)平面外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知平面垂直；②過(guò)直線外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知直線平行；③過(guò)直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直；④過(guò)平面外一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知平面垂直.其中正確命題的個(gè)數(shù)為.14.已知平面，，，直線，滿足：，∩＝,∩＝，.由上述條件可推出的結(jié)論有_______.①；②；③；④.15如圖3，△ABC和△DBC所在兩平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°,則AD與平面BCD所成的角為.16在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與過(guò)點(diǎn)A，E，C的平面的位置關(guān)系是.三、解答題（本大題共6小題，共70分）CBAA1B1C1D17.(10分)CBAA1B1C1D(1)；(2)平面．ABB1CC1ABB1CC1A1MN垂直，，，分別是，的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）判斷直線和平面的位置關(guān)系，并加以證明．ABCDA1B1C1D1EF19.ABCDA1B1C1D1EF(1)求證：平面⊥平面；(2)如果，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)在正方體的表面上依次經(jīng)過(guò)棱,,,,上的點(diǎn)，最終又回到點(diǎn)，指出整個(gè)路線長(zhǎng)度的最小值并說(shuō)明理由.20.(12分)如圖7，四棱錐S—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為的菱形，且，點(diǎn)E是SC上的點(diǎn)，且（1）求證：對(duì)任意的，都有；（2）若平面BED，求直線SA與平面BED所成角的大小.21.(12分)某廠根據(jù)市場(chǎng)需求開(kāi)發(fā)折疊式小凳，如圖8所示.凳面為三角形的尼龍布，凳腳為三根細(xì)鋼管.考慮到鋼管的受力和人的舒適度等因素，設(shè)計(jì)小凳應(yīng)滿足：①凳子高度為，②三根細(xì)鋼管相交處的節(jié)點(diǎn)與凳面三角形重心的連線垂直于凳面和地面.（1）若凳面是邊長(zhǎng)為的正三角形，三只凳腳與地面所成的角均為，確定節(jié)點(diǎn)分細(xì)鋼管上下兩段的比值（精確到）；（2）若凳面是頂角為的等腰三角形，腰長(zhǎng)為，節(jié)點(diǎn)分細(xì)鋼管上下兩段之比為.確定三根細(xì)鋼管的長(zhǎng)度（精確到）(12分)如圖9所示，在邊長(zhǎng)為12的正方形AA'A1'A1中，點(diǎn)B，C在線段AA'上，且AB＝3，BC＝4，作BB1圖109ABC圖109ABCA1B1C1PQ圖9ABCA'A1B1C1A1'PQ5.取中點(diǎn)，直線分別為都與平面平行.6.如圖所示，在直線a上任取一點(diǎn)P，過(guò)P作b′∥b，則a∩b′=P.那么a與b′確定一個(gè)平面α.因?yàn)閎∥b′，b′α，bα，所以b∥α.所以過(guò)a可以作一個(gè)平面α與b平行.假設(shè)還可作一平面β與b平行，則α∩β=a，b∥α，b∥β，所以a∥b.這與a、b異面相矛盾，即假設(shè)不成立.所以只有一個(gè)平面α.綜上所述，過(guò)a有且只有一個(gè)平面與b平行.故選D.7.均為直線，其中平行，可以相交也可以異面，故A不正確；m，n⊥α則同垂直于一個(gè)平面的兩條直線平行；選D8．取AD的中點(diǎn)M，易證平面，故平面平面，平面到平面的距離為，即為B到平面的距離.9.因AD與AB不相互垂直，排除A；作于，因平面平面ABCDEF，而AG在平面ABCDEF上的射影在AB上，而AB與BC不相互垂直，故排除B；由，而EF是平面PAE的斜線，故排除C，故選擇D.10.將圖形補(bǔ)成一個(gè)正方體如圖，則PA與BD所成角等于BC′與BD所成角即∠DBC′．在等邊三角形DBC′中，∠DBC′=60°，即PA與BD所成角為60°．12.設(shè)底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為，過(guò)作.在中，，由三角形面積關(guān)系得設(shè)在正四棱柱中，由于，所以平面，于是，所以平面，故為點(diǎn)到平面的距離，在中，又由三角形面積關(guān)系得于是，于是當(dāng)，所以，所以二、填空題個(gè)14.②④15.45°∥平面AEC提示：13.①②③錯(cuò)誤,④正確.14.因?yàn)椤桑?，所以l∈，l∈，又因?yàn)?，∩＝，，所以l⊥，所以.故填②④.15.作AO⊥CB的延長(zhǎng)線，連接OD，則OD即為AD在平面BCD上的射影，因?yàn)锳O=OD=a,所以∠ADO=45°.16.連接AC，BD相交于一點(diǎn)O，連接OE，AE，EC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以DO＝BO.而DE＝D1E，所以EO為△DD1B的中位線，所以EO∥D1B,所以BD1∥平面AEC.三、解答題17.證明:（1）因?yàn)槿庵钦庵?，所以平面，又平面，所?CBAA1B1C1DECBAA1B1C1DE因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以?2)連接交于點(diǎn)，再連接．因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.又平面，平面，所以平面．18.證明：(1)因?yàn)槠矫?，又平面，所以．由條件，即，且，所以平面．又平面，所以．（2）平面，證明如下：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，．因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以．又=，，所以．所以四邊形是平行四邊形．所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?9.（1）證明:因?yàn)樵谡襟w中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B(niǎo)1D1平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1.又因?yàn)樵谡叫蜛1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，所以B1D1⊥平面CAA1C1.又因?yàn)锽1D1平面CB1D1，所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1．(2)最小值為.如圖，將正方體六個(gè)面展開(kāi)成平面圖形，從圖中F到F，兩點(diǎn)之間線段最短，而且依次經(jīng)過(guò)棱BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA上的中點(diǎn)，所求的最小值為.20解：（1）連結(jié)BD，AC，設(shè)BD與AC交于O.由底面是菱形，得，O為BD中點(diǎn)， 又，面SAC.又面SAC，（2）取SC的中點(diǎn)F，連結(jié)OF，OE， 與平面EDB所成的角就是SA與平面EDB所成的角. 平面BED，面BED，E為垂足，為所求角.在等腰中，， 得底邊SB上的高為，.所以在所以在中，即直線SA與平面BED所成角為21解：（1）設(shè)△的重心為，連結(jié).由題意，得.設(shè)細(xì)鋼管上下兩段之比為.已知凳子高度為.則.因?yàn)楣?jié)點(diǎn)與凳面三角形重心的連線與地面垂直，且凳面與地面平行.所以就是與平面所成的角，亦即.，解得.即節(jié)點(diǎn)分細(xì)鋼管上下兩段的比值約為.（2）設(shè)，.設(shè)△的重心為，則，由節(jié)點(diǎn)分細(xì)鋼管上下兩段之比為，可知.設(shè)過(guò)點(diǎn)的細(xì)鋼管分別為，則，，所以對(duì)應(yīng)于三點(diǎn)的三根細(xì)鋼管長(zhǎng)度分別為，和.22.（1）證明:在正方形AA'A1'A1中，因?yàn)锳'C＝AA'－AB－BC＝5，所以三棱柱ABC－A1B1C1的底面三角形ABC的邊AC＝5．因?yàn)锳B＝3，BC＝4，所以AB2＋BC2＝AC2．所以AB⊥BC．因?yàn)樗倪呅蜛A'A1'A1為正方形，BB1//AA1，所以AB⊥BB1．而B(niǎo)C∩BB1＝B，BC平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1，所以AB⊥平面BCC1B1．(2)解：因?yàn)锳B⊥平面BCC1B1，所以AB為四棱錐A－BCQP的高．因?yàn)樗倪呅蜝CQP為直角梯形，且BP＝AB＝3，CQ＝AB＋BC＝7，所以梯形BCQP的面積為SBCQP＝eq\f(1,2)(BP＋CQ)×BC＝20．所以四棱錐A－BCQP的體積VA－BCQP＝eq\f(1,3)SBCQP