【教案】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像教學設計（第1課時）必修第一冊

課題：5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像（第一課時）一、教學內(nèi)容：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像二、教學目標：（一）、了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的來歷，掌握“五點法”畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的方法．達成上述目標的標志是：學生能先根據(jù)正弦函數(shù)的定義繪制一個點，再繪制正弦函數(shù)在一個周期［0,2π］內(nèi)的圖象，最后通過平移得到正弦函數(shù)的圖象；學生能用圖象變換的方法，由正弦函數(shù)的圖象繪制余弦函數(shù)的圖象，并能就一個具體的點清晰地解釋圖象的變換方式及原因；能說出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的五個特殊點，并能用五點法繪制正弦函數(shù)的圖象.（二）、正、余弦函數(shù)圖象的區(qū)別與聯(lián)系達成上述目標的標志是：先選擇一個具體的點，進行分析，然后上升到對一般點的分析.得到只要將函數(shù)y=sinx圖象上的點向左平移π2個單位長度，即可得到函數(shù)（三）、正、余弦函數(shù)圖象的簡單應用．達成上述目標的標志是：會用“五點法”作出與正、余弦函數(shù)相關的函數(shù)簡圖．三、教學重點及難點（一）重點：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象．（二）難點：用單位圓中的正弦線作正弦函數(shù)的圖象的方法；探究正、余弦函數(shù)圖象間的聯(lián)系．四、教學過程設計問題1:三角函數(shù)是我們學習的一類新的基本初等函數(shù)，按照函數(shù)研究的方法，學習了三角函數(shù)的定義之后，接下來應該研究什么問題？怎樣研究？追問：（1）研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的思路是怎樣的？（2） 繪制一個新函數(shù)圖象的基本方法是什么？（3） 根據(jù)三角函數(shù)的定義，需要繪制正弦函數(shù)在整個定義域上的函數(shù)圖象嗎？選擇哪一個區(qū)間即可？師生活動：教師提出問題，學生回憶函數(shù)研究的路線圖，師生共同交流、規(guī)劃，完善方案.預設的答案如下.研究的線路圖：函數(shù)的定義——函數(shù)的圖象——函數(shù)的性質(zhì).繪制一個新函數(shù)圖象的基本方法是描點法.對于三角函數(shù)，單位圓上任意一點在圓周上旋轉(zhuǎn)一周又回到原來的位置，這一特性已經(jīng)用公式一表示，據(jù)此，可以簡化對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究過程，比如可以先畫函數(shù)y=sinx，x

∈［0,2π］的圖象，再畫正弦函數(shù)y=sinx設計意圖：規(guī)劃研究方案，構(gòu)建本單元的研究路徑，以便從整體上掌握整個內(nèi)容的學習進程，形成整體觀念.問題2:在［0,2π］上任取一個值x0，如何利用正弦函數(shù)的定義，確定正弦函數(shù)值sinx0并畫出點T（x師生活動:方法1：一起作圖探討，如圖5.4.1，在直角坐標系中畫出以原點O為圓心的單位圓，⊙O與x軸正半軸的交點為A（１，0）．在單位圓上，將點A繞著點O旋轉(zhuǎn)x0弧度至點B，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，點B的縱坐標y0=sinx0．由此，以x0為橫坐標，y0追問：如何科學地將單位圓上每一點對應的圖像畫出？師生活動:若把x軸上從0到２π這一段分成12等份，使x0的值分別為0,π6,π3,π2，…，2π，它們所對應的角的終邊與單位圓的交點將圓周12等分，再按上述畫點T（x方法2：利用信息技術(shù)，可使x0在區(qū)間［0,2π］上取到足夠多的值而畫出足夠多的點T（x0，sinx0）,將這些點用光滑的曲線連接起來，可得到比較精確的函數(shù)y=sinx，設計意圖：通過正弦函數(shù)的定義，得到點的坐標，通過分析點的坐標的幾何意義，準確描點.進一步熟悉，描點連線成圖，即點動成線的作圖過程.問題3:根據(jù)函數(shù)y=sinx，x

∈［0,2π］的圖象，你能想象函數(shù)y=sinx，師生活動:由誘導公式一可知，函數(shù)y=sinx，x

∈［２kπ，２（k＋１）π］，k∈Z且k≠０的圖象與y=sinx，x

∈［0,2π］的圖象形狀完全一致．因此將函數(shù)y=sinx，x

∈［0,2π］的圖象不斷向左、向右平移（每次移動2π個單位長度），就可以得到正弦函數(shù)知識梳理：正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線（sinecueve），是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線．追問：確定正弦函數(shù)的圖象形狀時，應抓住哪些關鍵點？師生活動:觀察圖5.4.3，在函數(shù)y=sinx，x

∈0,在確定圖象形狀時起關鍵作用．描出這五個點，函數(shù)數(shù)y=sinx，x

∈知識梳理：在精確度要求不高時，常先找出這五個關鍵點，再用光滑的曲線將它們連接起來，得到正弦函數(shù)的簡圖．這種作圖方法近似地稱為“五點（畫圖）法”，今后作簡圖是非常實用的．設計意圖：觀察函數(shù)圖象，概括其特征，獲得“五點法”畫圖的簡便畫法.問題4:由三角函數(shù)的定義可知，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是一對密切關聯(lián)的函數(shù)．你能利用這種關系，借助正弦函數(shù)的圖象畫出余弦函數(shù)的圖象嗎？師生活動:學生先用排除法觀察誘導公式，選擇簡潔的公式，作為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關系研究的依據(jù).教師引導學生通過比較進行選擇.從數(shù)的角度看，對于函數(shù)y=cosx，由誘導公式cosx=sin?(x追問1：你認為應該利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的哪些關系，通過怎樣的圖形變換，才能將正弦函數(shù)的圖象變換為余弦函數(shù)的圖象？師生活動:函數(shù)y=sinx+π2,x

∈R的圖象可以通過正弦函數(shù)y=sinx，知識梳理：余弦函數(shù)y=cosx，x

∈R的圖象叫做余弦曲線（cosinecurve）．它是與正弦曲線具有相同形狀的“追問2：你能在兩個函數(shù)圖象上選擇一對具體的點，解釋這種平移變換嗎？師生活動：這是教學的難點，教師要首先進行示范.教師可以先選擇一個具體的點，進行分析，然后上升到對一般點的分析.得到圖象之后還可以再利用圖象進行驗證.設(x0,y0）是函數(shù)y=cosx圖象上任意一點，則有令x0+π2=t0，則y0=sinxt比較兩個點：（x0，y0）與（t0，y0）.因為x0+π2=t0所以點（x0，y0）可以看做是點（t0，y0）向左平移π2個單位得到的，只要將函數(shù)y=sinx圖象上的點向左平移π2知識梳理：余弦函數(shù)y=cosx，x

∈R的圖象叫做余弦曲線（cosinecurve）．它是與正弦曲線具有相同形狀的“設計意圖：利用誘導公式，通過圖象變換，由正弦函數(shù)的圖象獲得余弦函數(shù)圖象；增強對兩個函數(shù)圖象之間的聯(lián)系性的認識.問題5:類似于用“五點法”畫正弦函數(shù)的圖象，你能找出余弦函數(shù)在區(qū)間［－π，π］上相應的五個關鍵點嗎？可以畫出y=cosx，x

∈［－π，π］的簡圖嗎?師生活動:畫余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象，五個關鍵點是(0，1)，(eq\f(π,2)，0)，(π，－1)，(eq\f(3π,2)，0)，(2π，1)．用光滑曲線順次連接這五個點，得到余弦曲線的簡圖．設計意圖：觀察余弦函數(shù)圖象，掌握其特征，獲得“五點法”．問題6:例題分析：如何用“五點法”作出下列函數(shù)的簡圖？(1)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝-cosx，x∈[0,2π].師生活動:老師點撥：在[0,2π]上找出五個關鍵點，用光滑的曲線連接即可．預設學生：在直角坐標系中描出五點，然后用光滑曲線順次連接起來，就得到y(tǒng)＝1＋sinx，x∈[0,2π]的圖象．追問：你能利用函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象，通過圖象變換得到y(tǒng)＝1＋sinx，x∈[0,2π]的圖象嗎？同樣地，利用函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]圖象，通過怎樣的圖象變換就能得到函數(shù)y＝-cosx，x∈[0,2π]的圖象？師生活動：學生先獨立完成，然后就解題思路和結(jié)果進行展示交流，教師點評并給出規(guī)范的解答.設計意圖：鞏固學生對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象特征的掌握，熟練“五點法"畫圖，掌握畫圖的基本技能.通過分析圖象變換，深化對函數(shù)圖象關系的理解，并為后續(xù)的學習作好鋪墊.課堂小結(jié)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象．正、余弦函數(shù)的圖象每相隔2π個單位重復出現(xiàn)，因此，只要記住它們在[0，2π]內(nèi)的圖象形態(tài)，就可以畫出正弦曲線和余弦曲線．2．“五點法”是作三角函數(shù)圖象的常用方法，“五點”即函數(shù)最高點、最低點與x軸的交點．3．列表、描點、連線是“五點法”作圖過程中的三個基本環(huán)節(jié)，注意用光滑的曲線連接五個關鍵點．六、目標檢測設計（一）課前預習整理1、正弦曲線和余弦曲線1．可以利用單位圓中的______線作y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象．2．y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象向____、____平行移動(每次2π個單位長度)，就可以得到正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖象．3．正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖象和余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R的圖象分別叫做__________和__________．整理2、正弦曲線和余弦曲線“五點法”作圖“五點法”作圖的一般步驟是eq\x(______)?eq\x(______)?eq\x(______).設計意圖:預習知識，引發(fā)思考．（二）課堂檢測1．用“五點法”作函數(shù)y＝cos2x，x∈R的圖象時，首先應描出的五個點的橫坐標是()A．0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2πB．0，eq\f(π,4)，eq\f(π,2)