高中數(shù)學(xué)人教A版第二章基本初等函數(shù)（Ⅰ）單元測試 精品獲獎(jiǎng)

第二章本章診療一、精要總結(jié)1．為什么在指數(shù)函數(shù)中規(guī)定“”？答：這樣規(guī)定的出發(fā)點(diǎn)是：使函數(shù)的定義域?yàn)镽；同時(shí)使函數(shù)具有單調(diào)性。⑴如果，則，一方面對沒有什么意義，且時(shí)，沒有太大的研究價(jià)值。⑵若，則對的某些取值沒有意義，如：，則，在等時(shí)都無意義。⑶若時(shí)，它的定義域、值域、對應(yīng)法則都是一目了然，再深入研究沒有意義。2．對于指數(shù)式子大小的比較常用如下方法：比較冪值的大小常?；癁橥讛?shù)的冪，根據(jù)指數(shù)的單調(diào)性比較大?。绻荒芑癁橥讛?shù)的冪，則要借助冪值的范圍利用中間量進(jìn)行比較（如常選0，1作中間量）．3．在學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)一定要注意以下幾點(diǎn)：（1）在求定義域時(shí)，要考慮真數(shù)大于0，同時(shí)還要注意底數(shù)大于0且不等于1．（2）比較兩對數(shù)值的大小時(shí)，若同底，則根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；若不同底，則可考慮化為同底或用中間值比較．（3）通過上表可看出對數(shù)函數(shù)的圖象與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)之間具有下列的對應(yīng)關(guān)系：①圖象位于軸右側(cè)（這是由定義域決定的），且以軸為漸近線即對數(shù)函數(shù)的定義域>0；②曲線向上、向下無限延展，即對數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽；③曲線恒過點(diǎn)（1，0），即對于對數(shù)函數(shù)來說當(dāng)=1時(shí)，=0；④>1時(shí)，曲線逐漸上升，即當(dāng)>1時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；0<<1時(shí)，曲線逐漸下降，即當(dāng)0<<1時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減．4．比較兩個(gè)對數(shù)的大小時(shí)，有這幾種思路①底同真不同，考慮單調(diào)性；②若底不同，真數(shù)相同，可考慮圖象的分布規(guī)律（當(dāng)?shù)讛?shù)都大于1時(shí)，圖象在右側(cè)，底大圖低（即對數(shù)值隨著底數(shù)的增大而減?。?；當(dāng)?shù)讛?shù)都大于0且小于1時(shí)，圖象在右側(cè)，底大圖低（即對數(shù)值隨著底數(shù)的增大而減?。?；③當(dāng)?shù)讛?shù)與真數(shù)都不同時(shí)，可借助中間量；或利用圖象進(jìn)行比較，或通過作差（商）等方法進(jìn)行比較。二、錯(cuò)例剖析1．對指數(shù)函數(shù)的值域重視不夠致誤例1求函數(shù)的值域.錯(cuò)解：設(shè)，則，所以故函數(shù)函數(shù)的值域?yàn)槠饰觯涸O(shè)，卻忽略了隱含條件，即新變量的取值范圍是，而不是正解：設(shè)，則，且結(jié)合二次函數(shù)的圖象，得，故函數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?．考慮問題不全面致誤例2函數(shù)，且在上的最大值比最小值大，求的值.錯(cuò)解：因?yàn)椋沂菃握{(diào)函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)有，解得剖析：錯(cuò)解僅考慮到時(shí)的情況，而忽略了的討論.正解：因?yàn)?，且是單調(diào)函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)有，解得當(dāng)時(shí)有，解得故所求的值為或3．對指數(shù)函數(shù)的圖象理解有誤致錯(cuò)例3指數(shù)函數(shù)的圖象在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)圖象如圖1所示，則底數(shù)的大小關(guān)系是（） A．B．C．D．錯(cuò)解:選A或B或D剖析：由指數(shù)函數(shù)的解析式可知，當(dāng)時(shí)，．于是，可以在圖1中，畫出直線函數(shù)的交點(diǎn)，則交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是（如圖2所示），由圖可以得到底數(shù)的大小關(guān)系滿足，故選C．正解：C；點(diǎn)評(píng)：從指數(shù)函數(shù)解析式這一“數(shù)”的特點(diǎn)——當(dāng)時(shí)，，得到了指數(shù)函數(shù)“形”的特點(diǎn)——過點(diǎn)，并依據(jù)這一圖象特點(diǎn)解決了4．求解對數(shù)函數(shù)定義域中的錯(cuò)誤例4求函數(shù)y=的定義域。錯(cuò)解：由得即故所以函數(shù)y=的定義域?yàn)椋ī仭蓿?。剖析：錯(cuò)解中忽視了真數(shù)大于零的限制條件。正解：由得-2故函數(shù)y=的定義域?yàn)椋?2，6]。5．求解對數(shù)函數(shù)值域中的錯(cuò)誤例5已知函數(shù)的值域?yàn)镽，求a的取值范圍．錯(cuò)解：要使則有恒成立，于是，有，解之得所以a的取值范圍為。剖析：上述錯(cuò)解是因?yàn)閷?shù)函數(shù)理解不清所致，由對數(shù)函數(shù)定義知：當(dāng)x＞0時(shí)，y=logax∈R，即當(dāng)x取遍大于零的全體實(shí)數(shù)時(shí)，相應(yīng)函數(shù)值取遍全體實(shí)數(shù)．所以說要使y∈R，則u=ax2+2x+3的值域必須包含全體正數(shù)．正解：（1）a=0時(shí)，顯然y∈R；（2），解之得所以a的取值范圍為6．忽視對數(shù)的底數(shù)忘討論例6已知f(x)＝loga(x2-3x+2)，g(x)=loga(2x2-5x+2)(a>0,且a≠1)，若f(x)＞g(x)，求x的取值范圍．錯(cuò)解：∵f(x)＞g(x)，∴l(xiāng)oga(x2-3x+2)＞loga(2x2-5x＋2），故x2-3x+2>2x2-5x+2，即x2-2x<0，∴0<x＜2．剖析：產(chǎn)生錯(cuò)解的原因有兩點(diǎn)：一是忽略了底數(shù)a的取值影響x的取值；二是忽略了真數(shù)必須大于0.正解：當(dāng)a>1時(shí)，等價(jià)于當(dāng)時(shí)，等價(jià)于或7．判斷對數(shù)函數(shù)單調(diào)性中的錯(cuò)誤例7求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。錯(cuò)解1：由在R上的單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為R。錯(cuò)解2：令，則當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為。剖析：上述錯(cuò)解1生搬硬套了函數(shù)在R上單調(diào)遞減這一性質(zhì)；錯(cuò)解2忽視了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間須在函數(shù)定義域內(nèi)進(jìn)行研究，即單調(diào)區(qū)間是定義域的子集。正解：得函數(shù)的定義域?yàn)榱睿瑒t當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為。8．理解冪函數(shù)概念有偏差致誤例8已知冪函數(shù)，則冪函數(shù)。錯(cuò)解：因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，解得，或。當(dāng)時(shí)，，適合；當(dāng)時(shí)，，在上為常函數(shù)，不合題意，舍去，故所求冪函數(shù)為。剖析：事實(shí)上冪函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，也是為冪函數(shù)。正解：上面的解法加上這種情形，最后的結(jié)論應(yīng)該為或。9．考慮冪函數(shù)問題不全面致誤例9已知冪函數(shù)是偶函數(shù)且在區(qū)間（0，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，求函數(shù)f(x)的解析式。錯(cuò)解：因?yàn)閒(x)在（0，+∞）上是減函數(shù)，所以＜0，所以-1＜m＜3,又。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，。剖析：依據(jù)f(x)在（0，+∞）上是減函數(shù)，求得后，因?yàn)闆]有注意其他限制條件而得出或正解：由錯(cuò)解求出知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，都不是偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，故所求函數(shù)f(x)的解析式為10．混同冪函數(shù)的性質(zhì)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)致誤例10比較大?。骸ｅe(cuò)解：∵＜,∴＜＜1,又∵＜,∴＞＞1∴＞＞1＞＞＞1剖析：本題中前兩數(shù)比較用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，后兩數(shù)比較用冪函數(shù)的單調(diào)性，比較時(shí)往往容易混同造成錯(cuò)解正解：∵＜,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：1＜＜，又∵＜,由冪函數(shù)的性質(zhì)可知：＜＜1。故＜＜1＜＜。11．忽視隱含條件導(dǎo)致誤例11已知冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸不相交，且關(guān)于軸對稱，求m的值。錯(cuò)解：由己知，得＜0即＜0，解得當(dāng)時(shí)，=-3。當(dāng)時(shí)，=-4。當(dāng)時(shí)，=-3因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于軸對稱，所以=-4即。剖析：冪函數(shù)與坐標(biāo)軸不相交時(shí)，忽視了隱含條件α=0這種特殊情況正解：由題意得≤0，解得，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，=0。當(dāng)時(shí)，=-4均符合題意，所以或3。12．討論冪函數(shù)性質(zhì)致誤例12討論函數(shù)的定義域、奇偶性和單調(diào)性。錯(cuò)解：（1）因?yàn)橹笖?shù)可以取一切實(shí)數(shù)，所以的定義域是R；（2）由于，則該函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；（3）該函數(shù)無法判斷