定積分的幾何應(yīng)用(體積)教學(xué)內(nèi)容

一、旋轉(zhuǎn)體的體積二、平行截面面積(miànjī)為已知的立體的體積三、小結(jié)定積分(jīfēn)的幾何應(yīng)用---體積第一頁，共26頁。旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體(lìtǐ)．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱(yuánzhù)圓錐(yuánzhuī)圓臺一、旋轉(zhuǎn)體的體積第二頁，共26頁。xyo旋轉(zhuǎn)體的體積(tǐjī)為第三頁，共26頁。解第四頁，共26頁。星形線是內(nèi)擺線(bǎixiàn)的一種.點擊(diǎnjī)圖片任意處播放開始或暫停大圓(dàyuán)半徑R＝a小圓半徑參數(shù)的幾何意義(當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動時,小圓上的定點的軌跡為內(nèi)擺線)星形線t或第五頁，共26頁。第六頁，共26頁。例2.計算(jìsuàn)擺線的一拱與y＝0所圍成的圖形分別繞x軸,y軸旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)而成的立體體積.解:繞x軸旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)而成的體積為利用對稱性第七頁，共26頁。繞y軸旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)而成的體積為注意(zhùyì)上下限!第八頁，共26頁。注:分部(fēnbù)積分(利用(lìyòng)“偶倍奇零”)第九頁，共26頁。利用(lìyòng)這個公式，可知上例中補(bǔ)充(bǔchōng)1.(※)——柱殼法如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)(liánxù)曲線)(xfy=、直線ax=、bx=

及x軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為

第十頁，共26頁。偶函數(shù)奇函數(shù)注：第十一頁，共26頁。解(一)體積(tǐjī)元素為第十二頁，共26頁。（二）利用坐標(biāo)(zuòbiāo)平移：（※）uv第十三頁，共26頁。補(bǔ)充(bǔchōng)2.(※)——柱殼法如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)(liánxù)曲線)(xfy=、直線ax=、bx=

及x軸所圍成的曲邊梯形繞x=m(>b)旋轉(zhuǎn)一周而成的立體(lìtǐ)，體積為

第十四頁，共26頁。二、平行(píngxíng)截面面積為已知的立體的體積如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gègè)截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.立體體積第十五頁，共26頁。解:取坐標(biāo)系如圖底圓方程(fāngchéng)為截面(jiémiàn)面積立體(lìtǐ)體積第十六頁，共26頁。思考:可否選擇(xuǎnzé)y作積分變量?此時截面(jiémiàn)面積函數(shù)是什么?如何(rúhé)用定積分表示體積?提示:第十七頁，共26頁。三、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(miànjī)(補(bǔ)充)設(shè)平面(píngmiàn)光滑曲線求積分(jīfēn)后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.取側(cè)面積元素:第十八頁，共26頁。注：第十九頁，共26頁。側(cè)面積(miànjī)元素若光滑曲線由參數(shù)(cānshù)方程給出,則它繞x軸旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)體的注意:側(cè)面積為的線性主部.不是薄片側(cè)面積△S

第二十頁，共26頁。例5.計算(jìsuàn)圓x軸旋轉(zhuǎn)一周所得(suǒdé)的球臺的側(cè)面積S.解:對曲線(qūxiàn)弧應(yīng)用公式得當(dāng)球臺高h(yuǎn)2R

時,得球的表面積公式第二十一頁，共26頁。旋轉(zhuǎn)體的體積(tǐjī)平行(píngxíng)截面面積為已知的立體的體積繞軸旋轉(zhuǎn)一周繞軸旋轉(zhuǎn)一周繞垂直于坐標(biāo)軸的直線(zhíxiàn)旋轉(zhuǎn)一周旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(補(bǔ)充)四、小結(jié).第二十二頁，共26頁。解：交點(jiāodiǎn)立體(lìtǐ)體積思考(sīkǎo)與練習(xí).第二十三頁，共26頁。2.

設(shè)在x≥0時為連續(xù)(liánxù)的非負(fù)函數(shù),且形繞直線x＝t旋轉(zhuǎn)一周(yīzhōu)所成旋轉(zhuǎn)體體積,證明(zhèngmíng):證:利用柱殼法故第二十四頁，共26頁。3.設(shè)平面(píngmiàn)圖形A由與所確定(quèdìng),求圖形A繞直線x2旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)體的體積.提示：選x為積分變量.由柱殼法旋轉(zhuǎn)體的體積為若選y

為積分變量,則第二十五頁，共26頁。4.求曲線(qūxiàn)與x軸圍成的封閉圖形(túxín