【教案】誘導(dǎo)公式單元教學(xué)設(shè)計必修第一冊

課題：5.3誘導(dǎo)公式單元設(shè)計一、教學(xué)內(nèi)容及其解析教學(xué)內(nèi)容誘導(dǎo)公式（π±α，±α，－α的正弦、余弦和正切）。知識結(jié)構(gòu)圖明線:圓的對稱性——角與角的關(guān)系——坐標(biāo)間的關(guān)系——三角函數(shù)的關(guān)系。暗線：研究一個數(shù)學(xué)對象性質(zhì)的基本套路：研究概念所界定的對象中要素間的關(guān)系。（二）內(nèi)容解析1.內(nèi)容本質(zhì)：誘導(dǎo)公式是圓的對稱性的代數(shù)表示，是三角函數(shù)的基本性質(zhì)之一，它揭示了具有特殊關(guān)系的兩個角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，刻畫的是終邊關(guān)于坐標(biāo)原點、坐標(biāo)軸、直線對稱的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，誘導(dǎo)公式就是把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值。誘導(dǎo)公式的探索過程是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、以及解決問題的能力，是發(fā)展學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的很好的載體，也是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。利用誘導(dǎo)公式解決問題，需選擇合適的誘導(dǎo)公式，確定恰當(dāng)?shù)那蠼饴肪€，這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的載體，也是算法思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的體現(xiàn)。2.蘊含的思想方法：公式二的推導(dǎo)過程先從形的角度入手，然后將形代數(shù)化，滲透數(shù)形結(jié)合的思想；公式三、四的推導(dǎo)類比公式二的過程，滲透類比的數(shù)學(xué)研究方法；誘導(dǎo)公式可以實現(xiàn)任意角和銳角之間的轉(zhuǎn)化，滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想，用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的求值、化簡，滲透算法思想。3.知識的上下位關(guān)系：任意角的三角函數(shù)定義，單位圓的對稱性，以及誘導(dǎo)公式一是誘導(dǎo)公式的邏輯基礎(chǔ)，誘導(dǎo)公式既是任意角的三角函數(shù)定義的深化理解與運用，也是研究三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的基礎(chǔ)，為后續(xù)進(jìn)一步研究兩角和與差的公式的研究做鋪墊。4.育人價值：從單位圓關(guān)于坐標(biāo)原點、坐標(biāo)軸、直線對稱性出發(fā)探究誘導(dǎo)公式的過程中，蘊含了數(shù)形結(jié)合的思想，有利于學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展，可以幫助學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光來觀察、數(shù)學(xué)的思維來思考。應(yīng)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡求值，蘊含了算法思想，有利于學(xué)生形成代數(shù)問題的程序化思維，也有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。5.教學(xué)重點：利用圓的對稱性探究誘導(dǎo)公式。二、目標(biāo)及其解析（一）單元目標(biāo)1.借助單位圓的對稱性，利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（－α，π±α，±α的正弦、余弦、正切）。2.初步應(yīng)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡、求值和證明。（二）目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）學(xué)生能利用單位圓的對稱性，結(jié)合坐標(biāo)系，寫出角α的終邊關(guān)于坐標(biāo)原點、坐標(biāo)軸、直線y=x對稱的兩個角的數(shù)量關(guān)系，能寫出對稱變換得到的角與單位圓交點的坐標(biāo)，并利用三角函數(shù)的定義進(jìn)行化簡得到相應(yīng)的誘導(dǎo)公式。（2）能根據(jù)三角函數(shù)式的特點，選擇相應(yīng)的公式進(jìn)行化簡、求值或者證明，并在此基礎(chǔ)上抽象出求解的一般程序。三、教學(xué)問題診斷分析問題1如何想到借助單位圓的幾何性質(zhì)研究三角函數(shù)的性質(zhì)？破解方法：學(xué)生知道數(shù)形結(jié)合是研究函數(shù)性質(zhì)的主要方法，而本節(jié)是利用單位圓的幾何性質(zhì)研究三角函數(shù)的性質(zhì)。在教學(xué)過程中，教師從以下幾點進(jìn)行引導(dǎo)：（1）三角函數(shù)是有“個性”的函數(shù)，他與前面的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)是不同的，前面的三個函數(shù)他們的對應(yīng)關(guān)系具有代數(shù)意義，是代數(shù)運算的反映，而三角函數(shù)不是以代數(shù)運算為媒介的，是幾何量（角與有向線段的對應(yīng)）之間的對應(yīng)。（2）從三角函數(shù)的定義知三角函數(shù)與單位圓密不可分，同時誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系式的研究，也是從單位圓開始的。順著這樣的思路，應(yīng)該繼續(xù)思考單位圓在坐標(biāo)系中有哪些特殊對稱性，將之代數(shù)化能得到哪些三角公式。幫助學(xué)生建立借助單位圓研究三角函數(shù)性質(zhì)的思維習(xí)慣。問題2公式五與六的推導(dǎo)是另一個難點．推導(dǎo)公式五的難度在于：第一，終邊關(guān)于直線y=x對稱的兩個角之間的關(guān)系，學(xué)生不容易得到；第二，在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于直線y=x對稱的兩個點的坐標(biāo)之間的關(guān)系相對復(fù)雜。破解方法：在教學(xué)中，可以結(jié)合學(xué)生熟悉的圖形進(jìn)行分析，比如角α為小于45°的銳角時的情況，并利用平面幾何的知識予以證明．更一般的情況可以在學(xué)習(xí)直線的方程之后完善。教學(xué)難點：圓的對稱性與三角函數(shù)之間關(guān)系的建立。四、教學(xué)支持條件用信息技術(shù)工具畫圖呈現(xiàn)如上所述的對稱性，并動態(tài)