高中數(shù)學(xué)人教A版第四章圓和方程【市一等獎(jiǎng)】

(本欄目?jī)?nèi)容，在學(xué)生用書中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．(2023·景德鎮(zhèn)期末)直線4x－3y－2＝0與圓x2＋y2－2x＋4y－11＝0的位置關(guān)系是()A．相離 B．相切C．相交過(guò)圓心 D．相交不過(guò)圓心解析：圓心(1，－2)到直線4x－3y－2＝0的距離d＝eq\f(|4×1－3×－2－2|,\r(42＋－32))＝eq\f(8,5)，圓的半徑r＝4.所以d＜r.又圓心(1，－2)不在直線4x－3y－2＝0上，故選D.答案：D2．(2023·揚(yáng)州竹西中學(xué)月考)如果直線ax＋by＝4與圓x2＋y2＝4有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，那么點(diǎn)P(a，b)與圓的位置關(guān)系是()A．P在圓外 B．P在圓上C．P在圓內(nèi) D．P與圓的位置關(guān)系不確定解析：由題意，得eq\f(4,\r(a2＋b2))＜2，得a2＋b2＞4，即點(diǎn)P(a，b)在圓x2＋y2＝4外，故選A.答案：A3．若直線x＋y＋m＝0與圓x2＋y2＝m相切，則m的值為()A．0或2 B．2\r(2) D．無(wú)解解析：因?yàn)橹本€x＋y＋m＝0與圓x2＋y2＝m相切，所以(0,0)到直線x＋y＋m＝0的距離為eq\r(m)(m＞0)，即eq\f(|0＋0＋m|,\r(12＋12))＝eq\r(m)，整理，得m2＝2m.解得m＝2或m＝0(舍去)，故選B.答案：B4．過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為()A．2 B．2eq\r(3)C．3 D．2eq\r(5)解析：當(dāng)圓心到直線距離最大時(shí)，弦長(zhǎng)最短，易知當(dāng)圓心與定點(diǎn)G(0,1)的連線與直線AB垂直時(shí)，圓心到直線AB的距離取得最大值，即d＝|OG|＝1，此時(shí)弦長(zhǎng)最短，即eq\f(|AB|,2)≥eq\r(R2－d2)＝eq\r(4－1)?|AB|≥2eq\r(3)，故選B.答案：B二、填空題(每小題5分，共15分)5．若圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(4,0)，且與直線y＝1相切，則圓C的方程是________．解析：根據(jù)圓的弦的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系求解．因?yàn)閳A的弦的垂直平分線必過(guò)圓心且圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)和(4,0)，所以設(shè)圓心為(2，m)．又因?yàn)閳A與直線y＝1相切，所以eq\r(4－22＋0－m2)＝|1－m|，所以m2＋4＝m2－2m＋1，解得m＝－eq\f(3,2)，所以圓的方程為(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4).答案：(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4)6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長(zhǎng)為________．解析：由題意可得，圓心為(2，－1)，r＝2，圓心到直線的距離d＝eq\f(|2－2－3|,\r(12＋22))＝eq\f(3,5)eq\r(5)，所以弦長(zhǎng)為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－\f(9,5))＝eq\f(2,5)eq\r(55).答案：eq\f(2,5)eq\r(55)7．過(guò)原點(diǎn)的直線與圓x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的長(zhǎng)為2，則該直線的方程為____________．解析：圓的方程可化為(x－1)2＋(y－2)2＝1，即圓心為(1,2)，半徑長(zhǎng)為1.設(shè)所求直線的方程為y＝kx，即kx－y＝0.由于直線與圓相交所得弦的長(zhǎng)為2，圓的半徑長(zhǎng)為1，則圓心到該直線的距離為eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)))2)＝0，即圓心在直線kx－y＝0上，于是k－2＝0，即k＝2.故所求直線的方程為y＝2x.答案：y＝2x三、解答題(每小題10分，共20分)8．求與x軸相切，圓心在直線3x－y＝0上，且被直線x－y＝0所截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(7)的圓C的方程．解析：設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，點(diǎn)C在直線3x－y＝0上，所以C(a,3a)，且點(diǎn)C到直線x－y＝0的距離為eq\f(|2a|,\r(2)).設(shè)圓C被直線x－y＝0截得的弦為AB，H為弦AB的中點(diǎn)，則|AH|＝eq\r(7)，又圓C與x軸相切，則半徑長(zhǎng)r＝3|a|，于是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|2a|,\r(2))))2＋(eq\r(7))2＝(3|a|)2，解得a＝1或a＝－1，r2＝9，所以圓的方程為(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.9．已知點(diǎn)M(1，m)，圓C：x2＋y2＝4.(1)若過(guò)點(diǎn)M的圓的切線只有一條，求m的值及切線方程；(2)若過(guò)點(diǎn)M且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(3)，求m的值．解析：(1)由于過(guò)點(diǎn)M的圓的切線只有一條，故點(diǎn)M在圓C上，所以1＋m2＝4，所以m＝±eq\r(3).所以切線方程為x±eq\r(3)y－4＝0.(2)由于圓C的直徑為4>2eq\r(3)，故所求直線不過(guò)圓心，即不過(guò)原點(diǎn)．設(shè)所求直線的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0，因?yàn)樵撝本€被圓截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(3)，所以圓心到直線的距離為1，所以eq\f(|a|,\r(2))＝1，所以a＝±eq\r(2).所以所求直線的方程為x＋y±eq\r(2)＝0，所以m＝－1±eq\r(2).10．(2023·蚌埠一中月考)若圓心在x軸上，半徑為eq\r(5)的圓位于y軸左側(cè)，且與直線x＋2y＝0相切，則圓O的方程為()A．(x－eq\r(5))2＋y2＝5 B．(x＋eq\r(5))2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5解析：設(shè)圓心(a,0)(a＜0)，由題意，得eq\r(5)＝eq\f(|a|,\r(12＋22))，得|a|＝5，即a＝－5.所以圓O的方程為(x＋5)2＋y2＝5，故選D.答案：D11．已知直線ax＋y－2＝0與圓心為C的圓(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)a＝________.解析：由題意可知圓的圓心為C(1，a)，半徑r＝2，則圓心C到直線ax＋y－2＝0的距離d＝eq\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1))＝eq\f(|2a－2|,\r(a2＋1)).因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以|AB|＝r＝2.又|AB|＝2eq\r(r2－d2)，所以2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|2a－2|,\r(a2＋1))))2)＝2，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±eq\r(15).答案：4±eq\r(15)12．已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若不過(guò)原點(diǎn)的直線l與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線l的方程；(2)求經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且被圓C截得的線段長(zhǎng)為2的直線方程．解析：(1)因?yàn)榍芯€在兩坐標(biāo)軸上截距相等且不為零，設(shè)直線方程為x＋y＝a，所以圓C(－1,2)到切線的距離等于圓半徑eq\r(2)，即eq\f(|－1＋2－a|,\r(2))＝eq\r(2)，所以a＝－1或a＝3.所求切線方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線即為y軸，此時(shí)交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，(0,3)，被圓C截得的線段長(zhǎng)為2，符合題意，直線方程為x＝0.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx，即kx－y＝0，由已知得，圓心到直線的距離為1，則eq\f(|－k－2|,\r(k2＋1))＝1?k＝－eq\f(3,4)，直線方程為y＝－eq\f(3,4)x，綜上，所求直線方程為x＝0或y＝－eq\f(3,4)x.13．圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線l：3x＋4y－11＝0的距離為1的點(diǎn)有幾個(gè)？解析：方法一：圓(x－3)2＋(y－3)2＝9的圓心O1的坐標(biāo)為(3,3)，半徑r＝3.設(shè)圓心O1到直線3x＋4y－11＝0的距離為d，則d＝eq\f(|3×3＋4×3－11|,\r(32＋42))＝2<3.如圖所示，在圓心O1同側(cè)，與直線3x＋4y－11＝0平行且距離為1的直線l1與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)符合題意．又r－d＝3－2＝1.∴與直線3x＋4y－11＝0平行的圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意．∴符合題意的點(diǎn)共有3個(gè)．方法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線3x＋4y－11＝0且與之距離為1的直線和圓的交點(diǎn)．設(shè)所求直線為3x＋4y＋m＝0，且與直線3x＋4y－11＝0的距離為d，則d＝eq\f(|m＋11|,\r(32＋42))＝1，∴m＋11＝±5，即m＝－6或m＝－16.