高中數(shù)學(xué)人教A版本冊(cè)總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 省一等獎(jiǎng)3

模塊質(zhì)量評(píng)估(本欄目?jī)?nèi)容，在學(xué)生用書中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知α是第二象限角，sinα＝eq\f(5,13)，則cosα＝()A．－eq\f(12,13) B．－eq\f(5,13)\f(5,13) \f(12,13)解析：∵α為第二象限角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(12,13).答案：A2．已知扇形的周長(zhǎng)為8cm，圓心角為2弧度，則該扇形的面積為()A．4cm2 B．6cm2C．8cm2 D．16cm2解析：由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,l＝2r.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝2，,l＝4.))所以S＝eq\f(1,2)lr＝4(cm2)．答案：A3．已知sin(π＋α)＝eq\f(4,5)，且α是第四象限角，則cos(α－2π)的值是()A．－eq\f(3,5) \f(3,5)C．±eq\f(3,5) \f(4,5)解析：由已知sinα＝－eq\f(4,5)，而α為第四象限角，所以cosα＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))\s\up12(2))＝eq\f(3,5)，所以cos(α－2π)＝cosα＝eq\f(3,5).答案：B4．已知α是銳角，a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，sinα))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα，\f(1,3)))，且a∥b，則α為()A．15° B．45°C．75° D．15°或75°解析：∵a∥b，∴sinα·cosα＝eq\f(3,4)×eq\f(1,3)，即sin2α＝eq\f(1,2).又∵α為銳角，∴0°＜2α＜180°.∴2α＝30°或2α＝150°.即α＝15°或α＝75°.答案：D5．已知e1，e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，若a＝e1＋e2，b＝－4e1＋2e2,則a與b的夾角為()A．30° B．60°C．120° D．150°解析：依據(jù)題意a·b＝－3，|a|·|b|＝eq\r(3)×2eq\r(3)＝6，cos〈a，b〉＝－eq\f(1,2)，故a與b的夾角為120°.答案：C6．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝－eq\f(3,5)，且x是第三象限角，則eq\f(1＋tanx,1－tanx)的值為()A．－eq\f(3,4) B．－eq\f(4,3)\f(3,4) \f(4,3)解析：因?yàn)閤是第三象限角，所以π＋2kπ＜x＜eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，所以eq\f(5π,4)＋2kπ＜x＋eq\f(π,4)＜eq\f(7π,4)＋2kπ，k∈Z，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＜0，而coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝－eq\f(3,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝－eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))＝－eq\f(4,5)，故eq\f(1＋tanx,1－tanx)＝eq\f(tan\f(π,4)＋tanx,1－tan\f(π,4)·tanx)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))＝eq\f(4,3)，選D.答案：D7．將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象沿x軸向左平移eq\f(π,8)個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則φ的一個(gè)可能取值為()\f(3π,4) \f(π,4)C．0 D．－eq\f(π,4)解析：y＝sin(2x＋φ)eq\o(→,\s\up17(向左平移),\s\do10(\f(π,8)個(gè)單位))y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,8)))＋φ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)＋φ)).當(dāng)φ＝eq\f(3π,4)時(shí)，y＝sin(2x＋π)＝－sin2x，為奇函數(shù)；當(dāng)φ＝eq\f(π,4)時(shí)，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x，為偶函數(shù)；當(dāng)φ＝0時(shí)，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，為非奇非偶函數(shù)；當(dāng)φ＝－eq\f(π,4)時(shí)，y＝sin2x，為奇函數(shù)．故選B.答案：B8．函數(shù)y＝xcosx＋sinx的圖象大致為()解析：當(dāng)x＝eq\f(π,2)時(shí)，y＝1＞0，排除C.當(dāng)x＝－eq\f(π,2)時(shí)，y＝－1，排除B；或利用y＝xcosx＋sinx為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除B.當(dāng)x＝π時(shí)，y＝－π＜0，排除A.故選D.答案：D9．已知|p|＝2eq\r(2)，|q|＝3，p，q的夾角為eq\f(π,4)，如圖所示，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝5p＋2q，eq\o(AC,\s\up6(→))＝p－3q，D為BC的中點(diǎn)，則|eq\o(AD,\s\up6(→))|為()\f(15,2) \f(\r(15),2)C．7 D．18解析：∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(5p＋2q＋p－3q)＝eq\f(1,2)(6p－q)，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AD,\s\up6(→))|2))＝eq\f(1,2)eq\r(（6p－q）2)＝eq\f(1,2)eq\r(36p2－12p·q＋q2)＝eq\f(1,2)eq\r(36×（2\r(2)）2－12×2\r(2)×3×cos\f(π,4)＋32)＝eq\f(15,2).答案：A10．給出以下命題：①若α、β均為第一象限角，且α＞β，則sinα＞sinβ；②若函數(shù)y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(π,3)))的最小正周期是4π，則a＝eq\f(1,2)；③函數(shù)y＝eq\f(sin2x－sinx,sinx－1)是奇函數(shù)；④函數(shù)y＝|sinx－eq\f(1,2)|的周期是π；⑤函數(shù)y＝sinx＋sin|x|的值域是[0，2]．其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．3 B．2C．1 D．0解析：對(duì)于①來說，取α＝390°，β＝60°，均為第一象限角，而sin60°＝eq\f(\r(3),2)，sin390°＝sin30°＝eq\f(1,2)，故sinα＜sinβ，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由三角函數(shù)的最小正周期公式T＝eq\f(2π,|a|)＝4π，得a＝±eq\f(1,2)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，該函數(shù)的定義域?yàn)閧x|sinx－1≠0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))x≠\f(π,2)＋2kπ，k∈Z))，因定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故沒有奇偶性，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，記f(x)＝|sinx－eq\f(1,2)|.若T＝π，則有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，而feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,2)))＝，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝，顯然不相等，故④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，y＝sinx＋sin|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0（x＜0）,2sinx（x≥0）))，而當(dāng)f(x)＝2sinx(x≥0)時(shí)，－2≤2sinx≤2，故函數(shù)y＝sinx＋sin|x|的值域?yàn)閇－2，2]，故⑤錯(cuò)誤；綜上可知選D.答案：D11．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)的部分圖象如圖所示，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(11)的值等于()A．2 B．2＋eq\r(2)C．2＋2eq\r(2) D．－2－2eq\r(2)解析：由圖象可知，函數(shù)的振幅為2，初相為0，周期為8，則A＝2，φ＝0，eq\f(2π,ω)＝8，從而f(x)＝2sineq\f(π,4)x.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(11)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2sineq\f(π,4)＋2sineq\f(π,2)＋2sineq\f(3π,4)＝2＋2eq\r(2).答案：C12．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，則a·(b＋c)＝()A．0 B．－eq\f(3,5)\f(3,5) D．－eq\f(4,5)解析：由3a＋4b＋5c＝0，得向量3a，4b，5c能組成三角形，又|a|＝|b|＝|c|＝1，所以三角形的三邊長(zhǎng)分別是3，4，5，故三角形為直角三角形，且a⊥b，所以a·(b＋c)＝a·c＝－eq\f(3,5).答案：B二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，t)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，2)．若∠ABO＝90°，則實(shí)數(shù)t的值為________．解析：∵∠ABO＝90°，∴eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.又eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，2)－(－1，t)＝(3，2－t)，∴(2，2)·(3，2－t)＝6＋2(2－t)＝0.∴t＝5.答案：514．已知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，若cosα＝eq\f(3,5)(0＜α＜eq\f(π,2))，則f(α＋eq\f(π,12))＝________．解析：因?yàn)閏osα＝eq\f(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜α＜\f(π,2)))，所以sinα＝eq\f(4,5)；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(sinα＋cosα)＝eq\f(7\r(2),10).答案：eq\f(7\r(2),10)15．函數(shù)f(x)＝sin2x＋eq\r(3)sinxcosx在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的最大值是________．解析：由f(x)＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(\r(3),2)sin2x＝eq\f(1,2)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).∵eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,2)?eq\f(π,3)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，∴f(x)max＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)16．有下列四個(gè)命題：①若α、β均為第一象限角，且α＞β，則sinα＞sinβ；②若函數(shù)y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(π,3)))的最小正周期是4π，則a＝eq\f(1,2)；③函數(shù)y＝eq\f(sin2x－sinx,sinx－1)是奇函數(shù)；④函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))在[0，π]上是增函數(shù)．其中正確命題的序號(hào)為________．解析：α＝390°＞30°＝β，但sinα＝sinβ，所以①不正確；函數(shù)y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(π,3)))的最小正周期為T＝eq\f(2π,|a|)＝4π，所以|a|＝eq\f(1,2)，a＝±eq\f(1,2)，因此②不正確；③中函數(shù)定義域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(,,))x≠2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，顯然不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以③不正確；由于函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝－cosx，它在(0，π)上單調(diào)遞增，因此④正確．答案：④三、解答題(本大題共6小題，共74分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分12分)已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，a與b的夾角為θ.(1)若a∥b，求a·b；(2)若a－b與a垂直，求θ.解析：(1)∵a∥b，∴θ＝0°或180°，∴a·b＝|a||b|cosθ＝±eq\r(2).(2)∵a－b與a垂直，∴(a－b)·a＝0，即|a|2－a·b＝1－eq\r(2)cosθ＝0，∴cosθ＝eq\f(\r(2),2).又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.18．(本小題滿分12分)已知tanα＝eq\f(1,2)，求eq\f(1＋2sin（π－α）cos（－2π－α）,sin2（－α）－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)－α)))的值．解析：原式＝eq\f(1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝eq\f(（sinα＋cosα）2,（sinα－cosα）（sinα＋cosα）)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)，又∵tanα＝eq\f(1,2)，∴原式＝eq\f(\f(1,2)＋1,\f(1,2)－1)＝－3.19．(本小題滿分12分)已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1，2sinα－1)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，a·b＝eq\f(2,5)，求eq\f(5\r(2)sin2α－4cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),2cos2\f(α,2)).解析：∵a·b＝cos2α＋sinα(2sinα－1)＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝eq\f(2,5)，∴sinα＝eq\f(3,5).∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴cosα＝－eq\f(4,5)，∴sin2α＝2sinαcosα＝－eq\f(24,25)，∴eq\f(5\r(2)sin2α－4cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),2cos2\f(α,2))＝eq\f(5\r(2)sin2α－2\r(2)（cosα－sinα）,1＋cosα)＝eq\f(5\r(2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(24,25)))－2\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)－\f(3,5))),1－\f(4,5))＝－10eq\r(2).20．(本小題滿分12分)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|＝eq\r(2)，求證：a⊥b；(2)設(shè)c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．解析：(1)證明：由題意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又∵a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，∴2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.(2)∵a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0，1)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosα＋cosβ＝0，,sinα＋sinβ＝1，))由此得，cosα＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又∵0＜α＜π，∴α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝eq\f(1,2)，而α＞β，∴α＝eq\f(5π,6)，β＝eq\f(π,6).21．(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)＝2cosx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－eq\r(3)sin2x＋sinx·cosx.(1)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，求f(x)的值域；(2)用五點(diǎn)法在下圖中作出y＝f(x)在閉區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上的簡(jiǎn)圖．解析：f(x)＝2cosx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－eq\r(3)sin2x＋sinxcosx＝2cosxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinxcos\f(π,3)＋cosxsin\f(π,3)))－eq\r(3)·sin2x＋sinxcosx＝sin2x＋eq\r(3)cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).(1)∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴eq\f(π,3)≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(4π,3)，∴－eq\f(\r(3),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤1，∴當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，f(x)的值域?yàn)閇－eq\r(3)，2]．(2)由T＝eq\f(2π,2)，得T＝π，列表：xeq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)2x＋eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2π2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))020－20圖象如