高中數(shù)學(xué)人教A版第一章空間幾何體單元測(cè)試 全國(guó)獲獎(jiǎng)

第一章空間幾何體空間幾何體的三視圖與直觀圖三視圖和直觀圖是空間幾何體的不同表現(xiàn)形式，空間幾何體的三視圖可以使我們很好地把握空間幾何體的性質(zhì)．由空間幾何體可以畫(huà)出它的三視圖，同樣，由三視圖可以想象出空間幾何體的形狀，兩者之間可以相互轉(zhuǎn)化．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()ABCD【思路點(diǎn)撥】eq\x(選項(xiàng))eq\o(→,\s\up17(驗(yàn)證))eq\x(三視圖)eq\o(→,\s\up17(對(duì)照))eq\x(選擇)【解析】所給選項(xiàng)中，A、C選項(xiàng)的正視圖、俯視圖不符合，D選項(xiàng)的側(cè)視圖不符合，只有B選項(xiàng)符合．【答案】B如圖1－2，某幾何體的正視圖是平行四邊形，側(cè)視圖和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為()A．6eq\r(3)B．9eq\r(3)C．12eq\r(3)D．18eq\r(3)【解析】由三視圖可知該幾何體為一個(gè)平行六面體(如圖)，其底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，高為eq\r(22－12)＝eq\r(3)，所以該幾何體的體積為9eq\r(3)，故選B.【答案】B空間幾何體的表面積、體積1.幾何體的表面積及體積的計(jì)算是現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常能夠遇到的問(wèn)題，在計(jì)算中應(yīng)注意各數(shù)量之間的關(guān)系及各元素之間的位置關(guān)系，特別是特殊的柱、錐、臺(tái)，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面圖形的作用．2．常見(jiàn)的計(jì)算方法(1)公式法：根據(jù)題意直接套用表面積或體積公式求解．(2)割補(bǔ)法：割補(bǔ)法的思想是：通過(guò)分割或補(bǔ)形，將原幾何體分割成或補(bǔ)成較易計(jì)算體積的幾何體，從而求出原幾何體的體積．(3)等體積變換法：等積變換法的思想是：從不同的角度看待原幾何體，通過(guò)改變頂點(diǎn)和底面，利用體積不變的原理，來(lái)求原幾何體的體積．已知三棱錐A－BCD的表面積為S，其內(nèi)有半徑為r的內(nèi)切球O(球O與三棱錐A－BCD的每個(gè)面都相切，即球心O到A－BCD每個(gè)面的距離都為r)，求三棱錐A－BCD的體積．【思路點(diǎn)撥】分析三棱錐A－BCD的體積與以O(shè)為頂點(diǎn)，各個(gè)面為底面的4個(gè)小棱錐體積間的關(guān)系．【規(guī)范解答】連接AO，BO，CO，DO，則三棱錐A－BCD被分割成為四個(gè)小三棱錐：O－ABC，O－ABD，O－ACD，O－BCD，并且這四個(gè)小三棱錐的頂點(diǎn)都為O，高都為r，底面分別為△ABC，△ABD，△ACD，△BCD.故有VA－BCD＝VO－ABC＋VO－ABD＋VO－ACD＋VO－BCD＝eq\f(1,3)S△ABC·r＋eq\f(1,3)S△ABD·r＋eq\f(1,3)S△ACD·r＋eq\f(1,3)S△BCD·r＝eq\f(1,3)(S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD)r＝eq\f(1,3)Sr.某三棱錐的三視圖如圖1－3所示，該三棱錐的表面積是()圖1－3A．28＋6eq\r(5) B．30＋6eq\r(5)C．56＋12eq\r(5) D．60＋12eq\r(5)【解析】由三棱錐的三視圖可得三棱錐的直觀圖如圖(1)所示．圖(1)圖(2)S△ACD＝eq\f(1,2)×AC×DM＝eq\f(1,2)×5×4＝△ABC＝eq\f(1,2)×AC×BC＝eq\f(1,2)×5×4＝10.在△CMB中，∠C＝90°，∴|BM|＝5.∵DM⊥面ABC，∴∠DMB＝90°，∴|DB|＝eq\r(42＋52)＝eq\r(41)，∴△BCD為直角三角形，∠DCB＝90°，∴S△BCD＝eq\f(1,2)×5×4＝10.在△ABD中，如圖(2)，S△ABD＝eq\f(1,2)×2eq\r(5)×6＝6eq\r(5)，∴S表＝10＋10＋10＋6eq\r(5)＝30＋6eq\r(5).故選B.【答案】B思想方法1.轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法，所謂轉(zhuǎn)化與化歸思想是指把待解決的問(wèn)題(或者說(shuō)未知解的問(wèn)題)轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)意識(shí)．立體幾何中的有關(guān)問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決，其途徑主要有以下兩種：一是多面體常轉(zhuǎn)化到它的底面、側(cè)面、對(duì)角面內(nèi)，而旋轉(zhuǎn)體主要是利用軸截面；二是將多面體的表面或旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開(kāi)．如圖1－4，長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，BB1＝c，并且a＞b＞c＞0.求沿著長(zhǎng)方體的表面自A到C1的最短線路的長(zhǎng)．圖1－4【思路點(diǎn)撥】eq\x(長(zhǎng)方體表面展開(kāi))→eq\x(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離)【規(guī)范解答】將長(zhǎng)方體相鄰兩個(gè)面展開(kāi)有下列三種可能，如圖．三個(gè)圖形(1)(2)(3)中AC1的長(zhǎng)分別為：eq\r(a＋b2＋c2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋2ab)，eq\r(a2＋b＋c2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋2bc)，eq\r(a＋c2＋b2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋2ac).∵a＞b＞c＞0.∴ab＞ac＞bc＞0.故最短線路的長(zhǎng)為eq\r(a2＋b2＋c2＋2bc).圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為5cm的正方形ABCD，從A到C圓柱側(cè)面上的最短距離為()A．10cm\f(5,2)eq\r(π2＋4)cmC．5eq\r(2)cmD．5eq\r(π2＋1)cm【解析】如圖所示，沿母線BC展開(kāi)，曲面上從A到C的最短距離為平面上從A到C的線段的長(zhǎng)．∵AB＝BC＝5，∴A′B＝eq\x\to(AB)＝eq\f(1,2)×2π×eq\f(5,2)＝eq\f(5,2)π.∴A′C＝eq\r(\a\vs4\al(A′B2＋BC2))＝eq\r(\f(25,4)π2＋25)＝5eq\r(\f(π2,4)＋1)＝eq\f(5,2)eq\r(π2＋4).【答案】B2．函數(shù)與方程思想函數(shù)與方程思想是指將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì)或解方程(組)等問(wèn)題解決，在立體幾何中求幾何體的高、棱長(zhǎng)、側(cè)面積、體積等往往利用這一思想方法．一個(gè)圓錐底面半徑為R，高為eq\r(3)R，求圓錐的內(nèi)接正四棱柱表面積的最大值．【思路點(diǎn)撥】畫(huà)出該幾何體組合體的軸截面，利用相似三角形的知識(shí)建立等量關(guān)系，借助函數(shù)的知識(shí)求其最值．【規(guī)范解答】如圖所示，△SAB為圓錐的一個(gè)軸截面，且該軸截面經(jīng)過(guò)正四棱柱的對(duì)角面，DF為棱柱的底面對(duì)角線．設(shè)正四棱柱的高為h，底面正方形邊長(zhǎng)為a，則DE＝eq\f(\r(2),2)a.∵△SDE∽△SAO，∴eq\f(DE,AO)＝eq\f(SE,SO).∵AO＝R，SO＝eq\r(3)R，∴eq\f(\f(\r(2),2)a,R)＝eq\f(\r(3)R－h(huán),\r(3)R)，∴h＝eq\r(3)R－eq\f(\r(6),2)a.∴S表＝2a2＋4ah＝2a2＋4aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)R－\f(\r(6),2)a)).整理得S表＝(2－2eq\r(6))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(3)R,\r(6)－1)))2＋eq\f(6R2,\r(6)－1)(0<a<eq\r(2)R)．∵2－2eq\r(6)<0，eq\f(\r(3)R,\r(6)－1)<eq\r(2)R，∴當(dāng)a＝eq\f(\r(3)R,\r(6)－1)時(shí)，S表有最大值，為eq\f(6R2,\r(6)－1)，即圓錐的內(nèi)接正四棱柱表面積的最大值為eq\f(6R2,\r(6)－1)，即eq\f(6\r(6)＋1,5)R2.將一個(gè)底面圓的直徑為2，高為1的圓柱截成橫截面為長(zhǎng)方形的棱柱(如圖1－5)，設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形截面的一條邊長(zhǎng)為x，對(duì)角線長(zhǎng)為2，截面的面積為A.圖1－5(1)求面積A以x為自變量的函數(shù)式；(2)求出截得棱柱的體積的最大值．【解】(1)橫截面如圖，由題意得A＝x·eq\r(4－x2)(0<x<2)．(2)棱柱的體積V＝A·h＝x·eq\r(4－x2)＝eq\r(－x2－22＋4)，由(1)知0<x<2，所以，當(dāng)x＝eq\r(2)時(shí)，V取最大值，其值為2.3．?dāng)?shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，通過(guò)對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題化抽象為具體，化難為易．求函數(shù)f(x)＝eq\r(x2＋4)＋eq\r(x2－10x＋34)的最小值．【思路點(diǎn)撥】結(jié)合函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題．【規(guī)范解答】依題意：f(x)＝eq\r(x2＋22)＋eq\r(5－x2＋32)，構(gòu)造長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1，其三條棱長(zhǎng)分別為AB＝2，BC＝3，BB1＝5(如圖(1))，設(shè)BE＝x.(1)(2)則AE＝eq\r(x2＋22)，EC1＝eq\r(5－x2＋32)，所以f(x)＝AE＋EC1.這樣，原題求函數(shù)f(x)的最小值，就轉(zhuǎn)化為在長(zhǎng)方體AC1的棱BB1上找一點(diǎn)E，使折線AEC1的長(zhǎng)度最短．將長(zhǎng)方體側(cè)面展開(kāi)(如圖(2))．連接AC1，顯然AE＋EC1≥AC1且AC1＝eq\r(2＋32＋52)＝5eq\r(2)，即f(x)min＝5eq\r(2).即函數(shù)f(x)＝eq\r(x2＋4)＋eq\r(x2－10x＋34)的最小值是5eq\r(2).若半球內(nèi)有一內(nèi)接正方體，則這個(gè)半球的表面積與正方體的表面積之比為_(kāi)_______．【解析】設(shè)半球的半徑為R，內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為a，過(guò)正方體的對(duì)角面作出它的截面圖，如圖．OE＝OF＝OD＝R，BC＝AD＝a，AB＝CD＝eq\r(2)a，所以O(shè)A＝e