立體幾何中的 截面問題

立體幾何中的截面問題aS兒aS兒例3：已知A后分別是四樓柱血好的梭8、珈1和q上的點，且獻與助不平行.求作過這三點的截面.作法：0)連接行并延長交必延長線于點兀Q)在平面正如內連接以交融于點乩⑶連接姑桃則四邊形網(wǎng)掰即為所求.例三如圖，五棱等”破7近中，三條倒棱上各有一已知點網(wǎng)餐樂求作過汽鼠廳的截面,作法工⑴將側面以夙PBC.的伸展得到三棱鏈—酩工⑵在便J面呼內，連結并延長交展于冗⑶在仰面出『內.連結并延性的交融于L⑷在像］面尸$丁內,連結或分別交融、用于故M(5)連結目K磔則五邊形制曬即為所求的截面例0已知宜四棱柱3勺，尸在面々的Q內，。在面網(wǎng)曲研內.E在棱組上」畫出過人口用三點的截面口作法：⑴過戶作印工3于點凡過◎作Q『JU。于Q,（幻在底面被N內連接肝*SQ,并交于反⑶由平行線8、股作平面8阮連接驅⑷在平面8即內過網(wǎng)作陽工面M⑶交球于鼠⑸由平杼線嚴.朋］作平面呼朋一則江必落在面刊"4］內⑹在面所池［內，連接加并延長文同］于必⑺在面/幽內，連接卸,并延長交叫于￡⑻在面4比q內』連接組并延長交81于T.⑼連接四；周L則變邊形樂的'即為所求。￡￡例法在側棱和高的夾角為仃的正四棱錐中，求你一個過底面頂點且與這點所對側極垂直的殿面（立＜45,3作法；⑴在平面彌7中.作越工宓于點反⑵在底面忠切內過力作品力即。延長皺如分別交&于點嵐M⑷連接勒；時分別交明、副于點仄?、蛇B接礫則多邊形就溺即為所求.類型的載面經(jīng)過的三個已知點兩兩不在同一面內的枝上.例1?文上三點分別在直四棱柱的棱的■和池上.試畫出過R◎.R三點的截面JVJV【注】如果G在平面內時,在平而4G內作輔助平面PQCB分割出直四棱柱且斗跳―QR0r，又回到基本題型，任求得3人斗兩點后，易得截面ERFAH若F在校且4匕F.G分劑任不經(jīng)過核且4的兩個而（共楂的兩個面或相對的兩個面＞內,則作截面’的步躲，仍是先作一個適當?shù)妮o助平的?歸結為基本題型IXIX例六：E在平?而4月內,F在平而旦「內,仃在平面區(qū)A內，求過E.EG的世面解：如圖，先作輔助平面在0PT.得到直五樓柱A^RQCJ).-ATPCD.連接EF并延長交P0的延長桂于，.按某本題型方法作出截面KHLS鵬」：E產(chǎn)分別在正方體的橫月氏上，G住正方體的內部.求過EF.G的截面解：過行作GE，平一面且并延長交平而4G于K.偉輔助平面及PQB,連接EG并延長交尸0『R,r連接EF,在平面HR內過式作:TS/EF,連接痣和尸S,則所求截面為TEF5【總結X①若已知兩點在同一平面內，只要連接這兩點，就可以得到截面與多面體的一個面的截線.②若面上只有一個已知點，應設法在同一平面上再找出第二確定的點。③若兩個已知點分別在相鄰的面上，應找出這兩個平面的交線與截面的交點.④若兩平行平面中一個平面與截面有交線，另一個面上只有一個已知點，則按平行平面與第三平面相交，那么它們的交線互相平行的性質，可得截面與平面的交線.⑤若有一點在面上而不在棱上，則可通過作輔助平面轉化為樓上的點的問題；若已知點在體內，則可通過輔助平面使它轉化為面上的點，再轉化為棱上的點的問題來解決.

軸截面上網(wǎng)鳥的血積為在△白B和軸截面上網(wǎng)鳥的血積為在△白B和△FCDH疝1儀在（0,力可'或得最￡曲L此時截面面田的最大值為sin2^2sm——sina=sinaG-711^由i￡sin2^)-sm(7co"截而CDRC的面積為S='1m—果見冉例13：三棱椎A-BCD中，截卸EFGH與對棱AC.BD都平行，且與AB.BC.CD.DA交干E.FQ.H.則E.EGH在何處時.截而EFCFH面積聚大船士由T?而EFGH.過的平而交平而EFGHFEF.EFf/AC同理Z7G〃aC\所KEF〃HG,同理可證E7/〃FG.故EFGH是平行四邊形i己￡FEH=e,由EFHHC叩療B0可扣異面直線HC與BD所成角為￡或斤一夕4FRF由于三核健金一BCD是給定的，則8是定值，ia—=.v.—=V,Wx+v=lABAS-FfrfEH//BDn△且E9sEH//BDn△且E9s△4RD0ACAB-^TTTJJIT—=—=x^EH=xABt故BDAB三工*B3csl口日24S￡rQH=EF.EH.suid=s*￡水二疝1例《作截而尸。員,交線段作截而尸。員,交線段BU于5.試確定5的具體位較c——6例1①如圖.正四曲體HR8U」，P是線段工B卜單近上的三等分點,p是線段AD上靠近0的"等分點.R是線段CD的中點,81"l解：設IB=瓦4「=uAD=d,則F0三FJ+4p=—二方十;d3SIIhMIIMl?.QR=QD^DR=QD+-(AC-AD)=-d^-{c-d)=-TOC\o"1-5"\h\z-3—2由戟而尸。區(qū)交踐段sr干s.則尸工尸60田其陶,于是存在唯一的實數(shù)人m,便得FS=乂尸p+〃。氏.記惑=＞品『則后=而+函=476一豆=4一2%+巨333彳.2S4—4—所以V]=>Z=yJJ--._V=—+于是月S=gEC\汗=彳"所以5是線段BC上的聒近.點r的五等分點.例20：姆防留校臺的匕下底宙闔積分期為5s.平狎于底面眸域面4百6//分的ET的比票L=色，截面面積為5口，求證；瘋『后*麻H0Hfnjjj+仃證明；過/作aM_L/'B'『N,與《為交于MHH6hi…mHB5MB『ZSiMMN凡H'，,,口in+ji…陽+m例21若臺體的和I面積被平行底面的截面自上而下分成用：ft,則截而面積5口="叫""'tH+H證明:以正桂臺為例，51產(chǎn)江"Y"三二m$OT網(wǎng)CMas5?1_$§l=坦=s?="店1+*$匕5卜網(wǎng)5卜-5口n，〃+"若吉體海體枳被平行底面的威而自上而下分成〃「：〃33則敏而面積5口滿足$2=一-———二個而的切點恰為△且二個而的切點恰為△且CR二邊的中點,例桀過iE方體乂以「0―4聲￡口出時角線助Z前鼓面面積為5反二和心分別為$的最火值和最小值，求學的值口i￥HBl解二設M寸分別為血、“；的中電身證截面后臉I(yè)是邊長為軍的菱形GE方體核長設為iL其面積.Sw二好，而戕面把M是矩脫其面積二正.則屋41J-例23.如圖.已輪球曰是校長為1的正方體一姐⑦-4鼠G盤的內切球.則呼而/康醯球0的戢而冏積為解;平面月C&是邊長為石的iE三柏形.」1球與以點。為公共點的故所求截面的陶積是該正二角形的內切圓的面積，則由圖得.Airq內切圓的半挖是當血鄴=理則所求的截面留的面積是篇（當＞近92666設兩球的體枳之和為“=2.武足+/）=!7T設兩球的體枳之和為“=2.武足+/）=!7T依+「）［（/?+「『11.'J26：在極長為1的正方體內,例兩域外切-并且乂分別司而方的內叨當球的半程為多少時.兩球的部積之和最小？解；球體與正方體內切從正方體的對用面截取，Mira月4。。為過I求心的對角而.且彳==J5.aq=器l設兩球半徑分別為凡『一則有mq=#R.所以五十產(chǎn)十JI（我十/）=點=＞夫+『=三上■例二1在長方體有一個公共頂點戶的三條接上分別各取異石產(chǎn)的點且丘。.得到一個截fliAJ5C,求證：△ARC'為銳用三角形=>ZEAF=工6=>ZEAF=工6一三2irrAE==10ADAE二不，同理Z_RzLFTOC\o"1-5"\h\z散后的長為正.巴=更■雷,這樣的弧共有3條369在平面4片卻以上，交線為元.圖為半役為￡,3/EgG二三，所以前的長為立二二占定.2326尸RsA這樣的弧也有&條.故所得曲線代為匕父工-：用+w父上二斤工土"966例29：已知球的半徑為2,相互垂直的兩個平面分別轂球面得兩個圜.若兩圓的公共弦長為L則兩圓的圓心距等于(),、A.1E.72aED,2Z,?二一解析；O］與0工的公共弦為AE,球心為0,貂中點為匚/［，二\則四辿膨0105r為矩形,iqqHoe「』Od|=，1小””所以I卜lwr_Loc:|uc|=J3ftZc『n6Jx例31：如部正方體ABCD—耳目QR的校長為晨P內成的中點.q為線段Cqk的動點,過點MPA的平面平面正方正所得的得而記為己則下列命題正確的是?當0<f0式3時，￡為四邊形②當C2=亍時r5為等腰梯形③當。。二號時，S與匕口的交點R滿足€[&=?4j④當之<C0《1時，S為六邊形⑤當C0=1時，E的面枳為』5Iz率2卜解.：設截面與R。相交于「購dT*PQH.4T=2PQ=>=2CQ.時①*當0:《0<工、則0<DT<L所以截面S為四位形，且S為梯族所以為真.對②,當Cp=-,DT=1口與"重合j截而S為四邊形"pR,所以4P=D?截郁為等腰梯形.所以為真.對③，盟（70=三二>。&；上.QT

、4對③，盟（70=三二>。&；上.QT

、4-411111對④，.力匕〈。0工1時一3mDT匯1族面3與線段AeEvDC]相交”所以四邊形S為五邊42出.所以為假.對⑤當Cg=I時，Q與C;重告截面S與線段相交于中點G1即為菱形/PGG3對角線長度分期為無和"S的面積為立.所以為真.2SA-A/\zSA-A/\z兒例32；月mcz)-4與gr內正方體，任偉平而女與對華疑金。聿國使得*與正方體的每個面都有公共點,記這樣得到的截而多邊形的卿積為九周長為L則A.3為定僮，/不為定值艮3不為定值.『為定值U￡與/均為定值[>.$與/均小為定值解:將正方體切去兩個正三棱錐X-W5Q與C-D宙'(？后，得到一個以平一行r面HBZ)與D'R'C為上、下底面的幾何體匕f的每個惻面都是等腰直角三角膨，碰面多邊形W的每一條邊分別與「的底面上的一條邊平?行，將V的窗而沿段剪開.展平在一張平面上,得到一個平行四邊形HE耳兒.而旁邊形田的冏界展開后便成為一條與H4平行的線段f如圖5E&),墟然二E'Ee.故？為定值.當F位于dF中點時，多邊形卜為正六邊形，而當E'移至正處時,中為」E三角形,尸F(xiàn)易知周長為定值,的正六邊形與正三角形面積分別為仝產(chǎn)與卷產(chǎn)’故s不為定值./!/!例前:如圖4,在透明的塑料樹成的長方體冠CD7B3包容㈱內講進一些水,固定容器底而?邊時于地面上，再將容器暢斜,I?在傾斜程度的不同，有下列四個箭題；其中正確的命題件馬?是一^①水的部分始終呈棱柱狀：水面EFGH